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平均数作为一种最常用的统计量，它能代表一组数据的集中程度和整体水平。教学中，我们十分重视平均数怎么得到的、有什么用，却很少重视平均数是什么，对其虚拟性体验也不够充分。本文，笔者以俞正强老师执教“平均数”一课为例，谈一谈如何在学生生活经验的基础上进行改造、提炼、建立数学概念。
【教学片段1】在生活原型中生长出概念
材料1：二年级小朋友60米跑了五次，时间分别如下（秒）：15，14，12，10，14。60米我通常要跑？摇？摇？摇 ？摇秒。
师：这5次的时间不一样，说明跑得有快有慢，时间多说明跑得慢，时间少说明跑得快，时间越少就越快。
师：第二天，他回到学校，要填这张表格“60米我通常要跑？摇 ？摇？摇？摇秒”。当时，我正好站在他边上，我发现——这位小朋友填了15，却又把15涂掉了，你们知道为什么吗？
师：如果是我，我也会涂掉，因为这是所有时间里最慢的。（板书：最慢）他把最慢的填在上面，他甘心吗？（板书：不甘心）
师：后来，这位小朋友填了10，一会儿又涂掉了，你们知道他为什么又要涂掉吗？如果是你，你会涂掉吗？为什么？
师：10秒是他的最快成绩，他能不能每次都跑10秒啊？（板书：最快）
师：同学们，他最后填了一个数，你们觉得这位小朋友最后填了几？
师：他一定会填14，理由是什么？
生 ：他两次跑了14秒。
师：在所有的5次中，14秒出现的次数最多。（板书：最多）所以，他填14，对吗？
生 ：我觉得是13，因为他们的平均数是13。（板书：平均数）
师：还有别的答案吗？
生 ：12，因为这样保守一点。
生 ：13没出现过，12有道理。（板书：没出现）
师：12和14比，14秒偏慢，12秒偏快。（板书：偏慢？摇偏快）
师：现在有3个答案出来了，你们觉得哪个答案的可能性比较大？
生 ：12、13的可能性都比较大。
师：14最多，但偏——慢，12又偏——快，那么，有没有不偏慢也不偏快的呢？
师：13既不偏慢，也不偏快，那么，他能不能填13呢？为什么呢？
生6：因为它是平均数。
师：什么是平均数，谁告诉你的？
师：怎么算出来的？
生7：把5个数相加，再除以5，就是平均数。（板书算式）
师：13，这位小朋友根本没有跑出来过，你敢填吗？理由呢？
生8：虽然今天没跑过，但是如果下一次真的跑出来了呢？
师：他说现在是没跑出来，但是下一次呢，下一次有可能跑出13吗？（有）
师：虽然这5次没有，但第6次呢？（有）可能性大不大？（大）为什么？
生9：因为它正好不快也不慢。
师：13虽然现在没有出现过，但是下一次有可能跑出来。用这一个成绩来代表他的速度正好，这是最能代表他的成绩的。
师：小朋友们看过来，刚才这位小朋友说的可以算的，那这个算式算出来是不是13呢？自己算算看。
师：结果是13，说明13跟这组数有关系，原来13就偷偷地躺在这些数后面。
【赏析】影响学生学习的最重要的因素是学生已经知道了什么。平均数是学生第一次接触虚拟数的学习。于是，俞老师创设了一个用数来表示跑步水平的情境，成功激活学生的生活经验，引发学生的思考，促使他们借助跑步的经历，将“最快、最慢、偏快、偏慢和不快不慢”这些与平均数学习有关的知识储备提取出来，作为新概念学习的依托。课堂上，全体学生兴致勃勃地对数据进行猜测、质疑和辨析，在否定之否定的数据分析过程中经历平均数的产生过程，逐步将自己的生活经验改造为数学知识。最后，俞老师通过巧妙的点拨，揭示平均数13与这组数据的内在关系，得出平均数的计算方法。此外，我们还发现，俞老师非常善于利用学生的非智力因素（兴趣、情感、态度等），成功地让学生移情入境，让他们在“不甘心”“不好意思”中深化对新知的认可与理解。
【教学片段2】在数学模型中发展概念
材料2：活动棋子图。
师：想想，你可以从这里变出一个13吗？
学生操作（图2）。
教师板书：平。
师：平均数是平分（指图）、均分（指算式）来的。现在，你们知道平均数是什么意思了吗？
生1：平均数就是把5个不同的数变成一个相同的数。
材料3：15，10，14，12，14。
师：同学们，这几个数都很特别，你认为哪个数最特别？（13）
师：它有几个特点？
生2：两个，“不快不慢”和“沒出现”。
师：符合这两个特点的数，我们称它为——平均数。因为这个数“正好”，所以可以代表这位二年级小朋友的跑步水平。虽然这个数没有跑出来过，我们可以“移多补少”得到。（板书：移多补少）
师：所以，他写多少是最合理的？（13）
师：这个故事讲完了，你们知道我为什么要给你们讲这个故事吗？
