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正方体是立体几何中最基本的图形之一．在解某些立体几何题目时，若能发现图形与正方体的关系，巧妙地构造正方体，则可以收到化难为易、事半功倍的效果．
一、将正四面体补成正方体
例1 若一个正四面体的所有棱长都是[2]，四个顶点在一个球面上，则此球的表面积为 ．
解析 如图1，构造一个棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]，则正四面体[B1ACD1]为符合题意的正四面体，它的外接球就是正方体[ABCD-A1B1C1D1]的外接球，其直径[2R=DB1]＝[3]，所以此球的表面积为[S=4πR2=3π]．
例2 如图2，正四面体[ABCD]的棱长为[a，][E、F]分别是[AD、BC]的中点. （1）求异面直线[EF]与[CD]所成的角；（2）求异面直线[EF]和[CD]的距离．
解析 如图2-2，由已知条件，构造一个棱长为[22a]的正方体[PCQB-AMDN]，则正四面体[ABCD]为符合题意的正四面体．
（1）因为[EF∥MC]，所以[∠MCD]就是异面直线[EF]与[CD]所成的角，所以异面直线[EF]与[CD]所成的角为45°．
（2）因为[EF∥]面[MCQD]，所以异面直线[EF]与[CD]的距离等于[EF]到面[MCQD]的距离，易得所求距离为[24a]．
二、将棱锥补成正方体
例3 如图3，在三棱锥[A－BCD]中，侧面[ABD]、[ACD]是全等的直角三角形，[AD]是公共的斜边，且[AD＝3]，[BD＝CD＝1]，另一个侧面是正三角形.
（1）求证：[AD⊥BC]；
（2）求点[D]到面[ABC]的距离．
解析 如图3-2，由已知条件，可以构造一个棱长为1的正方体[ECDB-AFGH]，则四面体[ABCD]为符合题意的三棱锥[A－BCD]．
（1）证明略.
（2）设点[D]到面[ABC]的距离为[x]. 由三棱锥[A－BCD]的体积＝[13SΔBCD⋅AE=13SΔABC⋅x]，得
[13×12×1×1×1=13×34×(2)2x]，[x=33]，
所以点[D]到面[ABC]的距离为[33].
例4 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥[S-ABCD]中，[∠ABC＝90°]，[SA]⊥面[ABCD]，[SA＝AB＝BC＝1]，[AD＝12]．求面[SCD]与[SAB]面所成的二面角的正切值．
解析 如图4-2，延长[AD]到[E]，使[DE＝AD]，以[AE、AB、AS]为棱构造正方体[AECB-SE1C1B1].
延长[CD、BA]相交于点[F]，连结[SF]，易知[SF∥AB1]．又可知[AB1]⊥面[SBC]，所以[SF]⊥面[SBC]，所以[∠BSC]为面[SCD]与面[SAB]所成的二面角.
在[Rt△SBC]中，[SB＝2]，所以[tan∠BSC＝][BCSB=22]，所以面[SCD]与面[SAB]所成的二面角的正切值为[22]．
三、将三棱柱补成正方体
例5 如图5，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB＝BC＝CC1＝1]，[∠ABC＝90°],求点[C]到平面[AB1C1]的距离．
解析 如图5-2，把直三棱柱[ABC-A1B1C1]补成正方体[ABCD-A1B1C1D1]，连接[DC1]，则点[C]到平面[AB1C1]的距离就是点[C]到平面[AB1C1D]的距离.连接[CD1]交[DC1]于[H]，易知[CH]⊥平面[AB1C1D]，求得[CH＝22]，所以点[C]到平面[AB1C1]的距离为[22]．
例6 如图6，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC＝BC＝CC1＝][22AB]，点[D1、F1]分别是[A1B1]、[A1C1]的中点,求异面直线[AF1]与[BD1]所成角的余弦值．
解析 如图6-2，由已知条件知，[△ABC]是等腰直角三角形．将直三棱柱[ABC-A1B1C1]补成正方体[ACBE-A1C1B1E1]，取[AE]的中点[D]，连结[AF1]、[D1F1]、[DD1]、[BD]，易知[ADD1F1]为平行四边形，所以[AF1∥DD1]，因此[∠BD1D]是异面直线[AF1]与[BD1]所成的角.
设正方体的棱长为[a]，
则[DD1＝AF1＝52a]，[BD＝52a]，[BD1=62a]，
根据余弦定理得[cos∠BD1D＝3010]，所以异面直线[AF1]与[BD1]所成角的余弦值为[3010]．
四、由共点且两两互相垂直的三条相等线段构造正方体
例7 如图7，[l1]、[l2]是互相垂直的两条异面直线，[MN]是它们的公垂线段．点[A、B]在[l2]上，[MA＝MB＝MN.]
