二次函数是很多高中数学问题得以解决的依托，二次函数根的分布是学习的难点，也往往是高考压轴题解答的基石，因此，重视二次函数根的分布规律探讨具有非常重要的现实意义。
　　例1若方程ax2-2x+1=0（a>0）的两根满足条件：较小根小于1，较大根在1、3之间，求a的取值范围。
　　图1
　　分析：主要是找“较小根小于1，较大根在1、3之间”的一个充要条件，可通过图像去观察。如图1。
　　解：令f（x）=ax2-2x+1（a>0），由题意可知：若“较小根小于1，较大根在1、3之间”，
　　则满足f（1）<0，
　　f（3）>0，即a-1<0，9a-5>0，故a∈59，1。
　　例2m为何实数时，x2+2mx+2m+1=0在x|-4　　解：令f（x）=x2+2mx+2m+1，如图2，由题意可知：
　　Δ>0，
　　f（-4）>0，
　　f（0）>0，
　　-4<-m<0。即（2m）2-4（2m+1）>0，
　　17-6m>0，
　　2m+1>0，
　　0　　图2
　　解得m∈1+2，176。
　　思考：根的分布问题可分为两类：当两根分布在同一区间上时，此时只须考虑区间端点对应的函数值符号即可；当两根分布在同一区间上时，须考虑三个方面：判别式Δ的符号、区间端点对应的函数值的符号、对称轴的范围。当然，并不是所有的根的分布问题都非要用此种方法，我们只须找到根的分布的一个充要条件即可。
　　例3若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合。
　　图3
　　分析：如图3，由上述理论可知，应有：
　　f（0）f（1）<0，f（1）f（2）<0，
　　即（3-m）（4-2m）<0，（4-2m）（7-3m）<0，
　　解得2　　例4设二次函数fx=ax2+bx+ca>0，方程fx-x=0的两个根x1，x2满足0　　分析：在已知方程fx-x=0有两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数fx-x的表达式，从而得到函数f（x）的表达式。
　　证明：由题意可知f（x）-x=a（x-x1）·（x-x2）。
　　因为0　　所以a（x-x1）（x-x2）>0。
　　所以当x∈0，x1时，f（x）>x。
　　又f（x）-x1=a（x-x1）（x-x2）+x-x1=（x-x1）（ax-ax2+1），
　　x-x1<0，且ax-ax2+1>1-ax2>0，所以f（x）　　例5已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2。
　　（1）如果x1<2-1；
　　（2）如果x1<2，x2-x1=2，求b的取值范围。
　　分析：条件x1<2　　解：设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）·x+1，则g（x）=0的两根为x1和x2。
　　（1）由a>0及x1<20，即4a+2b-1<0，16a+4b-3>0，即
　　3+3·b2a-34a<0，-4-2·b2a+34a<0。
　　两式相加得b2a<1，所以，x0>-1。
　　（2）由（x1-x2）2=b-1a2-4a， 可得2a+1=（b-1）2+1。
　　又x1x2=1a>0，所以x1，x2同号。
　　所以x1<2，x2-x1=2等价于0　　或x2<-2　　即g（2）>0，g（0）>0，2a+1=（b-1）2+1，
　　或g（-2）>0，g（0）>0，2a+1=（b-1）2+1。
　　解得b<14或b>74。
　　作者单位：河南师范大学附属中学高1605班