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【摘要】通过了解美国微积分教材和课程内容体系的最新动态，分析国内微积分课程的教学现状，从而探索适用于应用型本科院校高等数学课程内容体系的新的发展方向，其中凸显高等数学的趣味性、应用型、交叉性。
【关键词】高等数学 应用型本科 美国教材
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）08-0119-02
近几年，我国各类高校关于微积分和高等数学的自编教材开始涌现，大部分都结合了高校老师几十年教学经验和本校专业特色，对经典的高等数学内容进行了部分增减和修改。目前，在国内绝大多数的应用型本科院校中，工科各专业的数学基础课程通常采用同济大学编写的《高等数学》教材[1]，经过20多年教学实践的检验及7次修订，形成了自己的内容体系和风格，结构严谨、例题较多，适用性广。但针对于二本三本應用型本科院校而言，它也有应用性弱，交叉内容少，语言不够生动等缺点。本文将分析最新美国高校微积分教材的课程内容体系，结合应用性本科院校的专业特点和发展趋势，尝试探索高等数学课程内容体系的新的发展思路和改革方向。
一、中美微积分教材的内容体系发展现状和对比
我国自编高数教材的内容体系深受苏联数学教材的影响，比较注重逻辑的严谨和表达形式的数学化，条理较为清楚。缺点是太过数学化，不注重应用性和生动性，与后续的专业课联系不紧密，让学生体会不到数学的作用。另外，由于中国考研的兴起和应试教育的影响，一些教材过于注重解题方法的介绍，丧失了教材的应用性和可读性。特别是对于强调应用的本科型院校来说，教材相对枯燥、抽象，学生容易产生畏惧。
美国于上世纪80年代就开始进行微积分的教改，涌现了许多经典教材[2-4]，部分都沿用到第13版。相对苏联版教材，美国的微积分教材更加强调应用，注重不同学科不同课程之间的交叉，详述所学内容的实际背景和历史由来，及时更新应用前沿动态，这样的教材内容体系有利于培养应用型人才。下面给出中美高数课程内容的几点主要不同。
（一）极限与连续
美国教材普遍在介绍极限的概念时，给出了两层含义，其中精确定义作为选学内容，并以数值验证方式来介绍极限的定义，美国教材并不凸显等价无穷小替换定理在求解极限方面的作用。此外，数列的极限介绍放在无穷级数一章中[2]。
（二）导数与微分
美国教材通过大量生动有趣的经济学、管理学实例，来阐述导数即为变化率的实际意义。美国和中国对于微分的定义有所不同，美国强调函数的局部线性化，而中国引入无穷小概念来定义。美国教材介绍拉微分中值定理时，柯西定理为选学内容，泰勒中值定理则放入无穷级数一章中。美国教材中关于极值和最优化举例，更加贴合实际，包含经济管理、生物医药等领域。
（三）积分
由于定积分源于实际问题，美国教材先给出定积分的概念，而不定积分作为计算定积分的工具，穿插给出。美国教材对于微积分基本定理的历史演变、背景知识和其作用作了详细阐述。对于积分的计算方法，除了基本的换元法和分部积分法，美国教材普遍也强调数值积分。
（四）微分方程
美国教材将一阶方程和二阶线性方程分成两章内容，其中一阶方程放在定积分之后讲，这主要原因是可分离变量方程和线性方程直接用到了积分内容。由物理问题中演化出了一些著名的数理方程，美国教材详细生动介绍了其物理意义。
二、应用型本科院校高等数学内容体系的探索
（一）注重理论的几何意义和应用背景，强调数学的趣味性
由于应用型本科院校专业更注重数学知识的应用，学生对枯燥的基础理论概念更难理解，因此微积分教材内容应该在知识的趣味性、理论的类比性、背景知识的介绍上做进一步的挖掘。我们认为，数学教材内容应包含数学家的成长经历、著名公式的来历和历史演变以及一些广义且有趣的数学概念。例如，可以适当介绍莱布尼兹、拉格朗日、柯西、高斯等人的数学贡献，以及其在推导某些公式和定理的历史典故等。又如，介绍两个函数乘积的高阶求导公式—莱布尼兹公式时，工科专业学生普遍在学习该公式上有点吃力，此时可在教材中附上大家熟悉的二项式公式，进行类比。
另外，浅显易懂且幽默的语言也是非常有必要的。社会发展很快，教材也不断的被新编，因此教材在适用对象上也应有针对性。智能手机的发明让中国大学生在接受信息和获取知识信息上有了方便的工具，但同时也让学生对于枯燥且过于注重方法论的教材更加排斥。特别是基础性学科教学实力不强的一般应用型院校学生而言，更是如此。这时一本可读性和趣味性强，语言生动活泼的教材是非常重要的。例如，在介绍函数的极限时，可以用一些有趣的语言去描述极限思想。介绍分部积分法时，也可以大胆的给出广泛的教学口诀“反对幂三指”。
（二）重视数学知识的应用和数学建模
