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人非圣贤，孰能无过？晒晒错解，防患于未然.让我们从平面向量与复数中的错解中汲取教训，走向成功.
一、晒晒平面向量应用中的错解
1.忽略共线向量致误
例1 已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a b c的长度.
错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=3，故|a b c|=3.
剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0°，符合题意.
正解：（1）当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a b c|=|a| |b| |c|=6；
（2）当向量a、b、c不共线时，同错解.
综上所述，向量a b c的长度为6或3.
2.忽视两向量夹角的意义致误
例2 正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a b c|的值.
错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，
所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，
由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=6，故|a b c|=6.
剖析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0°，180°]，因此，a与b的夹角应为180°-∠BCA.
正解1：作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，
由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=0，故|a b c|=0.
正解2：∵a b c=BC CA AB=0，
∴|a b c|=0.
3.忽视等价条件致误
例3 已知a=（1，3），b=（2，λ），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.
错解：因为θ为锐角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只需a·b>0，即1·2 3·λ>0，即λ>-23.
剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0，因此，a·b>0与两非零向量a与b的夹角为锐角不等价.即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b.
正解：由θ为锐角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2 3·λ>0，即λ>-23；若a平行b则1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b则或θ=π，与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.
综上，λ>-23且λ≠6.
4.忽视向量的特性致误
例4 已知a、b都是非零向量，且向量a 3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.
错解：由题意得（a 3b）·（7a-5b）=0（a-4b）·（7a-2b）=0，
即7a2 16a·b-15b2=07a2-30a·b 8b2=0，两式相减得46a·b-23b2=0，即b（2a-b）=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°.
剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b，若满足a·b=0则不一定有a=0或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cosθ知与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.
正解：由前知b2=2a·b代入7a2 16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a2|=12.
二、晒晒复数中的错解
1.将“实数的相关公式”迁移到复数中而致误
例5 在复数范围内，方程x2-5|x| 6=0的解的个数为.
错解：由x2-5|x| 6=0，得（|x|-2）（|x|-3）=0，
那么，|x|=2或|x|=3，从而x=±2或x=±3，故答案为4.
剖析：在实数中我们经常用到x2=|x|2，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的.
正解：设x=a bi（a，b∈R），那么原方程即为（a bi）2-5a2 b2 6=0，
得a2-b2-5a2 b2 6=0，2ab=0，故a=±2，b=0或a=±3，b=0或a=0，b=±1.
所以正确答案为6.
例6 （1-i1 i）5的化简结果是.
错解：由（1-i1 i）5=[（1-i1 i）4]54=[（1-i）4（1 i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1，故答案为1.
剖析：在实数集中，对任意x∈R（m，n∈R），有xmn=（xm）n；而在复数集中，仅对m，n∈N*有xmn=（xm）n.此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集. 正解：（1-i1 i）5=（1-i1 i）4·1-i1 i
=（1-i）4（1 i）4·（1-i）（1 i）（1 i）（1 i）=（-2i）2（2i）2·22i
=-i2i=-i，
故正确答案为-i.
2.忽视复数相等的条件致误
例7 解关于x的方程x2-5x 6 （x-2）i=0.
错解：由复数相等的定义得：
x2-5x 6=0x-2=0x=2或x=3x=2x=2.
分析：a bi=c dia=c，b=d，上式必须是在a、b、c、d∈R为前提的，本题并未告诉x是否为实数.
正解：原方程变形为
x2-（5-i）x 6-2i=0，
则Δ=（5-i）2-4（6-2i）=（1-i）2.
由一元二次方程求根公式得：
x1=（5-i） （1-i）2=3-i，
x2=（5-i）-（1-i）2=2，
∴原方程的解为x=3-i或x=2.
3.忽视使用判别式的条件致误
例8 关于x的方程x2 （2a-i）x-ai 1=0有实根，求实数a的范围.
错解：∵方程有实根，
∴Δ=（2a-i）2-4（1-ai）=4a2-5≥0，
得a≥52或a≤-52即为所求.
剖析：判别式Δ只能用来判定实系数一元二次方ax2 bx c=0（a≠0）根的虚实，而该方程式中2a-i与1-ai并非实数.
正解：设x0是其实根，代入原方程变形为
x20 2ax0 1-（a x0）i=0，
由复数相等的定义有
x20 2ax0 1=0x0 a=0a=±1.
4.忽视虚根共轭成对出现的条件致误
例9 已知x2 kx-i=0有一个根是i，求另一个根及k的值.
错解：根据一元n次方程虚根成对原理，i是其一根，则i的共轭虚数-i必是其另一根，由韦达定理有i （-i）=k，∴k=0.
剖析：虽然韦达定理对复系数一元n次方程仍成立，但只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭出现，本题系数并非实数.
正解：因i是其根，代入原方程i2 ki-i=0，由此得k=1-i，设x0是另一根，则由韦达定理得x0i=-i，从而得x0=-1.
