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[摘 要]文章选取中国同济大学数学系主编的《高等数学》教材与美国培生教育出版集团出版的Varberg等人编写的《微积分》进行比较研究。比较两种教材的内容编排、结构特征与习题难度，利用综合难度模型，分别从探究、背景、运算、推理、知识含量五个难度因素进行两本教材习题综合难度的量化分析比较，得出各个维度的难度差异，为我国微积分教材编写提供借鉴。
[关键词]微积分；教材比较；难度模型；习题
[中图分类号] G40-059.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2018）03-0007-04
微积分（高等数学）是近代数学的基础，是理工科各专业和经济管理专业学生的必修课，微积分课程的教学质量直接关系到一所大学学生的培养质量，而微积分的教学质量与微积分教材密切相关。
近年来，各国对微积分教材与教学改革均比较重视。Torner等人[1]研究了欧洲国家的微积分课程，发现微积分课程内容逐渐减少，并且更多地以非形式化的语言呈现。在欧洲大多数国家，数字化工具的使用已经开始融入微积分教学。然而在另一些国家，微积分课程依然采用传统教学模式，侧重于运算方面的知识。Sofronas等人[2]研究了“近似思想”是否应该作为微积分的核心概念，Briana等人[3]强调了微积分教材中多重表征协调使用的重要性。
随着国际化办学的发展，越来越多的国内学者开始关注中美微积分教材的比较研究。相对来说，美国微积分教材起点低、入门快，淡化了技巧，强化了原理，但是加速度大，腾飞快，跨度大[4]；在概念引入方式上美国教材一方面揭示了新概念的思想实质，另一方面通过丰富的信息量给学生留下了进一步思考的空间[5]。
作为在美国大学中使用较广泛的微积分教材，Varberg等人編写的Pearson Education Inc.出版的《微积分》（第九版）[6]具有重视应用，便于自学，强调严谨性等特点，这一点与我国许多现行的理工科微积分教材比较类似，它在美国是一本风格独特的教材。然而，目前国内还鲜有这本教材的研究，所以本文选取中国应用广泛的同济大学数学系主编的《高等数学》[7]与之进行比较，并以微分学为例，研究二者在内容编排、习题难度等方面的异同。
从整体结构来看，两本教材的章节大致是对应的。《高等数学》微分学主要由“导数与微分”、“微分中值定理与导数的应用”及“多元函数微分法及其应用”三章构成；而《微积分》中微分学主要由“导数”、“导数的应用”、“超越函数”以及“多元函数的微分”四章构成。两本教材都涉及从一元函数的导数、微分、导数的应用到二元及多元函数的应用情况，但在具体的知识单元内部却有诸多不同。本文选取微分部分内容较为典型的三个知识单元进行知识点结构的比较分析。
（一）导数的运算法则
这一部分的不同在于，《高等数学》第2章中给出了初等函数的全部求导公式，而《微积分》在第2章中只研究了幂函数和三角函数的导数，对于其他初等函数如指数函数、对数函数以及反三角函数的导数及相关运算是在第6章超越函数进行介绍。《微积分》这种教学内容的安排有利于学习者更容易地接受导数的概念和相关计算方法，并快速入门。
（二）微分中值定理及导数的应用
《高等数学》第3章第1节微分中值定理部分，按照罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的顺序，详细阐述了三个中值定理，层层递进、由易到难，然后基于三个中值定理来介绍导数的应用。
而《微积分》第3章中先学习导数的单调性、凹凸性、极值等导数应用问题，之后才是微分中值定理，并且只讲授了拉格朗日中值定理，同时用拉格朗日定理补证了单调性定理。而直到第8章第1节在证明未定式0/0型时才引入柯西中值定理。书中提到“洛必达法则的证明是柯西对微分中值定理的延伸……”，也就是说，在需要柯西中值定理的时候，它巧妙地出现了。
由此可以看出，《高等数学》更加注重数学知识的体系完整性，更加偏向于按照数学知识的逻辑性来编排教材。而作为对照，《微积分》则更加注重按照学生的认知特点和认知方式，循序渐进地安排教学内容，螺旋式地编排教材。
（三）多元函数的偏导数与极限部分
在多元函数部分，《高等数学》的编排先由多元函数的极限、连续再到偏导数的定义，而《微积分》则先讲授多元函数偏导数的定义，然后才是函数在某点处极限存在和连续的概念。教材编者认为偏导数是一个相对简单的概念，只需研究在某一邻域内的两个方向，而极限和连续概念则需考虑所有方向，所以对于学生来说，极限和连续的概念更难。这一点也体现了美国数学教材编写中由易到难、从特殊到一般的原则。
