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摘要：“少教”不是让教师投入得更少，更不是传授更少的知识给学生；相反，它要求教师投入更多的精力与智慧，简化教学中不必要的过程，更加注重对学生的引导作用，使得学生能够更加自主、投入地参与到课堂教学中来，亲自体验知识发生、发展的过程.
关键词：双曲线的渐近线；少教多学
一、教学内容的设计背景
近来，关于双曲线的渐近线这一性质的教学处理方法出现了很大的争议，主要观点有两种：（一）主张像教材那样直接由双曲线方程x2a2-y2b2=1>0得到双曲线的图像落在两个不等式组所表示的平面区域内，如果学生看不出，则由教师直接提示得到结论；（二）大部分教师认为很多学生很难想到x2a2-y2b2=1>0这个不等式，如果直接告诉学生，牵引的痕迹太过明显，并且无法让学生体会到双曲线的渐近线引入的必要性，更无法让学生体会到这个概念的来龙去脉.所以，到底如何更好地处理这个教学难点，大家各持己见.
最近，笔者参与了《少教多学的运行机制及质量保障体系的研究》这个课题的研究，对于“少教多学”的理解有了进一步的认识：“少教”不是让教师投入得更少，更不是传授更少的知识给学生；相反，它要求教师投入更多的精力与智慧，简化教学中不必要的过程，更加注重对学生的引导作用，使得学生能够更加自主、投入地参与到课堂教学中来，亲自体验知识发生发展的过程.
鉴于此，笔者在本节课的设计时，重点关注了两个问题：（一）教师“少教”，教什么？怎么教？（二）学生“多学”，学什么？怎么学？
二、笔者的教学实录
问题1：你们之前有没有见过图像类似“双曲线”的函数？
生：貌似学过，反比例函数.
设计意图：前苏联心理学家维果茨基提出了所谓的“最近发展区”，它指的是“实际的发展水平与潜在的发展水平之间的差距.”维果茨基将学生解决问题的能力分成了三种类别：（一）学生能独立进行的；（二）即使借助帮助也不能表现出来的；（三）处于这两个极端之间的借助他人帮助可以表现出来的.本问题旨在从学生思维的“最近发展区”为切入口，激发学生求知欲，另一方面，引导学生利用“特殊到一般”的数学思维方法解决问题.
问题2：它真的是双曲线吗？为什么？
（先给学生几分钟时间思考，然后小组交流）
生1：首先，我们不妨以y=1x为例来研究.我想根据双曲线的定义来证明它是双曲线，可是我找不到它的焦点的位置.
师：其他同学能帮他找到吗？（经过几分钟独立思考之后，我又请大家分小组讨论，学生们经过三分钟研究终于找到了焦点的位置.下面是其中一位同学的做法.）
生2：我首先作出了图像的一条对称轴见图1，然后计算出线段AO的长度作为a，另外，我还在y=1x图像上随便取了一个点P12，2，在y=x上取了两个点FF1（-c，-c），F2（c，c），根据PF1-PF2=2a计算得：c=2，这样就得到了F1（-2，-2），F2（2，2）.
师：下面请大家证明这条曲线到底是不是双曲线？（同时，请生1到黑板上展示.）
下面是大部分学生的做法：设曲线上任意一点Px0，1x0，我们有
PF1-PF2=（x0+2）2+1x0+22-（x0-2）2+1x0-22=x20+1x20+22x0+1x0+4-x20+1x20-22x0+1x0+4=x0+1x0+22-x0+1x0-22=22.
设计意图：《普通高中数学课程标准》倡导的是积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应注重于自主探索、动手实践、合作交流等.这些都有助于发挥学生学习的主动性，还有利于培养学生养成良好的分析问题、解决问题的习惯.
问题3：经过大家的努力，我们证明了函数y=1x的图像确实是双曲线，那么你能较准确地作出反比例函数y=1x的图像吗？为什么？
生3：我首先利用描点法比较精确地作出了点（1，1）和点（-1，-1）附近的图像，然后又根据当x→0时，y=1x→+∞（或-∞），当x→+∞（或-∞）时，y=1x→0，可以看出当x无限趋于0时，图像就无限趋于y轴，当x无限增大时，图像就无限趋于x轴.
师：非常好！在刚才这位同学作图的过程中，x轴、y轴决定了函数图像的变化趋势，我们称这种直线为函数y=1x图像的渐近线.