生3：今天要学习这个知识。
师：那你们学懂了吗？
生4：我有个问题，平均数也不一定是非要不出现吧？
师：那么，平均数可以出现吗？（可以）
师：比如说，第六次出现13。
【赏析】有研究表明，对于低年级学生来说，他们往往还不能通过严密的逻辑思维活动来直接形成数学概念，主要还是通过“行为性概念”来获得一些概念。这句“平均数是平分、均分来的”既展现了平均数“移多补少”的本质，又概括了平均数的计算方法，十分符合小学生的认知规律。这样，直接就把抽象的平均数概念直观、具体、形象地描绘出来。而且，通过对这5个数据的对比、分类，进一步放大了学生的生活经验，强烈地使学生体会平均数在生活中的“特别状态”，即不快不慢的正常水平；还使学生体会到平均数在数学中的特殊状态，即虚拟性。此外，笔者还体会到，这个故事不单是讲给学生听的，更多的是讲给教师们听的——平均数的概念本来就隐藏在生活之中，平均数的算法是伴随着概念的形成而产生的，总数除以份数只是一种计算的窍门而已。
【教学片段3】在实际应用中深化概念
材料4：6和4；1，3和5。
师：这两个数的平均数是几？
生1：6加4，再除以2等于5。
师：这三个数的平均数是几？
生2：1加3加5，再除以3，等于3。
生3：1加2等于3，5减2等于3，平均数就是3。
师：有一条河，平均水深4米。最深几米，你知道吗？
生4：不知道，可能是6米，也可能是2米、1米。
师：如果平均水深1米，小朋友走过去安全吗？
生5：不安全，可能有的地方不止1米。
师：今天我们学了什么？（平均数）
师：平均数有什么用？
生6：它解决了代表一位小朋友跑步水平的问题。
师：平均数有什么特点？
生7：不快不慢，正正好，可能没出现。
师：我们这个数（指13）这么特别叫什么数——平均数，那这个数呢？（指15）这个数呢？（指10）这个数呢？（指14）我们以后慢慢去学。
【赏析】概念教学很怕忽视概念间的联系的教学，或者忽视灵活应用概念解决问题的教学，以致学生将一个个概念分散而孤立地保留在头脑当中。课尾，俞老师先通过两组数据强化了学生对平均数的计算方法和数学本质的理解。然后，让学生在解决“过河问题”的讨论中进一步体会平均数的统计意义和特征（容易受极大数和极小数的影响），所以无法判断能否安全过河，从而使学生充分感受学习平均数的必要性和实际应用价值。最后，俞老师连续的补问，将学生引向新的思考，意在帮助学生初步感受各个统计量之间的联系，以助于形成良好的概念系统。
（作者单位：浙江师范大学附属嘉善实验学校 责任编辑：王彬）
【教学片段1】在生活原型中生长出概念
材料1：二年级小朋友60米跑了五次，时间分别如下（秒）：15，14，12，10，14。60米我通常要跑？摇？摇？摇 ？摇秒。
师：这5次的时间不一样，说明跑得有快有慢，时间多说明跑得慢，时间少说明跑得快，时间越少就越快。
师：第二天，他回到学校，要填这张表格“60米我通常要跑？摇 ？摇？摇？摇秒”。当时，我正好站在他边上，我发现——这位小朋友填了15，却又把15涂掉了，你们知道为什么吗？
师：如果是我，我也会涂掉，因为这是所有时间里最慢的。（板书：最慢）他把最慢的填在上面，他甘心吗？（板书：不甘心）
师：后来，这位小朋友填了10，一会儿又涂掉了，你们知道他为什么又要涂掉吗？如果是你，你会涂掉吗？为什么？
师：10秒是他的最快成绩，他能不能每次都跑10秒啊？（板书：最快）
师：同学们，他最后填了一个数，你们觉得这位小朋友最后填了几？
师：他一定会填14，理由是什么？
生 ：他两次跑了14秒。
师：在所有的5次中，14秒出现的次数最多。（板书：最多）所以，他填14，对吗？
生 ：我觉得是13，因为他们的平均数是13。（板书：平均数）
师：还有别的答案吗？
生 ：12，因为这样保守一点。
生 ：13没出现过，12有道理。（板书：没出现）
师：12和14比，14秒偏慢，12秒偏快。（板书：偏慢？摇偏快）
师：现在有3个答案出来了，你们觉得哪个答案的可能性比较大？
生 ：12、13的可能性都比较大。
师：14最多，但偏——慢，12又偏——快，那么，有没有不偏慢也不偏快的呢？
师：13既不偏慢，也不偏快，那么，他能不能填13呢？为什么呢？
生6：因为它是平均数。
师：什么是平均数，谁告诉你的？
师：怎么算出来的？
生7：把5个数相加，再除以5，就是平均数。（板书算式）
师：13，这位小朋友根本没有跑出来过，你敢填吗？理由呢？
生8：虽然今天没跑过，但是如果下一次真的跑出来了呢？
师：他说现在是没跑出来，但是下一次呢，下一次有可能跑出13吗？（有）