本文采用综合难度模型[8]，分别根据探究、背景、运算、推理、知识含量五个难度因素的不同水平对两本微积分教材微分导数章节部分的习题进行统计分析，然后利用下列公式计算教材样本题组的加权平均值：
di=（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3…）
其中，di（i=1，2，3，4，5）表示在第i个难度因素上的加权平均值；dij表示第i个难度因素的第j个水平权重（即依水平分别取1，2，3，4）；nij则表示选取的样本题组中第i个难度因素的第j个水平的习题数；n是选取的样本题组的总数，且对于任意的i，有nij=n。
本文选取了两本教材中第2章导数的全部习题作为样本进行研究，统计《高等数学》与《微积分》第2章共2000多道习题在每个难度因素上的分值，据此分析两本教材在五个难度因素上的综合难度。
（一）探究因素
整体上，两本教材的习题理解水平上的题目最多，其次是识记，之后是应用与探究，这是其共同点。而《高等数学》除了在理解水平上的题目多过《微积分》外，其余三个水平的题目百分比均少于美国教材，尤其是在应用和探究水平上。这说明《微积分》在不同水平上的题目更加均衡，更加重视培养学生的发散性思维、解决实际问题以及探究学习的能力。而且《微积分》教材在应用和探究水平上的习题绝对数量较大，为教学提供了丰富的题型案例。 （二）背景因素
两本教材都是无背景的习题较多，纯数学语言描述的题目占大多数，但是，两本教材在背景因素的个人生活水平上具有较大差异，《微积分》在这个水平上的题目百分比更高，说明《微积分》更加重视习题与学生生活经历的联系，注重培养学生解决实际问题的能力。
（三）运算因素
两本教材的题目百分比都按照无运算、数值运算、简单符号运算的顺序递增，但是，到复杂符号运算部分，《微积分》却陡降，说明美国教材中的习题大部分止步于简单符号运算，而相对来说，《高等数学》的复杂符号运算水平的习题百分比高出《微积分》较多，说明中国习题运算难度更高，对学生运算能力要求更高，需要学生对公式、法则熟练掌握并灵活运用。同时，《微积分》有更多包含数值运算的题目，还有很多估算和近似计算题目，这说明《微积分》更加鼓励和培养学生的“数感”[6]。而这一点在《高等数学》教材中体现得较少。
（四）推理因素
两本教材习题在推理程度上差异不大。两本教材中考察推理能力的习题数目（包括简单推理水平和复杂推理水平）所占总题数的百分比较少。证明题是考察学生数学推理能力的主要题型，需要学生综合运用数学概念、数学公式、数学定理，甚至需要一定的数学思想方法才能求解。数据表明《微积分》导数这一章所含有的证明题数目比《高等数学》更多，更加注重考察学生推理能力，而《高等数学》第2章的习题多集中于计算题，证明题较少。
（五）知识含量因素
从图中可以看出一个很有趣的现象：《高等数学》知识点数目和相应的百分比是递增的，也就是说，知识含量多的题目占比多；而《微积分》则是递减的，并且更加平缓。这说明《微积分》兼顾微积分的入门与提高，为新手提供了大量题型丰富的习题来巩固基础，同时也设置了综合性较强的习题供学生进一步提高，这种习题设置方式会使微积分学习新手更容易地入门、更快地上手，《高等数学》的大部分习题则需要学习者有相对较好的数学基础。
（六）综合难度的比较
上文对各因素进行了逐一比较，接下来根据各因素的加权平均值画出雷达图，来比较习题的综合难度。可以看出，二者都比较注重运算能力，但《高等数学》教材中习题的运算难度和知识含量远高于《微积分》；而在探究、背景和推理方面，《微积分》的百分比都略高于《高等数学》。
三、结论与启示
（一） 《高等数学》更重视知识的逻辑性与系统性，而《微积分》更注重考虑学生的接受程度
在具体知识单元的编排顺序上中美两国教材差异较大。如中国教材将三个中值定理按照逻辑顺序安排在同一节中，按照先理论后实践的顺序编排，而美国教材中却将两个中值定理分别放在第3章和第8章遥相呼应，因为美国教材中中值定理不是作为一个完整的节来呈现的，而是分别作为单调性定理和洛必达法则的两个理论依据出现的。类似的还有导数的运算法则、多元函数连续性的定义等，都与中国教材的编排顺序存在较大差异。
（二）《高等數学》习题运算程度和知识含量较高，而《微积分》在探究、背景、推理方面的百分比较高
《高等数学》在运算和知识含量因素方面要高于《微积分》习题。《微积分》需要数学运算的习题绝对数量较大，但是公式的复杂度和运用的灵活性不及《高等数学》。《微积分》的习题知识含量少的题目更多，而《高等数学》的习题知识含量高的占比更大。
但是《高等数学》在探究、背景、推理三个因素上水平低于《微积分》。《高等数学》无背景的纯数学问题占绝大多数，而《微积分》和实际生活有联系的习题比重比《高等数学》大。特别是，《微积分》的习题比较注重和个人生活的联系。两本教材都没有设置太多证明题或推理题，相比较来说，《微积分》的证明题和推理题占比更大。
