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摘 要：课堂教学是教师有目的、有计划组织学生实现有效学习的活动过程，其本质是教师组织学生学习，所设计的学习任务就应该适应学习者。课堂教学也有很多意想不到的情况，如何正确应对，让学生能通过自己的探索得到需要的知识，也是我们在不断研究的问题。本文的目的，是想通过“截取”这种方法，展现并开启学生思维的多样性，从而让学生知识能从隐性化顺利过度到显性化。
关键词：辅助线；截取；思维
【中图分类号】 G630 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0059-02
“截取”是几何证明题中利用添加辅助线求证的一种方法。但对几何刚入门的初一学生来说，什么样的题该用“截取”，该怎样“截取”，所截取的线段应和哪条已知线段相等等问题是重要的难点。教学实践告诉我们，正确引导学生的思维方向是解决这一难题的唯一方法。
例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°
∠B=30° 求证：2AC=AB
选择此题， 是因为我在以前的教学
过程中发现，由于题目是要证AC是AB
的一半， 学生很容易想到去找AB 的中
点。果然，很快便有一位同学提出找到
AB的中点D，连接CD（如图），然后证明
AC=AD。这时， 我没有急于指出这种方
法是错误的， 而且有意引导他们自己去
探索、去发现问题：“不错，有同学提出了
一种方法， 下面请同学们用这种方法试试看。”
几分钟后，几位同学分别发现了他们的问题。
生1：“要证明AC=AD，就要证明∠1=∠4。若把∠4看成△ABC的外角，则∠4=∠2+∠3，即要证∠1=∠2+∠3。后面就不知道该怎么办了，如果知道∠1或∠4等于60°就好了。”
生2：“我也想到了这一点，但是我发现了另一个问题，要证明∠1或∠4是60°，实际上就是要证明△ACD是等边三角形，因为∠A=60°所以我们必须要证AC=AD，AC=CD，AD=CD三个条件中的一个，但这三个条件都是我们要求证的结论，这不是自相矛盾吗？怎么办呢？”
生3：“我考虑过用全等三角形来证
明，延长CD，在延长线上截取DE=CD，
因为AD=DB， 再加上对顶角∠ADC和
∠EDB， 就可以用‘SAS’证明△ADC和
△BDE全等，但接下来就不知道了，我
还是没有证出△ACD是等边三角形。”
问题一个个提出来了，困惑挡住了他们的思路。这时的他们正处在一个十字路口，只要稍加指导，就能把他们的思维引到正确的路子上来。
师：“很好，同学们经过自己证明，发现了问题，看来这种截取的方法似乎不能得到我们想要的结论。要不，我们就想简单点，干脆在作辅助线时就将△ADC作成一个等边三角形怎么样？”
生4：“好是好，可是怎样才能保证作出的三角形是等边三角形呢？那可是最特殊的三角形。”
师：“那就想想，平时我们是怎么证明一个三角形是等边三角形的？”
生4：“一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。∠A=60°，AC又是已知线段，只要作出一
条线段和AC相等就可以了……想
起来了， 我们只需要在AB上截取
AD=AC，就有等边三角形了！”（如图）
师：“太好了，现在我们已经有等边三角形了，那就请同学们再试试看，这样截取还有什么问题吗？”
这一次，学生证明起来明显感到轻松，没用多长时间便有学生陆续完成了证明，我请了一位同学在黑板上板书了他的证明过程：
在AB上截取AD=AC，连接CD
∵AC=AD ∠A=60° ∴△ACD是等边三角形
即AC=AD=CD，∠A=∠1=∠4=60°
∵∠1+∠2=90° ∴∠2=30°=∠3 ∴CD=DB
∴AC=AD=BD，即2AC=AB
