摘要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
　　关键词：n阶行列式;计算;方法
　　【中图分类号】G633.66
　　
　　n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
　　1．利用行列式定义直接计算
　　例1计算行列式
　　
　　解Dn中不为零的项用一般形式表示为
　　 .
　　该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于 ，故
　　
　　2．利用行列式的性质计算
　　例2一个n阶行列式 的元素满足
　　
　　则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.
　　证明：由 知 ，即
　　
　　故行列式Dn可表示为
　　
　　由行列式的性质
　　
　　
　　
　　当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.
　　3．化为三角形行列式
　　若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
　　例3计算n阶行列式
　　
　　解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得
　　
　　
　　
　　
　　4．降阶法
　　降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
　　例4计算n阶行列式
　　
　　解将Dn按第1行展开
　　
　　
　　
　　 .
　　5．逆推公式法
　　逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
　　例5证明
　　
　　
　　证明：将Dn按第1列展开得
　　
　　
　　
　　由此得递推公式： ，利用此递推公式可得
　　
　　
　　
　　6．利用范德蒙行列式
　　例6计算行列式
　　
　　解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
　　
　　7．加边法（升阶法）
　　加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
　　例7计算n阶行列式
　　
　　解：
　　 （箭形行列式）
　　
　　
　　8．数学归纳法
　　例8计算n阶行列式
　　
　　解：用数学归纳法. 当n = 2时
　　
　　
　　假设n = k时，有
　　
　　则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得
　　
　　
　　
　　由此，对任意的正整数n，有
　　
　　9．拆开法
　　把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
　　例9计算行列式
　　解：
　　
　　
　　……
　　
　　上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
　　参考文献
　　[1] 《线性代数》魏贵民等主编.高等教育出版社,2004年8月
　　[2] 《线性代数解题方法》刘金山.吴明芬编著.华南理工大学出版社,2000年6月
　　[3] 《线性代数复习指导》马杰主编.机械工业出版社,2002年3月
　　作者简介：姓名,郭思,性别,男,出身年月,1963.9,职称讲师。