师：虽然这5次没有，但第6次呢？（有）可能性大不大？（大）为什么？
生9：因为它正好不快也不慢。
师：13虽然现在没有出现过，但是下一次有可能跑出来。用这一个成绩来代表他的速度正好，这是最能代表他的成绩的。
师：小朋友们看过来，刚才这位小朋友说的可以算的，那这个算式算出来是不是13呢？自己算算看。
师：结果是13，说明13跟这组数有关系，原来13就偷偷地躺在这些数后面。
【赏析】影响学生学习的最重要的因素是学生已经知道了什么。平均数是学生第一次接触虚拟数的学习。于是，俞老师创设了一个用数来表示跑步水平的情境，成功激活学生的生活经验，引发学生的思考，促使他们借助跑步的经历，将“最快、最慢、偏快、偏慢和不快不慢”这些与平均数学习有关的知识储备提取出来，作为新概念学习的依托。课堂上，全体学生兴致勃勃地对数据进行猜测、质疑和辨析，在否定之否定的数据分析过程中经历平均数的产生过程，逐步将自己的生活经验改造为数学知识。最后，俞老师通过巧妙的点拨，揭示平均数13与这组数据的内在关系，得出平均数的计算方法。此外，我们还发现，俞老师非常善于利用学生的非智力因素（兴趣、情感、态度等），成功地让学生移情入境，让他们在“不甘心”“不好意思”中深化对新知的认可与理解。
【教学片段2】在数学模型中发展概念
材料2：活动棋子图。
师：想想，你可以从这里变出一个13吗？
学生操作（图2）。
教师板书：平。
师：平均数是平分（指图）、均分（指算式）来的。现在，你们知道平均数是什么意思了吗？
生1：平均数就是把5个不同的数变成一个相同的数。
材料3：15，10，14，12，14。
师：同学们，这几个数都很特别，你认为哪个数最特别？（13）
师：它有几个特点？
生2：两个，“不快不慢”和“沒出现”。
师：符合这两个特点的数，我们称它为——平均数。因为这个数“正好”，所以可以代表这位二年级小朋友的跑步水平。虽然这个数没有跑出来过，我们可以“移多补少”得到。（板书：移多补少）
师：所以，他写多少是最合理的？（13）
师：这个故事讲完了，你们知道我为什么要给你们讲这个故事吗？
生3：今天要学习这个知识。
师：那你们学懂了吗？
生4：我有个问题，平均数也不一定是非要不出现吧？
师：那么，平均数可以出现吗？（可以）
师：比如说，第六次出现13。
【赏析】有研究表明，对于低年级学生来说，他们往往还不能通过严密的逻辑思维活动来直接形成数学概念，主要还是通过“行为性概念”来获得一些概念。这句“平均数是平分、均分来的”既展现了平均数“移多补少”的本质，又概括了平均数的计算方法，十分符合小学生的认知规律。这样，直接就把抽象的平均数概念直观、具体、形象地描绘出来。而且，通过对这5个数据的对比、分类，进一步放大了学生的生活经验，强烈地使学生体会平均数在生活中的“特别状态”，即不快不慢的正常水平；还使学生体会到平均数在数学中的特殊状态，即虚拟性。此外，笔者还体会到，这个故事不单是讲给学生听的，更多的是讲给教师们听的——平均数的概念本来就隐藏在生活之中，平均数的算法是伴随着概念的形成而产生的，总数除以份数只是一种计算的窍门而已。
【教学片段3】在实际应用中深化概念
材料4：6和4；1，3和5。
师：这两个数的平均数是几？
生1：6加4，再除以2等于5。
师：这三个数的平均数是几？
生2：1加3加5，再除以3，等于3。
生3：1加2等于3，5减2等于3，平均数就是3。
师：有一条河，平均水深4米。最深几米，你知道吗？
生4：不知道，可能是6米，也可能是2米、1米。
师：如果平均水深1米，小朋友走过去安全吗？
生5：不安全，可能有的地方不止1米。
师：今天我们学了什么？（平均数）
师：平均数有什么用？
生6：它解决了代表一位小朋友跑步水平的问题。
师：平均数有什么特点？
生7：不快不慢，正正好，可能没出现。
师：我们这个数（指13）这么特别叫什么数——平均数，那这个数呢？（指15）这个数呢？（指10）这个数呢？（指14）我们以后慢慢去学。
【赏析】概念教学很怕忽视概念间的联系的教学，或者忽视灵活应用概念解决问题的教学，以致学生将一个个概念分散而孤立地保留在头脑当中。课尾，俞老师先通过两组数据强化了学生对平均数的计算方法和数学本质的理解。然后，让学生在解决“过河问题”的讨论中进一步体会平均数的统计意义和特征（容易受极大数和极小数的影响），所以无法判断能否安全过河，从而使学生充分感受学习平均数的必要性和实际应用价值。最后，俞老师连续的补问，将学生引向新的思考，意在帮助学生初步感受各个统计量之间的联系，以助于形成良好的概念系统。
（作者单位：浙江师范大学附属嘉善实验学校 责任编辑：王彬）