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【摘要】数学概念的教学是学生展开深入学习的基础，是决定学生学习高度的重要因素，教学过程中教师要进行学生的学习路径分析，要立足于学生的知识经验而教，并关注不同学生的真实思维状态，引导学生进行思维碰撞，尝试用不同的表征方式凸显了他们对概念的认识，促进学生把握数学概念的核心内涵。
【关键词】数学概念；学习路径分析；实践研究
基本概念的建立是学生数学学习的基础，很多概念作为学生联结相关知识的中枢点，使得学生对于概念的本质、内涵及外延都需要有深度的把握。因此在数学概念的教学中，教师切忌照本宣科，而是要选择合适的材料，借助多样的教学手段，让学生在丰富的学习过程中去触碰数学概念，感知数学概念，并建立起概念的体系来。这个过程中，学习路径的分析显得尤为重要，因为缺乏了学习路径的分析的概念教学必然是单线程的，是呆板的，是忽视了学生的学习主体地位的，实际教学中教师应结合学生学习路径的分析状况来实施概念教学，具体可以从以下几点展开：
一、紧扣学生已有知识经验来实施概念教学
数学概念的教学不能仅仅停留在知道和了解上，而是要驱动学生挖掘概念的本质内涵，让学生掌握概念，并将概念纳入到对应的知识体系中，在概念教学时，教师要把握学生的已有知识经验，要建立在学生的经验基础之上来教学，即便是将概念展示给学生的时候，教师也要留足一定的时间让学生自己去理解和消化，让学生先尝试个体建构，然后再组织学生的交流，促进他们从不同的角度看待概念，从自我的角度对概念进行个性化的建构，往往经历了这样的学习过程，学生对于数学概念的把握会更到位。
例如在“角的认识”的教学中，我设计了三个环节：首先是创设情境，让学生摸藏在黑色袋子中的一个模型角，在摸了之后请学生用语言来描述自己摸到的是什么，之后我请参与活动的学生尝试在黑板上画一画自己摸到的东西，学生很快根据自己的触觉画出一个角来，在取出实物之后，学生对照所画形状和实物来进行比较，这个过程中，学生初步认识到角有两条边和一个顶点，还有的学生根据实物提出意见：他画的不准确，这两条边看上去比实物的两条边张开的小一些。第二个环节是找角，根据教师出示的情境图，让学生找一找这张图中隐藏了哪些角，学生根据之前建立的概念很快找出一些角来，教师将这些“角”运用技术手段从实物图片中抽象出来，加深学生对角的认识。第三个环节是让学生说一说还在生活中的哪些地方见过角，这个过程中出现了一些意料之中的问题，有学生在说角的时候提到了羊角，于是我出示了课前准备好的图片，让学生将这个角与之前认识的角进行比较，很快有学生指出之前认识的角都是“平的”，而羊角不是这样的，虽然学生的语言描述不是十分精确，但是体现出他们的观察力和洞察力，经历了这样的比较，学生对于数学上的角的认识就达成了精确认识。
在这个教学案例中，教师有意识让学生对于角的认识经历了几个不同的过程，首先是初步认识角，学生就是根据自己的触觉画出角，然后对照实物体验角的基本特征，其次是抽象角，因为角是一个抽象出来的数学概念，所以让学生联系生活经验来抽象出数学上的角很重要，最后是让角的概念再回溯到学生的生活中，让他们说说各种各样的角，这个过程让学生的真实想法凸显了出来，因为在不少孩子的心中，角是个立体的图形，显然这是因为生活经验的影响，实际教学中让学生经过观察、对比来精确认识角，是学习的再升华。这个案例是一个典型的借助学习路径分析的概念教学，历经多个层次，学生对于角的基本概念有了清晰的建构和深入的认识。
二、依据学生的思维过程来推升概念教学