接着，我就在PPT上给出了渐近线的准确定义：当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果点M到一条直线的距离无限趋近于零，那么该直线称为曲线的渐近线.
设计意图：萨迪曾经说过：“在饱足的眼中看来，烧鸡好比青草.在饥饿的眼中看来，萝卜好比佳肴.”苏教版教材上原本没有出现“渐近线定义”，但我们平时在许多场合又经常遇到渐近线，比如函数的渐近线.因此，根据学生实际的需求我认为在这里还是应该给出“渐近线的定义”，而且这么做甚至还起到了“画龙点睛”的效果.
问题4：方程为x2a2-y2b2=1的双曲线是否也存在渐近线？如果存在，你能找到吗？
经过几分钟独立思考之后，请学生分小组讨论，学生们经过研究知道上述双曲线确实存在渐近线，并且还得到了渐近线的方程.下面是其中几位同学的做法展示：
生4：看到“渐近性”，我想到了研究函数的单调性.根据对称性，我只需要研究第一象限的情况，因为x>0，y>0，y=bax2-a2，该函数在（0，+∞）上单调递增，当x→+∞时，y→bax，而且由y=bax2-a2 生5：我还想到了求双曲线渐近线方程的一个又快又方便的方法，当x，y→+∞时，方程中的“1”就可以忽略不计了，可以令x2a2-y2b2=0，解得y=bax就是双曲线的渐近线方程.
三、教学反思
①对学生学习活动的反思.
有效的学习方法是学生通过自身的摸索与总结建立的.学生在学习过程中的情感体验可以帮助他们形成良好的学习态度与思维的方法，从而树立坚定的自信心.因此在教学过程中教师要更加注重学生的情绪和情感体验，着力于为学生提供良好的课堂气氛和问题情境，从而引导学生产生丰富的积极的情感，帮助他们建立良好的思维习惯.
②对教师教学活动的反思.
我国著名教育家陶行知先生说：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听.”笔者在“少教多学”理念的引领下，通过精心设计的四个问题来调动学生学习的积极性.在这个过程中，教师一定要留给学生充分展示的时间和机会，这样才能培养学生独立思考、敢于创新的精神.
③对教学内容设计的反思.
教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识.而学生的个性化认知差异与教学内容的普遍性是相互对立的，因此如何在教学中把这二者较好的结合起来，直接关系到课堂教学的成败.只有做到两者的有机结合，课堂才会精彩，学生才会真正地体会学习的乐趣，而老师也真正做到了“授之以渔”.
关键词：双曲线的渐近线；少教多学
一、教学内容的设计背景
近来，关于双曲线的渐近线这一性质的教学处理方法出现了很大的争议，主要观点有两种：（一）主张像教材那样直接由双曲线方程x2a2-y2b2=1>0得到双曲线的图像落在两个不等式组所表示的平面区域内，如果学生看不出，则由教师直接提示得到结论；（二）大部分教师认为很多学生很难想到x2a2-y2b2=1>0这个不等式，如果直接告诉学生，牵引的痕迹太过明显，并且无法让学生体会到双曲线的渐近线引入的必要性，更无法让学生体会到这个概念的来龙去脉.所以，到底如何更好地处理这个教学难点，大家各持己见.
最近，笔者参与了《少教多学的运行机制及质量保障体系的研究》这个课题的研究，对于“少教多学”的理解有了进一步的认识：“少教”不是让教师投入得更少，更不是传授更少的知识给学生；相反，它要求教师投入更多的精力与智慧，简化教学中不必要的过程，更加注重对学生的引导作用，使得学生能够更加自主、投入地参与到课堂教学中来，亲自体验知识发生发展的过程.
鉴于此，笔者在本节课的设计时，重点关注了两个问题：（一）教师“少教”，教什么？怎么教？（二）学生“多学”，学什么？怎么学？
二、笔者的教学实录
问题1：你们之前有没有见过图像类似“双曲线”的函数？
生：貌似学过，反比例函数.
设计意图：前苏联心理学家维果茨基提出了所谓的“最近发展区”，它指的是“实际的发展水平与潜在的发展水平之间的差距.”维果茨基将学生解决问题的能力分成了三种类别：（一）学生能独立进行的；（二）即使借助帮助也不能表现出来的；（三）处于这两个极端之间的借助他人帮助可以表现出来的.本问题旨在从学生思维的“最近发展区”为切入口，激发学生求知欲，另一方面，引导学生利用“特殊到一般”的数学思维方法解决问题.
