几何概型中的转化与化归

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  一、转化为以线段长度或弧长为度量的几何模型
  例1 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求乘客候车时间不超过6分钟的概率.
  分析 将间隔10分钟看作长度为10的线段[T1T2],乘客到达车站的时刻为线段[T1T2]上任意一点且到达每一点的可能性相等,则基本事件有无限多个,故这是几何概型.
  解 设上辆车于时刻[T1]到达,而下辆车于时刻[T2]到达,则线段[T1T2]的长度为10. 设[T]是线段[T1T2]上的点,且[TT2]的长为6,记“等车时间不超过6分钟”为事件[A],则事件[A]发生即当点[t]落在线段[TT2]上.由[D=T1T2=10],[d=TT2=6],[∴P(A)=dD=610=35.]故乘客候车时间不超过6分钟的概率为[35.]
  点拨 将以实际为背景且事件发生与区域长度有关的问题转化为对应线段(或弧线)长度的比求解.
  二、转化为以平面图形面积为度量的几何模型
  例2 在边长为2的正[ΔABC]内任取一点[P],则使点[P]到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 .
  分析 到[ΔABC]某一顶点距离小于1的区域为以该顶点为圆心,半径为1的圆与[ΔABC]交出的扇形,由于该扇形内的点有无限多个,且每个点被取到的可能性相等,所以这是几何概型问题.
  解 以[A,B,C]为圆心,1为半径作圆,与[ΔABC]交出扇形,当[P]落在三个扇形内时符合要求.
  [∴p=3×(12×π3×12)34×22=36π].
  点拨 将事件发生与区域面积有关的实际问题,转化为平面图形对应面积的比求解.
  三、转化为以二维平面区域面积为度量的几何模型
  例3 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.
  分析 甲、乙两船分别到达的时间设为[x,y],在坐标平面内,则满足[0x24,0y24]的正方形中的任一点[(x,y)]就表示甲、乙两船在一昼夜到达的时间. 即有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间,须满足[-2  解 甲比乙早到4小时内乙须等待,甲比乙晚到2小时内甲须等待。以[x]和[y]分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间的等价条件为[-2  [∴P(A)=242-12×222-12×202242=67288.]
  故有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率是[67288.]
  点拨 将两艘船分别到达的时间用[x],[y]表示,注意“必须等待”即指[-2  四、转化为以空间图形体积为度量的几何模型
  例4 一只小蜜峰在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜峰在飞行过程中与正方体玻璃容器的6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上. 若始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的. 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是 .
  分析 将蜜蜂看作点,则蜜蜂所处的位置是正方体内的立体空间,在这个空间内的点是无限的,因此这个问题也是几何概型问题.
  解 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件[A],则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的,故[P(A)=103303=127].
  点评 对于与体积有关的几何概型问题,关键要构造满足条件的空间图形,从而计算总空间的体积及事件发生空间的体积.
  五、转化为以角度为度量的几何模型
  例5 在[RtΔABC]中,[∠A=30°],过直角顶点[C]作射线[CM]交线段[AB]于[M],求使[|AM|>|AC|]的概率.
  分析 因为过点[C]作射线是均匀的,因而把在[∠ACB]内作射线[CM]看作是等可能的,基本条件是射线[CM]落在[∠ACB]内任一处,使[|AM|>|AC|]的概率与[∠BCC]的大小有关,这符合几何概型的条件.
  解 设事件[D]为“作射线[CM],使[|AM|>|AC|]”,在[AB]上取点[C]使[|AC=|AC|],
  因为[ΔACC]是等腰三角形,
  所以[∠ACC=180°-30°2=75°,]
  [∴μA=90°-75°=15°],[μΩ=90°. ]
  [∴P(D)=15°90°=16].
  点评 要特别注意“过直角顶点[C]作射线[CM]交线段[AB]于[M]”这句话,由此确定测度是角度,不要与“在线段[AB]上任取一点[M],作射线[CM]”相混淆,这两个问题的基本事件的形成条件是不同的.
  1. 拉练行军中,某人从甲地到乙地共走了500m,途中涉水横穿过一条宽为[xm]的河流,该人不小心把一件物品遗落在途中,若物品遗落在河里则找不到,否则可以找到.已知找到该物品的概率为[45],则河宽为( )
  A. 40m B. 50m
  C. 80m D. 100m
  2. 某人向一圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中内接正方形区域的概率为 .
  3.在区间[0,1]上任取两个数[a,b],则函数[f(x)=x2+ax+b2]无零点的概率为( )
  A. [12] B. [23] C. [34] D. [14]
  4. 在棱长为2的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中,点[O]为底面[ABCD]的中心,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]内随机取一点[P],则点[P]到点[O]的距离大于1的概率为 .
  5. 在直角坐标系[xOy]内,射线[OT]与[x]轴正半轴构成[∠xOT=60°],任作一条射线[OA],求射线落在[∠xOT]内的概率为 .
  1. D 2. [2π] 3. C 4. [1-π12] 5. [16]
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