概念教学不能照本宣科，在数学概念的教学中，学生的真实思维状态及其关键，教者只有准确把握学生的想法，才能有针对性的进行教学，纠正学生认识上的偏差，强化概念的本质，让学生对于数学概念有清晰的认识。从这个角度出发，在概念教学中教师要牵引出学生的思维过程，要让学生之间产生观点的碰撞，这样有利于他们准确把握数学概念。
例如“认识倒数”的教学，在揭示课题之后，我引导学生说一说看到课题之后想知道什么，不少学生紧扣课题，提出有价值的问题来，比如“什么是倒数”“学习倒数有什么用”等等。此后我出示一些分数乘法算式，让学生独立计算，并根据计算结果将这些算式分成两类，很快有学生根据乘积是不是1来分类，在此基础上我向学生揭示了“倒数”的概念，并着重了“互为倒数”几个关键字，在引导学生尝试用自己的话说一说什么是倒数的时候，很多学生对倒数做出了新的诠释，有学生指出“倒数不是一种新的数，而是两个数之间的一种关系”，还有学生提出“互为倒数与之前学过的倍数和因数类似，不可以说一个数是倍数，一个数是因数，只能说某一个数是另一个数的倍数或者因数，倒数也是这样，只能说某一个数是另一个数的倒数，不能说某一个数是倒数”，这样语言体现了学生对于倒数的深入认识，在参与讨论的过程中，学生从发言者那里听到了不同的观点，并与自己的理解相对照，这样促进了概念的内化。当然在这之后我还引导学生就怎样求一个数的倒数，以及是不是所有的数都有倒数这样的问题进行了深入的探索，推动学生全方位建构倒数的概念。
在这个学习案例中，我之所以要让学生用自己的语言来描述倒数，来谈谈对倒数的理解，就是给学生搭建一个平台，让学生将自己的思考说出来，展现出学生的思维过程，其中有学生将倒数与倍数和因数联系起来，找到它们的共同点，这给了其他学生以启发，让学生将零散的知识串联起来，有助于他们对于概念的理解和把握。
三、根据学生的表征方式来强化概念
学生对于概念的认识是循序渐进的，当他们将概念纳入到对应的知识体系之后，学生对概念的认识会上升一个层次。在数学概念教学中，教师需要了解学生的真实思维状态，一个简单的操作就是驱动学生用自己的方式表征出概念，借助于画图、语言描述等各种方式来展现自己的领悟，并在组织对比的过程中推动学生强化相关的概念。
例如在“认识负数”的教学中，我选择了温度计和电梯等环境中的负数来组织教学，首先是在不同情境中直截了当地出示负数，让学生说一说、读一读，不少学生其实已经具备了相应的基础，所以他们毫不费力就初步认识了负数。之后我引导学生用自己的方式来表示不同情境中的负数，在独立尝试的过程中，有的学生用画图的方式来表示出负数，比如在表示电梯中的负数时，学生画出一条水平线（地面）来作为重要的标志，在画海拔高度的时候，学生形象地画出海面。也有的学生用语言描述负数，他们用“比0小几就是负几”来描述负数，而结合具体的情境，这句话衍生为比海平面低多少米就是负多少米等等，在组织学生交流对于负数的认识时，这些不同的表征方法受到大家的关注，也有学生提出自己的见解，这些过程都推动大家对负数建立了准确的概念，以至于有学生最后做了一个总结性的发言：以0为界限，负数和正数是相对的。这样的语言集中体现了学生对于负数的认识，推动了他们的概念建构。
总之，数学概念的教学要彰显效率就必須依托于学习路径的分析，教者要依托学生的已有经验，要把握学生的真实思维过程，要驱动学生用自己的方式来表征概念，这样才能推动学生触碰数学概念的核心本质，让学生学得真实，学得深入，学得富有成效。
【参考文献】
[1]张春莉，刘怡.基于学生学习路径分析的教学路径研究[J].中小学教师培训，2015（09）：39- 43