（三）中国教材可以适当增加习题量，尤其是应用、探究问题
总体来说，美国教材的习题量远大于中国教材的习题量，《微积分》中有更多的应用、探究问题。而且，美国教材除了课后习题、章节总复习外，在每一章的开始，还有预习题目，这些题目来自于先修的章节或者是部分先修课程，如来源于高中的代数，或者是前面几章所学的内容。这样，学生在学新知识的时候，自然可以将其与以前所学知识建立起联结。
[ 参 考 文 献 ]
[1] Trner G.， PotariD.，Zachariades T.. Calculus in European classrooms： curriculum and teaching in different educational and cultural contexts[J]. ZDM Mathematics Education （2014） 46：549-560.
[2] Sofronas K.S.， Thomas C， Hariharan S. A Study of Calculus Instructors’ Perceptions of Approximation as a Unifying Thread of the First-Year Calculus[J]. Int.J.Res.Undergrad.Math.Ed， 2015.
[3] Briana L， Jennifer G. Coordinating Multiple Representations in a Reform Calculus Textbook[J]. International Journal of Science and Mathematics Education， 2016-12： 1475-1497.
[4] 平艳茹.中美大学微积分教材之比较[J].科技资讯（学术论坛），2012（6）：197-198.
[5] 张逸洁.中美高校微积分教材比较研究[D].南京：南京师范大学，2013.
[6] Varberg D.， Purcell EJ.， Rigdon Steven E.. Calculus（9th Edition）[M]. London：Pearson Education Inc.， 2007.
[7] 同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[8] 鲍建生.主要国家高中数学教材的综合难度及其难度特征的比较研究[J].中学数学月刊， 2011（4）：35.
[责任编辑：钟 岚]
[关键词]微积分；教材比较；难度模型；习题
[中图分类号] G40-059.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2018）03-0007-04
微积分（高等数学）是近代数学的基础，是理工科各专业和经济管理专业学生的必修课，微积分课程的教学质量直接关系到一所大学学生的培养质量，而微积分的教学质量与微积分教材密切相关。
近年来，各国对微积分教材与教学改革均比较重视。Torner等人[1]研究了欧洲国家的微积分课程，发现微积分课程内容逐渐减少，并且更多地以非形式化的语言呈现。在欧洲大多数国家，数字化工具的使用已经开始融入微积分教学。然而在另一些国家，微积分课程依然采用传统教学模式，侧重于运算方面的知识。Sofronas等人[2]研究了“近似思想”是否应该作为微积分的核心概念，Briana等人[3]强调了微积分教材中多重表征协调使用的重要性。
随着国际化办学的发展，越来越多的国内学者开始关注中美微积分教材的比较研究。相对来说，美国微积分教材起点低、入门快，淡化了技巧，强化了原理，但是加速度大，腾飞快，跨度大[4]；在概念引入方式上美国教材一方面揭示了新概念的思想实质，另一方面通过丰富的信息量给学生留下了进一步思考的空间[5]。
作为在美国大学中使用较广泛的微积分教材，Varberg等人編写的Pearson Education Inc.出版的《微积分》（第九版）[6]具有重视应用，便于自学，强调严谨性等特点，这一点与我国许多现行的理工科微积分教材比较类似，它在美国是一本风格独特的教材。然而，目前国内还鲜有这本教材的研究，所以本文选取中国应用广泛的同济大学数学系主编的《高等数学》[7]与之进行比较，并以微分学为例，研究二者在内容编排、习题难度等方面的异同。
一、知识点结构比较
从整体结构来看，两本教材的章节大致是对应的。《高等数学》微分学主要由“导数与微分”、“微分中值定理与导数的应用”及“多元函数微分法及其应用”三章构成；而《微积分》中微分学主要由“导数”、“导数的应用”、“超越函数”以及“多元函数的微分”四章构成。两本教材都涉及从一元函数的导数、微分、导数的应用到二元及多元函数的应用情况，但在具体的知识单元内部却有诸多不同。本文选取微分部分内容较为典型的三个知识单元进行知识点结构的比较分析。