师：“这道题我们证明出来了，可同学们想一想，为什么在开始的时候，我们会走了那么多弯路呢？大家一定要明白，截取在证明题中的运用虽然是非常方便的，它可以直接在图上构造出我们需要的和已知线段相等的线段，但在截取时，有两点必须要注意，第一：截取的线段不能具有多重性质。比如在本题中，就有同学想在AB上截取AD=AC=CD，这是错误的；第二：在截取之前，必须要明确我们到底需要一个什么样的图形，比如这道题我们就是已经明确要一个等边三角形，所以应该想到截取AD=AC。刚刚第三位发言的同学也用了截取，同样，他也有明确的目的，想作一个和△ACD全等的三角形，根据已知条件，就想到作DE=CD，只有明确自己的需要，才能找准要截取的线段。”
为了进一步掌握“截取”的正确方法，开拓思路，我又做了一次“演习”。
例2： 如图， 在△ABC中， AB﹥AC，D是BC边上的中点，
求证：2AD﹤AB+AC
题目刚刚打出来， 同学们立
刻议论纷纷， 都奇怪为什么证明
题里会出现不等号。我趁机提醒
同学们： “想想看，我们所学过的
定理中，有那些定理涉及到了不等关系？”
生答：“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。”解决了不等号的问题，我便让同学们分组讨论，我也加入了几组同学的讨论之中，发现很多同学的思路有一个共同点：想在AB上截取AE=AC（如图）， 他们为
什么会这样想呢？我请了其中一位
同学作为代表谈谈他的想法。
师：“既然你用了截取， 那你的
目的是想要什么样的图形？”
生：“想找一个和△ACD全等的三角形，即想证明△ACD≌△AED。”
师：“那你证明出来了吗？”
生：“没有，差一个条件，只有AE=AC和公共边AD。”
师：“你还能在已知条件中找出第三个条件吗？” 生：“……”
师：“我想知道，你为什么要找全等三角形？”
生：“因为只有在同一个三角形中才能用三角形的三边关系，但现在AC、AD、AB不在同一个三角形中。”
师：“很好，这的确是一个要注意的问题，但是你把这三条线段放到构造出来的三角形中了吗？似乎AB段不是△AED的边。”
生：“……”
师：“那请再仔细读题，看看有没有漏掉什么？”
没多久便有一位同学举手了：“我发现错在什么地方了，我们一直想把AB、AD、AC放在同一个三角形中，其实不对，题目要证的是2AD和AB+AC的关系，所以我们应该想办法把AB、AC和2AD放到同一个三角形中！”
师：“太棒了，那就请同学们想一想，怎样把它们放到同一个三角形中？”
同学们再一次展开了讨论，这一次讨论效果较好，几乎所有的同学都能想到在AD延长线上找2AD。我请了一位同学在黑板上板书了他的证明方法。
证明： 延长AD，在AD延长线上截取DE=AD，即AE=2AD。∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，∵BD=CD，∠ADB=∠EDC， AD=DE
∴△ABD≌△ECD （SAS）
∴CE=AB ∴AE﹤AC+CE
即2AD﹤AB+AC
这时，有一个同学举手说他
有另外一种证明方法，我让他也
在黑板上板书出来：
证明：过C点作AB平行线，
在其平行线上截取CE=AB，连接
DE（如图）
∵AB∥CE ∴∠B=∠1
在△ABD和△ECD中
∵DB=CD ∠B=∠1 CE=AB
∴△ABD≌△ECD （SAS）
∴AD=DE ∴AE﹤AC+CE
即2AD﹤AB+AC
我表扬了这位同学积极思考，能从另一个角度思考问题。我刚想问其他同学这个证明过程有没有什么问题时，已经有一个同学举手提问了：“他的辅助线是连接DE，并不是延长AD与CE的交点，怎么能保证A、D、E三点在同一直线上呢？”
我还没来得及说话，又有另外一位同学迫不及待地回答了问题：“太简单了，在证完△ABD≌△ECD后，∠3=∠4，因为∠4+∠2=180°
所以∠3+∠2=180°所以A、D、E三点在同一直线上。他的思路是对的，只是不够完整。”