[2]章勤琼，黄荣金，南欲晓.为数学理解而教———基于学习路径分析的小学数学教学课例研究[J].课程·教材·教法，2019，39（11）：116- 122
（江苏省南通市开发区实验小学，江苏南通226000）
【关键词】数学概念；学习路径分析；实践研究
基本概念的建立是学生数学学习的基础，很多概念作为学生联结相关知识的中枢点，使得学生对于概念的本质、内涵及外延都需要有深度的把握。因此在数学概念的教学中，教师切忌照本宣科，而是要选择合适的材料，借助多样的教学手段，让学生在丰富的学习过程中去触碰数学概念，感知数学概念，并建立起概念的体系来。这个过程中，学习路径的分析显得尤为重要，因为缺乏了学习路径的分析的概念教学必然是单线程的，是呆板的，是忽视了学生的学习主体地位的，实际教学中教师应结合学生学习路径的分析状况来实施概念教学，具体可以从以下几点展开：
一、紧扣学生已有知识经验来实施概念教学
数学概念的教学不能仅仅停留在知道和了解上，而是要驱动学生挖掘概念的本质内涵，让学生掌握概念，并将概念纳入到对应的知识体系中，在概念教学时，教师要把握学生的已有知识经验，要建立在学生的经验基础之上来教学，即便是将概念展示给学生的时候，教师也要留足一定的时间让学生自己去理解和消化，让学生先尝试个体建构，然后再组织学生的交流，促进他们从不同的角度看待概念，从自我的角度对概念进行个性化的建构，往往经历了这样的学习过程，学生对于数学概念的把握会更到位。
例如在“角的认识”的教学中，我设计了三个环节：首先是创设情境，让学生摸藏在黑色袋子中的一个模型角，在摸了之后请学生用语言来描述自己摸到的是什么，之后我请参与活动的学生尝试在黑板上画一画自己摸到的东西，学生很快根据自己的触觉画出一个角来，在取出实物之后，学生对照所画形状和实物来进行比较，这个过程中，学生初步认识到角有两条边和一个顶点，还有的学生根据实物提出意见：他画的不准确，这两条边看上去比实物的两条边张开的小一些。第二个环节是找角，根据教师出示的情境图，让学生找一找这张图中隐藏了哪些角，学生根据之前建立的概念很快找出一些角来，教师将这些“角”运用技术手段从实物图片中抽象出来，加深学生对角的认识。第三个环节是让学生说一说还在生活中的哪些地方见过角，这个过程中出现了一些意料之中的问题，有学生在说角的时候提到了羊角，于是我出示了课前准备好的图片，让学生将这个角与之前认识的角进行比较，很快有学生指出之前认识的角都是“平的”，而羊角不是这样的，虽然学生的语言描述不是十分精确，但是体现出他们的观察力和洞察力，经历了这样的比较，学生对于数学上的角的认识就达成了精确认识。
在这个教学案例中，教师有意识让学生对于角的认识经历了几个不同的过程，首先是初步认识角，学生就是根据自己的触觉画出角，然后对照实物体验角的基本特征，其次是抽象角，因为角是一个抽象出来的数学概念，所以让学生联系生活经验来抽象出数学上的角很重要，最后是让角的概念再回溯到学生的生活中，让他们说说各种各样的角，这个过程让学生的真实想法凸显了出来，因为在不少孩子的心中，角是个立体的图形，显然这是因为生活经验的影响，实际教学中让学生经过观察、对比来精确认识角，是学习的再升华。这个案例是一个典型的借助学习路径分析的概念教学，历经多个层次，学生对于角的基本概念有了清晰的建构和深入的认识。
二、依据学生的思维过程来推升概念教学
概念教学不能照本宣科，在数学概念的教学中，学生的真实思维状态及其关键，教者只有准确把握学生的想法，才能有针对性的进行教学，纠正学生认识上的偏差，强化概念的本质，让学生对于数学概念有清晰的认识。从这个角度出发，在概念教学中教师要牵引出学生的思维过程，要让学生之间产生观点的碰撞，这样有利于他们准确把握数学概念。