（作者：张新艳，太仓市明德高级中学）
一、晒晒平面向量应用中的错解
1.忽略共线向量致误
例1 已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a b c的长度.
错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=3，故|a b c|=3.
剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0°，符合题意.
正解：（1）当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a b c|=|a| |b| |c|=6；
（2）当向量a、b、c不共线时，同错解.
综上所述，向量a b c的长度为6或3.
2.忽视两向量夹角的意义致误
例2 正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a b c|的值.
错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，
所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，
由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=6，故|a b c|=6.
剖析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0°，180°]，因此，a与b的夹角应为180°-∠BCA.
正解1：作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，
由|a b c|2=a2 b2 c2 2a·b 2b·c 2c·a=0，故|a b c|=0.
正解2：∵a b c=BC CA AB=0，
∴|a b c|=0.
3.忽视等价条件致误
例3 已知a=（1，3），b=（2，λ），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.
错解：因为θ为锐角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只需a·b>0，即1·2 3·λ>0，即λ>-23.
剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0，因此，a·b>0与两非零向量a与b的夹角为锐角不等价.即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b.
正解：由θ为锐角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2 3·λ>0，即λ>-23；若a平行b则1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b则或θ=π，与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.
综上，λ>-23且λ≠6.
4.忽视向量的特性致误
例4 已知a、b都是非零向量，且向量a 3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.
错解：由题意得（a 3b）·（7a-5b）=0（a-4b）·（7a-2b）=0，
即7a2 16a·b-15b2=07a2-30a·b 8b2=0，两式相减得46a·b-23b2=0，即b（2a-b）=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°.
剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b，若满足a·b=0则不一定有a=0或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cosθ知与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.
正解：由前知b2=2a·b代入7a2 16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a2|=12.
二、晒晒复数中的错解
1.将“实数的相关公式”迁移到复数中而致误
例5 在复数范围内，方程x2-5|x| 6=0的解的个数为.
错解：由x2-5|x| 6=0，得（|x|-2）（|x|-3）=0，
那么，|x|=2或|x|=3，从而x=±2或x=±3，故答案为4.
剖析：在实数中我们经常用到x2=|x|2，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的.
正解：设x=a bi（a，b∈R），那么原方程即为（a bi）2-5a2 b2 6=0，
得a2-b2-5a2 b2 6=0，2ab=0，故a=±2，b=0或a=±3，b=0或a=0，b=±1.
所以正确答案为6.
例6 （1-i1 i）5的化简结果是.
错解：由（1-i1 i）5=[（1-i1 i）4]54=[（1-i）4（1 i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1，故答案为1.
剖析：在实数集中，对任意x∈R（m，n∈R），有xmn=（xm）n；而在复数集中，仅对m，n∈N*有xmn=（xm）n.此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集. 正解：（1-i1 i）5=（1-i1 i）4·1-i1 i
=（1-i）4（1 i）4·（1-i）（1 i）（1 i）（1 i）=（-2i）2（2i）2·22i
=-i2i=-i，
故正确答案为-i.
2.忽视复数相等的条件致误
例7 解关于x的方程x2-5x 6 （x-2）i=0.
错解：由复数相等的定义得：
x2-5x 6=0x-2=0x=2或x=3x=2x=2.
分析：a bi=c dia=c，b=d，上式必须是在a、b、c、d∈R为前提的，本题并未告诉x是否为实数.
正解：原方程变形为
x2-（5-i）x 6-2i=0，
则Δ=（5-i）2-4（6-2i）=（1-i）2.
由一元二次方程求根公式得：
x1=（5-i） （1-i）2=3-i，
x2=（5-i）-（1-i）2=2，
∴原方程的解为x=3-i或x=2.
3.忽视使用判别式的条件致误
例8 关于x的方程x2 （2a-i）x-ai 1=0有实根，求实数a的范围.
错解：∵方程有实根，
∴Δ=（2a-i）2-4（1-ai）=4a2-5≥0，
得a≥52或a≤-52即为所求.
剖析：判别式Δ只能用来判定实系数一元二次方ax2 bx c=0（a≠0）根的虚实，而该方程式中2a-i与1-ai并非实数.
正解：设x0是其实根，代入原方程变形为
x20 2ax0 1-（a x0）i=0，
由复数相等的定义有
x20 2ax0 1=0x0 a=0a=±1.
4.忽视虚根共轭成对出现的条件致误
例9 已知x2 kx-i=0有一个根是i，求另一个根及k的值.
错解：根据一元n次方程虚根成对原理，i是其一根，则i的共轭虚数-i必是其另一根，由韦达定理有i （-i）=k，∴k=0.
剖析：虽然韦达定理对复系数一元n次方程仍成立，但只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭出现，本题系数并非实数.
正解：因i是其根，代入原方程i2 ki-i=0，由此得k=1-i，设x0是另一根，则由韦达定理得x0i=-i，从而得x0=-1.
（作者：张新艳，太仓市明德高级中学）