论文部分内容阅读
圆锥曲线是高中数学中非常重要的内容，尤其是直线与圆锥曲线相切的问题。本文里我们一起来探讨过圆锥曲线上一点的切线方程，发现其一般规律。
我们知道，过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的圆的切线方程可表示为：xx0+yy0=r2。类似地，我们可以得到如下定理：
定理1：过椭圆+=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
证明：①当y0=0时，P（±a，0），此时P处的切线方程为：x=±a，满足+=1。
②当0 ③当-b≤y0<0时，同理可证。
综上：过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
推论：过椭圆+=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
定理2：过双曲线-=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的双曲线的切线方程为-=1。
证明同定理1（略）。
推论：过双曲线-=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的双曲线的切线方程为-=1。
定理3：过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为yy0=p（x+x0）。
证明略。
推论1：过抛物线y2=-2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为yy0=-p（x+x0）。
推论2：过抛物线x2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为xx0=p（y+y0）。
推论3：过抛物线x2=-2py（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为xx0=-p（y+y0）。有了上面的结论，很多关于圆锥曲线的切线方面的问题就可以很容易解决了，下面我们通过一个例题来体会一下。
【例】设过抛物线y2=2px（p>0）上任意两点M，N的切线相交于点P，且直线MN与抛物线的准线交于点Q，F为抛物线的焦点，设直线PF和QF的斜率分别为k1和k2，则k1·k2=_____。【答案】：略
我们知道，过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的圆的切线方程可表示为：xx0+yy0=r2。类似地，我们可以得到如下定理：
定理1：过椭圆+=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
证明：①当y0=0时，P（±a，0），此时P处的切线方程为：x=±a，满足+=1。
②当0
综上：过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
推论：过椭圆+=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1。
定理2：过双曲线-=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的双曲线的切线方程为-=1。
证明同定理1（略）。
推论：过双曲线-=1（a>0，b>0）上一点P（x0，y0）的双曲线的切线方程为-=1。
定理3：过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为yy0=p（x+x0）。
证明略。
推论1：过抛物线y2=-2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为yy0=-p（x+x0）。
推论2：过抛物线x2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为xx0=p（y+y0）。
推论3：过抛物线x2=-2py（p>0）上一点P（x0，y0）的抛物线的切线方程为xx0=-p（y+y0）。有了上面的结论，很多关于圆锥曲线的切线方面的问题就可以很容易解决了，下面我们通过一个例题来体会一下。
【例】设过抛物线y2=2px（p>0）上任意两点M，N的切线相交于点P，且直线MN与抛物线的准线交于点Q，F为抛物线的焦点，设直线PF和QF的斜率分别为k1和k2，则k1·k2=_____。【答案】：略