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〔关键词〕 双曲线；渐近线；直线方程；切线
〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2008）12（B）—0022—02
双曲线有许多几何性质，本文以定理的形式给出其中的一个，并对该性质的应用性进行研究，借此来促进笔者对新课程改革中所倡导的研究性学习理念的理解与实施.
一、定理的证明
[定理]若一直线被双曲线的一支及两条渐近线所截，则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等.
证明：设双曲线E的方程为-=1,直线l与双曲线E及两条渐近线依次相交于A、B、C、D四点（如图1）.
①若直线l与x轴垂直,依题意知点A、D，点B、C均关于x轴对称，易知=.
②若直线l不与x轴垂直，设l的方程为y=kx+m，记B（x1，y1）,C（x2，y2）,BC的中点为M（xm，ym）.由
y=kx+m，-=1，得（b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0（b2-a2k2≠0）.则xm=,ym=kxm+m.得M（，）.
设A（x3，y3）、D（x4，y4）为直线l与两条渐近线的交点，AD的中点为N（xn，yn）.由y=kx+m，b2x2-a2y2=0得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2=0（b2-a2k2≠0），同理得N（，）.
故M、N两点重合，于是=-=-=.
综上①②有=，于是定理获证.（若直线与双曲线交于两支，同理可证）
由定理的证明，我们清楚地看到=?圳线段AD与BC的中点重合这一必然关系.
二、定理的应用性研究
1.从特殊到一般的研究
我们先从下面的问题说起.
[问题]如图2，直线l与双曲线x2-y2=1的同一支及两条渐近线相交于A、B、C、D四点，若=，求△AOD的面积.
解： 双曲线的渐近线程为y= ±x，由定理知=. ∵= ， ∴ ==，于是有=.
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则x2==，y2==.
∵点（x2，y2）在双曲线x2-y2=1上，
∴ -=1，化简得x1x4=.
∵∠AOD=90°，∴S△AOD=x1•x4=x1x4=.
我们注意到应用了文本介绍的定理使此问题的求解过程变得十分简捷.此问题中的双曲线比较简单，那么对于一般的双曲线E：-=1，被直线截同一支及两条渐近线依次为A、B、C、D四点，且当=?姿（0≤?姿＜1）时，△AOD的面积如何去求呢？下面就来研究这一问题.
解：如图3，由定理知=. ∵ =?姿， ∴ -=?姿（+），化简得=.设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.
∵双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
∴ A（x1，x1），D（x4，-x4），由定比分点公式得
x2=，y2=.
由点B（x2，y2）在双曲线b2x2-a2y2=a2b2上，将x2，y2代入并化简得x1 x4=.
∴ S△AOD = |OA|•|OD|•sin2?兹 =.•sin2?兹=x1x4 tan?兹=•=（?兹=∠AOx）.
很显然，当a=b=1及?姿=时该结果即为例1的情形.
2.用运动的观点来探究
我们可以设想将1中的直线l不断移动（可以带有旋转地移动），逐渐使B、C两点愈来愈靠近，最后可以得到一种B、C重合的状态.记B、C重合的点为P，由本文定理知，=，即点P为AD的中点.以极限的观点来判断此时直线l为双曲线的切线，点P为切点，下面我们从另一角度来证明这一事实.
我们先来求出直线l的方程，再去判断直线l与双曲线E：-=1的位置关系.设A（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）.由=，得=（+）， 即（x0，y0）= （x1+x2，y1+y2）.
（1）当直线l的斜率k存在时（k≠0），如图4，k=•=.得直线l的方程为y-y0=（x-x0），即b2x0x-a2y0y=b2x02-a2y02=a2b2，即-=1，由-=1，-=1，?圯（b2x02-a2y02）x2-2a2b2x0x+a4（b2+y02）=0，此方程的判别式?驻 =4a4b4x02-4a4（b2+y02）（b2x02-a2y02）=0.故直线l与双曲线E相切于点P.
（2）当直线l的斜率不存在时，点P为顶点，易知直线l与双曲线E相切于点P.
由此我们得到一个重要的性质.
性质1设点P是双曲线E上的一点，过点P的直线l与双曲线E的两条渐近线分别交于点M、N，若OP=（+），则直线l是双曲线E的切线，点P就是切点，此时就是1中λ=0的情形.
性质2双曲线E的任一切线l与两渐近线围成的三角形面积为一个定值ab=ab（?姿=0）.
同时性质1也为我们提供了过双曲线E上一点画双曲线切线的几何画图方法.