（1）证明[AC⊥NB]；
（2）若[∠ACB＝60°]，求[NB]与平面[ABC]所成角的余弦值．
图7 图7-2
解析 （1）证明略．
（2）由（1）[AC⊥NB]及已知条件，可知[NA、][NB]、[NC]两两互相垂直且相等，所以可将三棱锥[C-ABN]补成正方体[SBNA-PRCQ]，如图7-2所示. 连结[PN]，由[RN⊥BC]，知[PN⊥BC]．同理，[PN⊥AC．] 所以[PN]⊥平面[ABC]．
设垂足为[O]，则[∠OBN]就是[NB]与平面[ABC]所成角．
设正方体的棱长为1，则[ON=13PN=33]．
由[sin∠OBN＝ONBN=33]，得[cos∠OBN＝63].
所以[NB]与平面[ABC]所成角的余弦值为[63]．
五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体
例8 如图8，正方形[ABCD]、[BEFC]的边长都是1，而且平面[ABCD、BEFC]互相垂直，[M、N]分别为[AB、BE]的中点．
（1）求异面直线[DM]与[CN]所成角的余弦值；
（2）求[DM]与平面[CMN]所成的角．
解析 （1）如图8-2，构造正方体[ABEG-DCFH]，取[AG]的中点[P]，连接[DP、PM．]
则[DP∥CN]，所以[∠PDM]为异面直线[DM]与[CN]所成的角．设正方体的棱长为[a]，在[△DPM]中，[DP＝DM＝52a]，[PM＝22a]，根据余弦定理，得[cos∠PDM＝45]，所以异面直线[DM与CN]所成的角余弦值为[45]．
（2）设点[D]到平面[CMN]的距离为[h]，则四面体[DCMN]的体积＝[13SΔCMN⋅h=13SΔMCD⋅NB]．
在[△CMN]中，[CM＝CN＝52a]，[MN＝22a]，
所以[SΔCMN]＝[38a2]．
由四面体[DCMN]的体积
[=13SΔCMN⋅h][=13SΔMCD⋅NB]，
得[13×38a2•h=13×12×a×a×12a]，
所以[h=23a]，
从而[DM]与平面[CMN]所成角的正弦值为[23a52a=4155]．
所以[DM]与平面[CMN]所成角为[arcsin4155]．
一、将正四面体补成正方体
例1 若一个正四面体的所有棱长都是[2]，四个顶点在一个球面上，则此球的表面积为 ．
解析 如图1，构造一个棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]，则正四面体[B1ACD1]为符合题意的正四面体，它的外接球就是正方体[ABCD-A1B1C1D1]的外接球，其直径[2R=DB1]＝[3]，所以此球的表面积为[S=4πR2=3π]．
例2 如图2，正四面体[ABCD]的棱长为[a，][E、F]分别是[AD、BC]的中点. （1）求异面直线[EF]与[CD]所成的角；（2）求异面直线[EF]和[CD]的距离．
解析 如图2-2，由已知条件，构造一个棱长为[22a]的正方体[PCQB-AMDN]，则正四面体[ABCD]为符合题意的正四面体．
（1）因为[EF∥MC]，所以[∠MCD]就是异面直线[EF]与[CD]所成的角，所以异面直线[EF]与[CD]所成的角为45°．
（2）因为[EF∥]面[MCQD]，所以异面直线[EF]与[CD]的距离等于[EF]到面[MCQD]的距离，易得所求距离为[24a]．
二、将棱锥补成正方体
例3 如图3，在三棱锥[A－BCD]中，侧面[ABD]、[ACD]是全等的直角三角形，[AD]是公共的斜边，且[AD＝3]，[BD＝CD＝1]，另一个侧面是正三角形.
（1）求证：[AD⊥BC]；
（2）求点[D]到面[ABC]的距离．
解析 如图3-2，由已知条件，可以构造一个棱长为1的正方体[ECDB-AFGH]，则四面体[ABCD]为符合题意的三棱锥[A－BCD]．
（1）证明略.
（2）设点[D]到面[ABC]的距离为[x]. 由三棱锥[A－BCD]的体积＝[13SΔBCD⋅AE=13SΔABC⋅x]，得
[13×12×1×1×1=13×34×(2)2x]，[x=33]，
所以点[D]到面[ABC]的距离为[33].
例4 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥[S-ABCD]中，[∠ABC＝90°]，[SA]⊥面[ABCD]，[SA＝AB＝BC＝1]，[AD＝12]．求面[SCD]与[SAB]面所成的二面角的正切值．
解析 如图4-2，延长[AD]到[E]，使[DE＝AD]，以[AE、AB、AS]为棱构造正方体[AECB-SE1C1B1].