问题2：它真的是双曲线吗？为什么？
（先给学生几分钟时间思考，然后小组交流）
生1：首先，我们不妨以y=1x为例来研究.我想根据双曲线的定义来证明它是双曲线，可是我找不到它的焦点的位置.
师：其他同学能帮他找到吗？（经过几分钟独立思考之后，我又请大家分小组讨论，学生们经过三分钟研究终于找到了焦点的位置.下面是其中一位同学的做法.）
生2：我首先作出了图像的一条对称轴见图1，然后计算出线段AO的长度作为a，另外，我还在y=1x图像上随便取了一个点P12，2，在y=x上取了两个点FF1（-c，-c），F2（c，c），根据PF1-PF2=2a计算得：c=2，这样就得到了F1（-2，-2），F2（2，2）.
师：下面请大家证明这条曲线到底是不是双曲线？（同时，请生1到黑板上展示.）
下面是大部分学生的做法：设曲线上任意一点Px0，1x0，我们有
PF1-PF2=（x0+2）2+1x0+22-（x0-2）2+1x0-22=x20+1x20+22x0+1x0+4-x20+1x20-22x0+1x0+4=x0+1x0+22-x0+1x0-22=22.
设计意图：《普通高中数学课程标准》倡导的是积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应注重于自主探索、动手实践、合作交流等.这些都有助于发挥学生学习的主动性，还有利于培养学生养成良好的分析问题、解决问题的习惯.
问题3：经过大家的努力，我们证明了函数y=1x的图像确实是双曲线，那么你能较准确地作出反比例函数y=1x的图像吗？为什么？
生3：我首先利用描点法比较精确地作出了点（1，1）和点（-1，-1）附近的图像，然后又根据当x→0时，y=1x→+∞（或-∞），当x→+∞（或-∞）时，y=1x→0，可以看出当x无限趋于0时，图像就无限趋于y轴，当x无限增大时，图像就无限趋于x轴.
师：非常好！在刚才这位同学作图的过程中，x轴、y轴决定了函数图像的变化趋势，我们称这种直线为函数y=1x图像的渐近线.
接着，我就在PPT上给出了渐近线的准确定义：当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果点M到一条直线的距离无限趋近于零，那么该直线称为曲线的渐近线.
设计意图：萨迪曾经说过：“在饱足的眼中看来，烧鸡好比青草.在饥饿的眼中看来，萝卜好比佳肴.”苏教版教材上原本没有出现“渐近线定义”，但我们平时在许多场合又经常遇到渐近线，比如函数的渐近线.因此，根据学生实际的需求我认为在这里还是应该给出“渐近线的定义”，而且这么做甚至还起到了“画龙点睛”的效果.
问题4：方程为x2a2-y2b2=1的双曲线是否也存在渐近线？如果存在，你能找到吗？
经过几分钟独立思考之后，请学生分小组讨论，学生们经过研究知道上述双曲线确实存在渐近线，并且还得到了渐近线的方程.下面是其中几位同学的做法展示：
生4：看到“渐近性”，我想到了研究函数的单调性.根据对称性，我只需要研究第一象限的情况，因为x>0，y>0，y=bax2-a2，该函数在（0，+∞）上单调递增，当x→+∞时，y→bax，而且由y=bax2-a2
三、教学反思
①对学生学习活动的反思.
有效的学习方法是学生通过自身的摸索与总结建立的.学生在学习过程中的情感体验可以帮助他们形成良好的学习态度与思维的方法，从而树立坚定的自信心.因此在教学过程中教师要更加注重学生的情绪和情感体验，着力于为学生提供良好的课堂气氛和问题情境，从而引导学生产生丰富的积极的情感，帮助他们建立良好的思维习惯.
②对教师教学活动的反思.
我国著名教育家陶行知先生说：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听.”笔者在“少教多学”理念的引领下，通过精心设计的四个问题来调动学生学习的积极性.在这个过程中，教师一定要留给学生充分展示的时间和机会，这样才能培养学生独立思考、敢于创新的精神.
③对教学内容设计的反思.
教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识.而学生的个性化认知差异与教学内容的普遍性是相互对立的，因此如何在教学中把这二者较好的结合起来，直接关系到课堂教学的成败.只有做到两者的有机结合，课堂才会精彩，学生才会真正地体会学习的乐趣，而老师也真正做到了“授之以渔”.