画法如下：如图5，P是双曲线E上的一点，连结OP并延长至点Q，使OP=PQ，过点Q分别作双曲线E的两条渐近线的平行线，交两渐近线于点M、N，连结MN，则直线MN即为双曲线E的切线，点P为切点
〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2008）12（B）—0022—02
双曲线有许多几何性质，本文以定理的形式给出其中的一个，并对该性质的应用性进行研究，借此来促进笔者对新课程改革中所倡导的研究性学习理念的理解与实施.
一、定理的证明
[定理]若一直线被双曲线的一支及两条渐近线所截，则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等.
证明：设双曲线E的方程为-=1,直线l与双曲线E及两条渐近线依次相交于A、B、C、D四点（如图1）.
①若直线l与x轴垂直,依题意知点A、D，点B、C均关于x轴对称，易知=.
②若直线l不与x轴垂直，设l的方程为y=kx+m，记B（x1，y1）,C（x2，y2）,BC的中点为M（xm，ym）.由
y=kx+m，-=1，得（b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0（b2-a2k2≠0）.则xm=,ym=kxm+m.得M（，）.
设A（x3，y3）、D（x4，y4）为直线l与两条渐近线的交点，AD的中点为N（xn，yn）.由y=kx+m，b2x2-a2y2=0得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2=0（b2-a2k2≠0），同理得N（，）.
故M、N两点重合，于是=-=-=.
综上①②有=，于是定理获证.（若直线与双曲线交于两支，同理可证）
由定理的证明，我们清楚地看到=?圳线段AD与BC的中点重合这一必然关系.
二、定理的应用性研究
1.从特殊到一般的研究
我们先从下面的问题说起.
[问题]如图2，直线l与双曲线x2-y2=1的同一支及两条渐近线相交于A、B、C、D四点，若=，求△AOD的面积.
解： 双曲线的渐近线程为y= ±x，由定理知=. ∵= ， ∴ ==，于是有=.
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则x2==，y2==.
∵点（x2，y2）在双曲线x2-y2=1上，
∴ -=1，化简得x1x4=.
∵∠AOD=90°，∴S△AOD=x1•x4=x1x4=.
我们注意到应用了文本介绍的定理使此问题的求解过程变得十分简捷.此问题中的双曲线比较简单，那么对于一般的双曲线E：-=1，被直线截同一支及两条渐近线依次为A、B、C、D四点，且当=?姿（0≤?姿＜1）时，△AOD的面积如何去求呢？下面就来研究这一问题.
解：如图3，由定理知=. ∵ =?姿， ∴ -=?姿（+），化简得=.设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.
∵双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
∴ A（x1，x1），D（x4，-x4），由定比分点公式得
x2=，y2=.
由点B（x2，y2）在双曲线b2x2-a2y2=a2b2上，将x2，y2代入并化简得x1 x4=.
∴ S△AOD = |OA|•|OD|•sin2?兹 =.•sin2?兹=x1x4 tan?兹=•=（?兹=∠AOx）.
很显然，当a=b=1及?姿=时该结果即为例1的情形.
2.用运动的观点来探究
我们可以设想将1中的直线l不断移动（可以带有旋转地移动），逐渐使B、C两点愈来愈靠近，最后可以得到一种B、C重合的状态.记B、C重合的点为P，由本文定理知，=，即点P为AD的中点.以极限的观点来判断此时直线l为双曲线的切线，点P为切点，下面我们从另一角度来证明这一事实.
我们先来求出直线l的方程，再去判断直线l与双曲线E：-=1的位置关系.设A（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）.由=，得=（+）， 即（x0，y0）= （x1+x2，y1+y2）.
（1）当直线l的斜率k存在时（k≠0），如图4，k=•=.得直线l的方程为y-y0=（x-x0），即b2x0x-a2y0y=b2x02-a2y02=a2b2，即-=1，由-=1，-=1，?圯（b2x02-a2y02）x2-2a2b2x0x+a4（b2+y02）=0，此方程的判别式?驻 =4a4b4x02-4a4（b2+y02）（b2x02-a2y02）=0.故直线l与双曲线E相切于点P.
（2）当直线l的斜率不存在时，点P为顶点，易知直线l与双曲线E相切于点P.
由此我们得到一个重要的性质.
性质1设点P是双曲线E上的一点，过点P的直线l与双曲线E的两条渐近线分别交于点M、N，若OP=（+），则直线l是双曲线E的切线，点P就是切点，此时就是1中λ=0的情形.
性质2双曲线E的任一切线l与两渐近线围成的三角形面积为一个定值ab=ab（?姿=0）.
同时性质1也为我们提供了过双曲线E上一点画双曲线切线的几何画图方法.
画法如下：如图5，P是双曲线E上的一点，连结OP并延长至点Q，使OP=PQ，过点Q分别作双曲线E的两条渐近线的平行线，交两渐近线于点M、N，连结MN，则直线MN即为双曲线E的切线，点P为切点