师：“点评很到位，都不需要我说了，看来你们这节课收获不小，能做到在作辅助线前心中有数，目的很明确，能较快找到要截取的线段，而且还能自己发现问题，自己解决问题了！”
“截取”只是几何证明过程中常用的一种方法，而如何在使用过程，证明过程中，来开启学生思维，引导正确的思路才更为重要。
关键词：辅助线；截取；思维
【中图分类号】 G630 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0059-02
“截取”是几何证明题中利用添加辅助线求证的一种方法。但对几何刚入门的初一学生来说，什么样的题该用“截取”，该怎样“截取”，所截取的线段应和哪条已知线段相等等问题是重要的难点。教学实践告诉我们，正确引导学生的思维方向是解决这一难题的唯一方法。
例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°
∠B=30° 求证：2AC=AB
选择此题， 是因为我在以前的教学
过程中发现，由于题目是要证AC是AB
的一半， 学生很容易想到去找AB 的中
点。果然，很快便有一位同学提出找到
AB的中点D，连接CD（如图），然后证明
AC=AD。这时， 我没有急于指出这种方
法是错误的， 而且有意引导他们自己去
探索、去发现问题：“不错，有同学提出了
一种方法， 下面请同学们用这种方法试试看。”
几分钟后，几位同学分别发现了他们的问题。
生1：“要证明AC=AD，就要证明∠1=∠4。若把∠4看成△ABC的外角，则∠4=∠2+∠3，即要证∠1=∠2+∠3。后面就不知道该怎么办了，如果知道∠1或∠4等于60°就好了。”
生2：“我也想到了这一点，但是我发现了另一个问题，要证明∠1或∠4是60°，实际上就是要证明△ACD是等边三角形，因为∠A=60°所以我们必须要证AC=AD，AC=CD，AD=CD三个条件中的一个，但这三个条件都是我们要求证的结论，这不是自相矛盾吗？怎么办呢？”
生3：“我考虑过用全等三角形来证
明，延长CD，在延长线上截取DE=CD，
因为AD=DB， 再加上对顶角∠ADC和
∠EDB， 就可以用‘SAS’证明△ADC和
△BDE全等，但接下来就不知道了，我
还是没有证出△ACD是等边三角形。”
问题一个个提出来了，困惑挡住了他们的思路。这时的他们正处在一个十字路口，只要稍加指导，就能把他们的思维引到正确的路子上来。
师：“很好，同学们经过自己证明，发现了问题，看来这种截取的方法似乎不能得到我们想要的结论。要不，我们就想简单点，干脆在作辅助线时就将△ADC作成一个等边三角形怎么样？”
生4：“好是好，可是怎样才能保证作出的三角形是等边三角形呢？那可是最特殊的三角形。”
师：“那就想想，平时我们是怎么证明一个三角形是等边三角形的？”
生4：“一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。∠A=60°，AC又是已知线段，只要作出一
条线段和AC相等就可以了……想
起来了， 我们只需要在AB上截取
AD=AC，就有等边三角形了！”（如图）
师：“太好了，现在我们已经有等边三角形了，那就请同学们再试试看，这样截取还有什么问题吗？”
这一次，学生证明起来明显感到轻松，没用多长时间便有学生陆续完成了证明，我请了一位同学在黑板上板书了他的证明过程：
在AB上截取AD=AC，连接CD
∵AC=AD ∠A=60° ∴△ACD是等边三角形
即AC=AD=CD，∠A=∠1=∠4=60°
∵∠1+∠2=90° ∴∠2=30°=∠3 ∴CD=DB
∴AC=AD=BD，即2AC=AB