例如“认识倒数”的教学，在揭示课题之后，我引导学生说一说看到课题之后想知道什么，不少学生紧扣课题，提出有价值的问题来，比如“什么是倒数”“学习倒数有什么用”等等。此后我出示一些分数乘法算式，让学生独立计算，并根据计算结果将这些算式分成两类，很快有学生根据乘积是不是1来分类，在此基础上我向学生揭示了“倒数”的概念，并着重了“互为倒数”几个关键字，在引导学生尝试用自己的话说一说什么是倒数的时候，很多学生对倒数做出了新的诠释，有学生指出“倒数不是一种新的数，而是两个数之间的一种关系”，还有学生提出“互为倒数与之前学过的倍数和因数类似，不可以说一个数是倍数，一个数是因数，只能说某一个数是另一个数的倍数或者因数，倒数也是这样，只能说某一个数是另一个数的倒数，不能说某一个数是倒数”，这样语言体现了学生对于倒数的深入认识，在参与讨论的过程中，学生从发言者那里听到了不同的观点，并与自己的理解相对照，这样促进了概念的内化。当然在这之后我还引导学生就怎样求一个数的倒数，以及是不是所有的数都有倒数这样的问题进行了深入的探索，推动学生全方位建构倒数的概念。
在这个学习案例中，我之所以要让学生用自己的语言来描述倒数，来谈谈对倒数的理解，就是给学生搭建一个平台，让学生将自己的思考说出来，展现出学生的思维过程，其中有学生将倒数与倍数和因数联系起来，找到它们的共同点，这给了其他学生以启发，让学生将零散的知识串联起来，有助于他们对于概念的理解和把握。
三、根据学生的表征方式来强化概念
学生对于概念的认识是循序渐进的，当他们将概念纳入到对应的知识体系之后，学生对概念的认识会上升一个层次。在数学概念教学中，教师需要了解学生的真实思维状态，一个简单的操作就是驱动学生用自己的方式表征出概念，借助于画图、语言描述等各种方式来展现自己的领悟，并在组织对比的过程中推动学生强化相关的概念。
例如在“认识负数”的教学中，我选择了温度计和电梯等环境中的负数来组织教学，首先是在不同情境中直截了当地出示负数，让学生说一说、读一读，不少学生其实已经具备了相应的基础，所以他们毫不费力就初步认识了负数。之后我引导学生用自己的方式来表示不同情境中的负数，在独立尝试的过程中，有的学生用画图的方式来表示出负数，比如在表示电梯中的负数时，学生画出一条水平线（地面）来作为重要的标志，在画海拔高度的时候，学生形象地画出海面。也有的学生用语言描述负数，他们用“比0小几就是负几”来描述负数，而结合具体的情境，这句话衍生为比海平面低多少米就是负多少米等等，在组织学生交流对于负数的认识时，这些不同的表征方法受到大家的关注，也有学生提出自己的见解，这些过程都推动大家对负数建立了准确的概念，以至于有学生最后做了一个总结性的发言：以0为界限，负数和正数是相对的。这样的语言集中体现了学生对于负数的认识，推动了他们的概念建构。
总之，数学概念的教学要彰显效率就必須依托于学习路径的分析，教者要依托学生的已有经验，要把握学生的真实思维过程，要驱动学生用自己的方式来表征概念，这样才能推动学生触碰数学概念的核心本质，让学生学得真实，学得深入，学得富有成效。
【参考文献】
[1]张春莉，刘怡.基于学生学习路径分析的教学路径研究[J].中小学教师培训，2015（09）：39- 43
[2]章勤琼，黄荣金，南欲晓.为数学理解而教———基于学习路径分析的小学数学教学课例研究[J].课程·教材·教法，2019，39（11）：116- 122
（江苏省南通市开发区实验小学，江苏南通226000）