（一）导数的运算法则
这一部分的不同在于，《高等数学》第2章中给出了初等函数的全部求导公式，而《微积分》在第2章中只研究了幂函数和三角函数的导数，对于其他初等函数如指数函数、对数函数以及反三角函数的导数及相关运算是在第6章超越函数进行介绍。《微积分》这种教学内容的安排有利于学习者更容易地接受导数的概念和相关计算方法，并快速入门。
（二）微分中值定理及导数的应用
《高等数学》第3章第1节微分中值定理部分，按照罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的顺序，详细阐述了三个中值定理，层层递进、由易到难，然后基于三个中值定理来介绍导数的应用。
而《微积分》第3章中先学习导数的单调性、凹凸性、极值等导数应用问题，之后才是微分中值定理，并且只讲授了拉格朗日中值定理，同时用拉格朗日定理补证了单调性定理。而直到第8章第1节在证明未定式0/0型时才引入柯西中值定理。书中提到“洛必达法则的证明是柯西对微分中值定理的延伸……”，也就是说，在需要柯西中值定理的时候，它巧妙地出现了。
由此可以看出，《高等数学》更加注重数学知识的体系完整性，更加偏向于按照数学知识的逻辑性来编排教材。而作为对照，《微积分》则更加注重按照学生的认知特点和认知方式，循序渐进地安排教学内容，螺旋式地编排教材。
（三）多元函数的偏导数与极限部分
在多元函数部分，《高等数学》的编排先由多元函数的极限、连续再到偏导数的定义，而《微积分》则先讲授多元函数偏导数的定义，然后才是函数在某点处极限存在和连续的概念。教材编者认为偏导数是一个相对简单的概念，只需研究在某一邻域内的两个方向，而极限和连续概念则需考虑所有方向，所以对于学生来说，极限和连续的概念更难。这一点也体现了美国数学教材编写中由易到难、从特殊到一般的原则。
二、习题综合难度比较
本文采用综合难度模型[8]，分别根据探究、背景、运算、推理、知识含量五个难度因素的不同水平对两本微积分教材微分导数章节部分的习题进行统计分析，然后利用下列公式计算教材样本题组的加权平均值：
di=（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3…）
其中，di（i=1，2，3，4，5）表示在第i个难度因素上的加权平均值；dij表示第i个难度因素的第j个水平权重（即依水平分别取1，2，3，4）；nij则表示选取的样本题组中第i个难度因素的第j个水平的习题数；n是选取的样本题组的总数，且对于任意的i，有nij=n。
本文选取了两本教材中第2章导数的全部习题作为样本进行研究，统计《高等数学》与《微积分》第2章共2000多道习题在每个难度因素上的分值，据此分析两本教材在五个难度因素上的综合难度。
（一）探究因素
整体上，两本教材的习题理解水平上的题目最多，其次是识记，之后是应用与探究，这是其共同点。而《高等数学》除了在理解水平上的题目多过《微积分》外，其余三个水平的题目百分比均少于美国教材，尤其是在应用和探究水平上。这说明《微积分》在不同水平上的题目更加均衡，更加重视培养学生的发散性思维、解决实际问题以及探究学习的能力。而且《微积分》教材在应用和探究水平上的习题绝对数量较大，为教学提供了丰富的题型案例。 （二）背景因素
两本教材都是无背景的习题较多，纯数学语言描述的题目占大多数，但是，两本教材在背景因素的个人生活水平上具有较大差异，《微积分》在这个水平上的题目百分比更高，说明《微积分》更加重视习题与学生生活经历的联系，注重培养学生解决实际问题的能力。
（三）运算因素
两本教材的题目百分比都按照无运算、数值运算、简单符号运算的顺序递增，但是，到复杂符号运算部分，《微积分》却陡降，说明美国教材中的习题大部分止步于简单符号运算，而相对来说，《高等数学》的复杂符号运算水平的习题百分比高出《微积分》较多，说明中国习题运算难度更高，对学生运算能力要求更高，需要学生对公式、法则熟练掌握并灵活运用。同时，《微积分》有更多包含数值运算的题目，还有很多估算和近似计算题目，这说明《微积分》更加鼓励和培养学生的“数感”[6]。而这一点在《高等数学》教材中体现得较少。
（四）推理因素
两本教材习题在推理程度上差异不大。两本教材中考察推理能力的习题数目（包括简单推理水平和复杂推理水平）所占总题数的百分比较少。证明题是考察学生数学推理能力的主要题型，需要学生综合运用数学概念、数学公式、数学定理，甚至需要一定的数学思想方法才能求解。数据表明《微积分》导数这一章所含有的证明题数目比《高等数学》更多，更加注重考察学生推理能力，而《高等数学》第2章的习题多集中于计算题，证明题较少。