对于应用型本科院校，加强学生数学知识的应用能力，培养学生的数学建模意识和兴趣，是高等数学教改的重要内容之一。这需要在编写微积分教材中，做好内容上的引导。例如，可以在教材中增加微积分、微分方程等问题的引例，适当给出微积分、微分方程、级数在预测、金融、管理、力学等方面的建模和应用。比如美国教材在定义导数前大篇幅的给出一些应用的引例。近年来，我国二本三本院校参加全国大学生数学建模大赛的热情逐年提高，部分国奖被应用型高校的学生所获。这极大促进了应用型二本院校学生参与数学建模的热情，也促进了应用型大学生人才的培养。
（三）重视与计算机的结合，引入数学实验课
数学不仅要会用还要会算。引入数学实验课是未来应用型本科院校数学课教改的一个重要趋势。但数学课程是基础课，授课人数多，在我国现阶段数学实验课的配套设施将是一大难题。目前我国部分高校在自编教材中引入MATLAB等常用数值计算软件章节，并将数学实验课作为选修课内容，目的是培养数学建模人才和提高学生应用数学解决问题的能力。美国微积分教材中也非常重视微积分和数值计算课程的交叉介绍，仅介绍相关原理，并没给出计算机程序设计。例如，牛顿迭代法在求非线性方程近似解的应用。另外，介绍定积分的数值计算方法，其实就是结合了积分“分割近似求和求极限”的思想。
三、结语
本文通过比较中美微积分教材内容体系上的不同，引出了美国教材内容系统在培养应用型人才方面的独到之处，探索新时期我国应用型本科院校高等数学课程内容体系的发展思路。需要说明的是，我们不能完全照搬美国教材，其也包含了部分内容重复叙述、解题方法不够系统等缺点。因此，在当前越来越多参与高数教学多年的高校教师开始涌入自编教材的大军时，也应该要注意借鉴美版教材的优点，同时兼顾我国经典教材的优点，挖掘一些新的素材和例题，搭建高等数学课程体系内容的新框架，使其更好适应应用型本科院校高素质创新人才的培育目标。
参考文献：
[1]高等数学（第七版），同济大学数学系，高等教育出版社，2014.
[2]Thomas' Calculus （13th Edition），George B. Thomas et al， Pearson， 2014.
[3]Calculus （7th Edition）， James Stewart， Brooks Cole， 2014.
[4]Calculus（9th Edition）， by Dale Varberg et al， Prentice Hall， 2011.
作者简介：
黄琼伟（1983-），男，浙江乐清人，博士，从事微分方程的研究。
【关键词】高等数学 应用型本科 美国教材
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）08-0119-02
近几年，我国各类高校关于微积分和高等数学的自编教材开始涌现，大部分都结合了高校老师几十年教学经验和本校专业特色，对经典的高等数学内容进行了部分增减和修改。目前，在国内绝大多数的应用型本科院校中，工科各专业的数学基础课程通常采用同济大学编写的《高等数学》教材[1]，经过20多年教学实践的检验及7次修订，形成了自己的内容体系和风格，结构严谨、例题较多，适用性广。但针对于二本三本應用型本科院校而言，它也有应用性弱，交叉内容少，语言不够生动等缺点。本文将分析最新美国高校微积分教材的课程内容体系，结合应用性本科院校的专业特点和发展趋势，尝试探索高等数学课程内容体系的新的发展思路和改革方向。
一、中美微积分教材的内容体系发展现状和对比
我国自编高数教材的内容体系深受苏联数学教材的影响，比较注重逻辑的严谨和表达形式的数学化，条理较为清楚。缺点是太过数学化，不注重应用性和生动性，与后续的专业课联系不紧密，让学生体会不到数学的作用。另外，由于中国考研的兴起和应试教育的影响，一些教材过于注重解题方法的介绍，丧失了教材的应用性和可读性。特别是对于强调应用的本科型院校来说，教材相对枯燥、抽象，学生容易产生畏惧。
美国于上世纪80年代就开始进行微积分的教改，涌现了许多经典教材[2-4]，部分都沿用到第13版。相对苏联版教材，美国的微积分教材更加强调应用，注重不同学科不同课程之间的交叉，详述所学内容的实际背景和历史由来，及时更新应用前沿动态，这样的教材内容体系有利于培养应用型人才。下面给出中美高数课程内容的几点主要不同。
（一）极限与连续
美国教材普遍在介绍极限的概念时，给出了两层含义，其中精确定义作为选学内容，并以数值验证方式来介绍极限的定义，美国教材并不凸显等价无穷小替换定理在求解极限方面的作用。此外，数列的极限介绍放在无穷级数一章中[2]。
（二）导数与微分