师：“这道题我们证明出来了，可同学们想一想，为什么在开始的时候，我们会走了那么多弯路呢？大家一定要明白，截取在证明题中的运用虽然是非常方便的，它可以直接在图上构造出我们需要的和已知线段相等的线段，但在截取时，有两点必须要注意，第一：截取的线段不能具有多重性质。比如在本题中，就有同学想在AB上截取AD=AC=CD，这是错误的；第二：在截取之前，必须要明确我们到底需要一个什么样的图形，比如这道题我们就是已经明确要一个等边三角形，所以应该想到截取AD=AC。刚刚第三位发言的同学也用了截取，同样，他也有明确的目的，想作一个和△ACD全等的三角形，根据已知条件，就想到作DE=CD，只有明确自己的需要，才能找准要截取的线段。”
为了进一步掌握“截取”的正确方法，开拓思路，我又做了一次“演习”。
例2： 如图， 在△ABC中， AB﹥AC，D是BC边上的中点，
求证：2AD﹤AB+AC
题目刚刚打出来， 同学们立
刻议论纷纷， 都奇怪为什么证明
题里会出现不等号。我趁机提醒
同学们： “想想看，我们所学过的
定理中，有那些定理涉及到了不等关系？”
生答：“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。”解决了不等号的问题，我便让同学们分组讨论，我也加入了几组同学的讨论之中，发现很多同学的思路有一个共同点：想在AB上截取AE=AC（如图）， 他们为
什么会这样想呢？我请了其中一位
同学作为代表谈谈他的想法。
师：“既然你用了截取， 那你的
目的是想要什么样的图形？”
生：“想找一个和△ACD全等的三角形，即想证明△ACD≌△AED。”
师：“那你证明出来了吗？”
生：“没有，差一个条件，只有AE=AC和公共边AD。”
师：“你还能在已知条件中找出第三个条件吗？” 生：“……”
师：“我想知道，你为什么要找全等三角形？”
生：“因为只有在同一个三角形中才能用三角形的三边关系，但现在AC、AD、AB不在同一个三角形中。”
师：“很好，这的确是一个要注意的问题，但是你把这三条线段放到构造出来的三角形中了吗？似乎AB段不是△AED的边。”
生：“……”
师：“那请再仔细读题，看看有没有漏掉什么？”
没多久便有一位同学举手了：“我发现错在什么地方了，我们一直想把AB、AD、AC放在同一个三角形中，其实不对，题目要证的是2AD和AB+AC的关系，所以我们应该想办法把AB、AC和2AD放到同一个三角形中！”
师：“太棒了，那就请同学们想一想，怎样把它们放到同一个三角形中？”
同学们再一次展开了讨论，这一次讨论效果较好，几乎所有的同学都能想到在AD延长线上找2AD。我请了一位同学在黑板上板书了他的证明方法。
证明： 延长AD，在AD延长线上截取DE=AD，即AE=2AD。∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，∵BD=CD，∠ADB=∠EDC， AD=DE
∴△ABD≌△ECD （SAS）
∴CE=AB ∴AE﹤AC+CE
即2AD﹤AB+AC
这时，有一个同学举手说他
有另外一种证明方法，我让他也
在黑板上板书出来：
证明：过C点作AB平行线，
在其平行线上截取CE=AB，连接
DE（如图）
∵AB∥CE ∴∠B=∠1
在△ABD和△ECD中
∵DB=CD ∠B=∠1 CE=AB
∴△ABD≌△ECD （SAS）
∴AD=DE ∴AE﹤AC+CE
即2AD﹤AB+AC
我表扬了这位同学积极思考，能从另一个角度思考问题。我刚想问其他同学这个证明过程有没有什么问题时，已经有一个同学举手提问了：“他的辅助线是连接DE，并不是延长AD与CE的交点，怎么能保证A、D、E三点在同一直线上呢？”
我还没来得及说话，又有另外一位同学迫不及待地回答了问题：“太简单了，在证完△ABD≌△ECD后，∠3=∠4，因为∠4+∠2=180°
所以∠3+∠2=180°所以A、D、E三点在同一直线上。他的思路是对的，只是不够完整。”
师：“点评很到位，都不需要我说了，看来你们这节课收获不小，能做到在作辅助线前心中有数，目的很明确，能较快找到要截取的线段，而且还能自己发现问题，自己解决问题了！”
“截取”只是几何证明过程中常用的一种方法，而如何在使用过程，证明过程中，来开启学生思维，引导正确的思路才更为重要。