（五）知识含量因素
从图中可以看出一个很有趣的现象：《高等数学》知识点数目和相应的百分比是递增的，也就是说，知识含量多的题目占比多；而《微积分》则是递减的，并且更加平缓。这说明《微积分》兼顾微积分的入门与提高，为新手提供了大量题型丰富的习题来巩固基础，同时也设置了综合性较强的习题供学生进一步提高，这种习题设置方式会使微积分学习新手更容易地入门、更快地上手，《高等数学》的大部分习题则需要学习者有相对较好的数学基础。
（六）综合难度的比较
上文对各因素进行了逐一比较，接下来根据各因素的加权平均值画出雷达图，来比较习题的综合难度。可以看出，二者都比较注重运算能力，但《高等数学》教材中习题的运算难度和知识含量远高于《微积分》；而在探究、背景和推理方面，《微积分》的百分比都略高于《高等数学》。
三、结论与启示
（一） 《高等数学》更重视知识的逻辑性与系统性，而《微积分》更注重考虑学生的接受程度
在具体知识单元的编排顺序上中美两国教材差异较大。如中国教材将三个中值定理按照逻辑顺序安排在同一节中，按照先理论后实践的顺序编排，而美国教材中却将两个中值定理分别放在第3章和第8章遥相呼应，因为美国教材中中值定理不是作为一个完整的节来呈现的，而是分别作为单调性定理和洛必达法则的两个理论依据出现的。类似的还有导数的运算法则、多元函数连续性的定义等，都与中国教材的编排顺序存在较大差异。
（二）《高等數学》习题运算程度和知识含量较高，而《微积分》在探究、背景、推理方面的百分比较高
《高等数学》在运算和知识含量因素方面要高于《微积分》习题。《微积分》需要数学运算的习题绝对数量较大，但是公式的复杂度和运用的灵活性不及《高等数学》。《微积分》的习题知识含量少的题目更多，而《高等数学》的习题知识含量高的占比更大。
但是《高等数学》在探究、背景、推理三个因素上水平低于《微积分》。《高等数学》无背景的纯数学问题占绝大多数，而《微积分》和实际生活有联系的习题比重比《高等数学》大。特别是，《微积分》的习题比较注重和个人生活的联系。两本教材都没有设置太多证明题或推理题，相比较来说，《微积分》的证明题和推理题占比更大。
（三）中国教材可以适当增加习题量，尤其是应用、探究问题
总体来说，美国教材的习题量远大于中国教材的习题量，《微积分》中有更多的应用、探究问题。而且，美国教材除了课后习题、章节总复习外，在每一章的开始，还有预习题目，这些题目来自于先修的章节或者是部分先修课程，如来源于高中的代数，或者是前面几章所学的内容。这样，学生在学新知识的时候，自然可以将其与以前所学知识建立起联结。
[ 参 考 文 献 ]
[1] Trner G.， PotariD.，Zachariades T.. Calculus in European classrooms： curriculum and teaching in different educational and cultural contexts[J]. ZDM Mathematics Education （2014） 46：549-560.
[2] Sofronas K.S.， Thomas C， Hariharan S. A Study of Calculus Instructors’ Perceptions of Approximation as a Unifying Thread of the First-Year Calculus[J]. Int.J.Res.Undergrad.Math.Ed， 2015.
[3] Briana L， Jennifer G. Coordinating Multiple Representations in a Reform Calculus Textbook[J]. International Journal of Science and Mathematics Education， 2016-12： 1475-1497.
[4] 平艳茹.中美大学微积分教材之比较[J].科技资讯（学术论坛），2012（6）：197-198.
[5] 张逸洁.中美高校微积分教材比较研究[D].南京：南京师范大学，2013.
[6] Varberg D.， Purcell EJ.， Rigdon Steven E.. Calculus（9th Edition）[M]. London：Pearson Education Inc.， 2007.
[7] 同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[8] 鲍建生.主要国家高中数学教材的综合难度及其难度特征的比较研究[J].中学数学月刊， 2011（4）：35.
[责任编辑：钟 岚]