美国教材通过大量生动有趣的经济学、管理学实例，来阐述导数即为变化率的实际意义。美国和中国对于微分的定义有所不同，美国强调函数的局部线性化，而中国引入无穷小概念来定义。美国教材介绍拉微分中值定理时，柯西定理为选学内容，泰勒中值定理则放入无穷级数一章中。美国教材中关于极值和最优化举例，更加贴合实际，包含经济管理、生物医药等领域。
（三）积分
由于定积分源于实际问题，美国教材先给出定积分的概念，而不定积分作为计算定积分的工具，穿插给出。美国教材对于微积分基本定理的历史演变、背景知识和其作用作了详细阐述。对于积分的计算方法，除了基本的换元法和分部积分法，美国教材普遍也强调数值积分。
（四）微分方程
美国教材将一阶方程和二阶线性方程分成两章内容，其中一阶方程放在定积分之后讲，这主要原因是可分离变量方程和线性方程直接用到了积分内容。由物理问题中演化出了一些著名的数理方程，美国教材详细生动介绍了其物理意义。
二、应用型本科院校高等数学内容体系的探索
（一）注重理论的几何意义和应用背景，强调数学的趣味性
由于应用型本科院校专业更注重数学知识的应用，学生对枯燥的基础理论概念更难理解，因此微积分教材内容应该在知识的趣味性、理论的类比性、背景知识的介绍上做进一步的挖掘。我们认为，数学教材内容应包含数学家的成长经历、著名公式的来历和历史演变以及一些广义且有趣的数学概念。例如，可以适当介绍莱布尼兹、拉格朗日、柯西、高斯等人的数学贡献，以及其在推导某些公式和定理的历史典故等。又如，介绍两个函数乘积的高阶求导公式—莱布尼兹公式时，工科专业学生普遍在学习该公式上有点吃力，此时可在教材中附上大家熟悉的二项式公式，进行类比。
另外，浅显易懂且幽默的语言也是非常有必要的。社会发展很快，教材也不断的被新编，因此教材在适用对象上也应有针对性。智能手机的发明让中国大学生在接受信息和获取知识信息上有了方便的工具，但同时也让学生对于枯燥且过于注重方法论的教材更加排斥。特别是基础性学科教学实力不强的一般应用型院校学生而言，更是如此。这时一本可读性和趣味性强，语言生动活泼的教材是非常重要的。例如，在介绍函数的极限时，可以用一些有趣的语言去描述极限思想。介绍分部积分法时，也可以大胆的给出广泛的教学口诀“反对幂三指”。
（二）重视数学知识的应用和数学建模
对于应用型本科院校，加强学生数学知识的应用能力，培养学生的数学建模意识和兴趣，是高等数学教改的重要内容之一。这需要在编写微积分教材中，做好内容上的引导。例如，可以在教材中增加微积分、微分方程等问题的引例，适当给出微积分、微分方程、级数在预测、金融、管理、力学等方面的建模和应用。比如美国教材在定义导数前大篇幅的给出一些应用的引例。近年来，我国二本三本院校参加全国大学生数学建模大赛的热情逐年提高，部分国奖被应用型高校的学生所获。这极大促进了应用型二本院校学生参与数学建模的热情，也促进了应用型大学生人才的培养。
（三）重视与计算机的结合，引入数学实验课
数学不仅要会用还要会算。引入数学实验课是未来应用型本科院校数学课教改的一个重要趋势。但数学课程是基础课，授课人数多，在我国现阶段数学实验课的配套设施将是一大难题。目前我国部分高校在自编教材中引入MATLAB等常用数值计算软件章节，并将数学实验课作为选修课内容，目的是培养数学建模人才和提高学生应用数学解决问题的能力。美国微积分教材中也非常重视微积分和数值计算课程的交叉介绍，仅介绍相关原理，并没给出计算机程序设计。例如，牛顿迭代法在求非线性方程近似解的应用。另外，介绍定积分的数值计算方法，其实就是结合了积分“分割近似求和求极限”的思想。
三、结语
本文通过比较中美微积分教材内容体系上的不同，引出了美国教材内容系统在培养应用型人才方面的独到之处，探索新时期我国应用型本科院校高等数学课程内容体系的发展思路。需要说明的是，我们不能完全照搬美国教材，其也包含了部分内容重复叙述、解题方法不够系统等缺点。因此，在当前越来越多参与高数教学多年的高校教师开始涌入自编教材的大军时，也应该要注意借鉴美版教材的优点，同时兼顾我国经典教材的优点，挖掘一些新的素材和例题，搭建高等数学课程体系内容的新框架，使其更好适应应用型本科院校高素质创新人才的培育目标。
参考文献：
[1]高等数学（第七版），同济大学数学系，高等教育出版社，2014.
[2]Thomas' Calculus （13th Edition），George B. Thomas et al， Pearson， 2014.
[3]Calculus （7th Edition）， James Stewart， Brooks Cole， 2014.
[4]Calculus（9th Edition）， by Dale Varberg et al， Prentice Hall， 2011.
作者简介：
黄琼伟（1983-），男，浙江乐清人，博士，从事微分方程的研究。