延长[CD、BA]相交于点[F]，连结[SF]，易知[SF∥AB1]．又可知[AB1]⊥面[SBC]，所以[SF]⊥面[SBC]，所以[∠BSC]为面[SCD]与面[SAB]所成的二面角.
在[Rt△SBC]中，[SB＝2]，所以[tan∠BSC＝][BCSB=22]，所以面[SCD]与面[SAB]所成的二面角的正切值为[22]．
三、将三棱柱补成正方体
例5 如图5，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB＝BC＝CC1＝1]，[∠ABC＝90°],求点[C]到平面[AB1C1]的距离．
解析 如图5-2，把直三棱柱[ABC-A1B1C1]补成正方体[ABCD-A1B1C1D1]，连接[DC1]，则点[C]到平面[AB1C1]的距离就是点[C]到平面[AB1C1D]的距离.连接[CD1]交[DC1]于[H]，易知[CH]⊥平面[AB1C1D]，求得[CH＝22]，所以点[C]到平面[AB1C1]的距离为[22]．
例6 如图6，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC＝BC＝CC1＝][22AB]，点[D1、F1]分别是[A1B1]、[A1C1]的中点,求异面直线[AF1]与[BD1]所成角的余弦值．
解析 如图6-2，由已知条件知，[△ABC]是等腰直角三角形．将直三棱柱[ABC-A1B1C1]补成正方体[ACBE-A1C1B1E1]，取[AE]的中点[D]，连结[AF1]、[D1F1]、[DD1]、[BD]，易知[ADD1F1]为平行四边形，所以[AF1∥DD1]，因此[∠BD1D]是异面直线[AF1]与[BD1]所成的角.
设正方体的棱长为[a]，
则[DD1＝AF1＝52a]，[BD＝52a]，[BD1=62a]，
根据余弦定理得[cos∠BD1D＝3010]，所以异面直线[AF1]与[BD1]所成角的余弦值为[3010]．
四、由共点且两两互相垂直的三条相等线段构造正方体
例7 如图7，[l1]、[l2]是互相垂直的两条异面直线，[MN]是它们的公垂线段．点[A、B]在[l2]上，[MA＝MB＝MN.]
（1）证明[AC⊥NB]；
（2）若[∠ACB＝60°]，求[NB]与平面[ABC]所成角的余弦值．
图7 图7-2
解析 （1）证明略．
（2）由（1）[AC⊥NB]及已知条件，可知[NA、][NB]、[NC]两两互相垂直且相等，所以可将三棱锥[C-ABN]补成正方体[SBNA-PRCQ]，如图7-2所示. 连结[PN]，由[RN⊥BC]，知[PN⊥BC]．同理，[PN⊥AC．] 所以[PN]⊥平面[ABC]．
设垂足为[O]，则[∠OBN]就是[NB]与平面[ABC]所成角．
设正方体的棱长为1，则[ON=13PN=33]．
由[sin∠OBN＝ONBN=33]，得[cos∠OBN＝63].
所以[NB]与平面[ABC]所成角的余弦值为[63]．
五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体
例8 如图8，正方形[ABCD]、[BEFC]的边长都是1，而且平面[ABCD、BEFC]互相垂直，[M、N]分别为[AB、BE]的中点．
（1）求异面直线[DM]与[CN]所成角的余弦值；
（2）求[DM]与平面[CMN]所成的角．
解析 （1）如图8-2，构造正方体[ABEG-DCFH]，取[AG]的中点[P]，连接[DP、PM．]
则[DP∥CN]，所以[∠PDM]为异面直线[DM]与[CN]所成的角．设正方体的棱长为[a]，在[△DPM]中，[DP＝DM＝52a]，[PM＝22a]，根据余弦定理，得[cos∠PDM＝45]，所以异面直线[DM与CN]所成的角余弦值为[45]．
（2）设点[D]到平面[CMN]的距离为[h]，则四面体[DCMN]的体积＝[13SΔCMN⋅h=13SΔMCD⋅NB]．
在[△CMN]中，[CM＝CN＝52a]，[MN＝22a]，
所以[SΔCMN]＝[38a2]．
由四面体[DCMN]的体积
[=13SΔCMN⋅h][=13SΔMCD⋅NB]，
得[13×38a2•h=13×12×a×a×12a]，
所以[h=23a]，
从而[DM]与平面[CMN]所成角的正弦值为[23a52a=4155]．
所以[DM]与平面[CMN]所成角为[arcsin4155]．