《数学课程标准（实验稿）》明确指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验之上. 如果学生的认知基础已经达到课前就知道探究结论的程度，那么教师再来创设情景，按部就班地引导学生展开探究过程，推导探究结论，不仅调动不起学生的探究积极性，更不利于学生数学创新思维的培养. 如何做到关注认知基础与提升探究空间相结合呢？下面介绍两个案例与大家共赏.
　　 案例一 《圆周长公式推导》教学片段
　　 师：今天我们一起来研究圆周长的知识，你们知道圆周长该怎样计算吗？
　　 生：知道！知道！
　　 生１：直径的３．１４倍就是圆周长.
　　 生２：正确地说是直径的π倍，因为π是一个无限不循环的小数，为了计算方便才取近似值３．１４的.
　　 生３：圆周长＝圆周率（π）×直径.
　　 师：同学们知道的可真多呀！那你们知道这个圆周长计算公式是怎样研究得出的吗？是不是所有的圆都可以用这样的公式来计算周长呢？
　　 （片刻的静寂后，课堂活跃了，学生纷纷拿出自己带来的各种圆形物品、直尺、细线等学具进行操作，验证结论. ）
　　 反馈 生１：通过操作，我知道圆周长的计算公式为什么是圆周率乘直径了.
　　 师：真的？（很惊喜）能具体说说你的推导过程吗？
　　 生1：我先测量出瓶盖直径为６．８厘米，然后用细线绕瓶盖一周，在直尺上测量出这段细线长是２１．４厘米，这个２１．４厘米就是瓶盖的周长，除以直径６.８厘米，商是３．１４７，除去误差，就可以看成周长是直径的３．１４倍了.
　　 师：（故意）你这个瓶盖比较特殊吧？也许其他圆形物品直径和周长之间就不存在这种关系？
　　 生２：（迫不及待）生１的结论是完全正确的，我们小组每名同学都测量了一个圆形物品的周长和直径，结果发现每一个圆的周长都是直径的３．１４倍左右.
　　 （“对！”所有的学生都应和着. ）
　　 生３：（颇为得意）老师，我觉得圆周长不一定非得用“圆周率×直径”这个公式，（不少学生用很惊讶的眼神看着生３，当然也有一些学生举手表示自己明白生３即将要说的意思. ）因为“直径＝２×半径”，所以，根据直径与半径的关系，我们可以推导出圆周长的另一个计算公式——“圆周率×２×半径”.
　　 评析 这样的教学更多地关注了学生的认知基础，教师一句“那你们知道这个圆周长计算公式是怎样研究得出的吗？是不是所有的圆都可以用这样的公式来计算周长呢？”完全颠覆了教师“指令”学生按步探究的教学模式，代之以“用实验验证已知结论”的做法. 这样的改变，在尊重学生认知基础的同时，也为学生的探究活动和创新活动提供了更为广阔的时空.
　　 有些平面图形周长或面积计算公式的推导过程，从不同的角度思考可以有不同的方法，书上介绍的、学生课前所知的往往只是其中的一种或两种最基本、最常用的推导方法，课堂上教师鼓励推导方式的多样化是提高学生探究兴趣，提升探究空间的最基本途径之一.
　　 案例二 《三角形面积公式推导》教学片段
　　 师：今天我们一起来研究“三角形的面积”.
　　 （还未板书课题，已有学生举手. ）
　　 师：××同学，你有什么意见吗？
　　 生１：老师，我知道三角形的面积计算公式是“底乘高除以２”.
　　 （“是的，是的，我也知道.”有不少学生响应. ）
　　 师：你们真了不起！（随即板书公式）那你们知道这个面积公式是怎么推导出来的吗？
　　 生２：（争着发言）知道！
　　 师：请你当回小老师.
　　 生２：在黑板上画上了面积公式的推导示意图，并解释说：两个完全一样的三角形（锐角三角形）可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是“底×高”，三角形的面积就是“底×高÷２”.
　　 师：你真是位优秀的小老师！但还是有一些疑问需要同学们进一步探究：①两个完全一样的锐角三角形（指着生２画的示意图）拼成一个平行四边形，可以推出锐角三角形的面积计算公式，那么，这个方法是否同样适用于直角三角形和钝角三角形呢？②两个完全一样的三角形难道非得拼成平行四边形才能推导出它的面积计算公式吗？拼成别的图形来推导不行吗？③在推导三角形的面积公式时，一定要两个完全一样的三角形吗？请同学们自由选择合作伙伴与探究主题，开始活动. 评析 一个个精彩、详实、颇具创造性的课堂生成资源，得益于教师对学生认知基础的尊重，得益于教师对学生探究心理的准确把握，更得益于教师为学生的探究活动和创新活动提供的足够时间和空间.
　　 总之，在“平面图形的周长与面积”教学领域，学生的认知基础往往会超出教师的预料，把学生当做“零起点”来设计教学显然有背于教学规律，也有违于认知规律. 关注学生的认知基础应当成为教学设计的中心问题之一，它与培养学生的探究能力和创新意识并不矛盾.我们的教学实践证明，以验证代替推导、鼓励推导方式多样化等是关注认知基础，提升探究空间的有效途径.