摘 要：本节内容苏教版必修四第二章《平面向量》的最后一节内容，本节的目的是让学生对向量有进一步的认知，在实际解题中将向量这个工具的代数特征、几何特征进行转换。由于向量具有两个明显的特点——“形”和“数”，从而使得向量成为数形结合的桥梁，因而就产生了“坐标法”“向量法”两种解题思路。坐标法就是建立直角坐标系，用坐标表示向量，向量的坐标实际上就是把点和数联系起来，进而把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方法研究几何问题。在实际解题中，有些平面几何问题，利用向量的方法求解比较容易，根据点、线之间的联系，利用向量关系建立等式或不等式，并利用向量的相关运算进行求解，从而解决问题。但在使用向量方法解决问题时，要注意向量起点的选取，若选取得当，会使得计算过程化繁为简。
　　关键词：《平面向量》;教学分析;化繁为简
　　
　　在几何问题，向量方法与代数方法思路有其相似性，不同的就是利用“向量与向量之间的运算”来代替“数与数之间的运算”，这样就可以将几何中的直线或线段之间的位置关系归结为向量之间的关系，这样就可以借助向量的相关运算来研究平面几何中直线或线段之间的平行、垂直、相等、夹角、距离等问题，并将通过向量计算所得结果转化为题目中的相应结果。其过程可以简单表述为三部曲，如下：几何中的代数方法：形到数→数的运算→数到形;几何中的向量方法：形到向量→向量的运算→向量到形。
　　一、 教学目标
　　（一） 知识与技能。运用向量的相关知识解决向量在几何、物理中的相关问题。让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用。
　　（二） 过程与方法。通过实际应用，在解题过程中给学生渗透转化化归、数形结合的数学思想方法，并培养学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的建模核心素养。
　　（三） 情感与价值观。通过本节课的学习，能够让学生深刻理解向量在处理几何问题和物理问题中的优越性，从而可以活跃学生的思维，增强学生自主学习的探索意识，并培养学生的创新精神，激发学生学习的积极性。
　　二、 教学重、难点
　　重点：运用向量方法解决几何、物理中等相关问题。
　　难点：如何将几何、物理中等相关问题化归为向量问题。
　　三、 教学过程
　　（一） 呈现背景，提出问题
　　问题1：向量加法、减法的运算法则及其几何意义？
　　问题2：向量的数乘运算以及向量的共线定理，向量平行所满足的条件？
　　问题3：向量的数量积运算以及向量：垂直时所满足的条件？
　　情境1：设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，若AD=λAB μAC，则λμ的值为 .
　　情境2：与a=（12，5）平行的单位向量是 ;与a=（12，5）垂直的单位向量是 .
　　问题4：向量如何解决物理、几何中的一些问题呢？通常的解题步骤又是什么呢？（核心问题）
　　向量的概念和运算都是在物理背景和几何背景下产生的，例如：物理上的力、速度、位移等，平面幾何中的直线或者线段的平行、垂直、夹角以及线段长度等等都可以通过向量的相关运算表示出来。当向量与直角坐标系结合后，向量的基底运算完全可以转化为坐标运算（代数运算），这就为我们研究物理实际问题、数学中的几何问题带来了方便，下面通过几个具体的例子，说明利用向量方法解决物理、几何中的问题的优越性。
　　（二） 意义建构，解决问题
　　应用一 向量在物理中的应用
　　例1：如图所示，无弹性的细绳OA、OB的一端分别固定在A、B处，同质量的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳子受力最大。
　　问题5：绳子OA，OB，OC上所受的力与我们所学的向量有怎样的关系呢？
　　问题6：三根绳子上所受的力的关系的如何？
　　问题7：如何用向量的关系表示三个力之间的关系？
　　问题8：对于物理问题如何用向量的方法处理呢？
　　师总结：用向量法解决物理问题的步骤：
　　①将相关物理量用几何图形表示出来;②将物理问题进行数学建模，转化为数学问题，并进行相关数学运算;③最后将数学问题还原为物理问题。
　　设计说明：本例利用向量的方法处理了物理中的问题，建立了物理中的相关量与向量的之间的关系，使向量成为研究物理学科的有力工具。
　　应用二 向量在平面几何中的应用
　　例2：已知OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB。
　　问题9：如何用向量表示线段的垂直？（数量积）
　　问题10：如何用OA，BC，OB，AC表示OC，AB？
　　生1：运用向量的减法法则
　　设计说明：通过分步设问，引导学生建立平面几何中的线段垂直与向量垂直之间的关系，让学生掌握用向量的方法解决平面几何问题。
　　问题11：能不能利用向量的坐标表示证明本题？（自主思考、合作探究）
　　问题12：如何建立合适的直角坐标系呢？（学生讨论、板演）
　　问题13：如何用一个几何图形来解释本题的结论？
　　师点评：用向量法解决几何问题的步骤：
　　①建立几何中的元素与向量之间的联系，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量之间的相关运算，研究几何元素之间的关系;③把向量运算的结果“翻译”成几何元素之间的关系。
　　设计说明：本例用向量法与坐标法解题，让学生在解题的过程中体会每种方法优劣性，学会选定合适的方法解题。
　　应用三 向量在解析几何中的应用
　　例3：已知直线l经过点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），用向量的方法求直线l的方程。 　　问题14：直线的方程如何表示？
　　生2：直线上任意一动点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y之间所满足的等量关系。
　　问题15：如何用向量的方法刻画直线上动点P与定点P1，P2之间的关系？生3：三点共线
　　问题16：如何用向量表示三点共线？
　　生4：共线定理，即构造两个共线向量，从而得到P1P2=λP1P
　　学生自主完成，生5（多媒体投影展示）
　　解：设P（x，y）为直线上任意一动点
　　因为P1P2=（x2-x1，y2-y1），P1P=（x-x1，y-y1）
　　又因为P1，P2，P三点都在直线l上，所以P1P2与P1P是共线向量
　　所以（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1），这就是直线l的方程。
　　师点评：用向量法解决几何问题的步骤：
　　①建立解析几何与向量的联系，用向量之间的关系表示问题中点、线之间关系，将解析几何问题转化为向量问题;②利用向量的坐标运算，列出方程，研究几何元素之间的关系;③把向量的运算结果“翻译”成几何元素之间关系。
　　设计说明：本例通过向量的方法建立解析几何中点、线之间的关系，体现向量在解析几何中的工具性，运用向量将繁琐的几何问题转化为简单的向量的坐标运算。
　　（三） 拓展操练、反馈矫正
　　练习1 若渡船以23 km/h的速度按垂直于河岸的方向航行，江水以2 km/h的速度向东流，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
　　设计说明：通过本题体会向量在物理中的工具性，发展解决实际问题的能力。
　　练习2 如图：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若AC·BD=-12，则AD·BC= .
　　设计说明：通过本题巩固向量在平面几何中的应用，并通过本题体会坐标法的优越性。
　　练习3 已知P是圆上一动点，AB是圆（x-5）2 （y-12）2=4的一条动弦（A，B是直径的两个端点），则PA·PB的取值范围为 .
　　设计说明：本题运用向量的方法让学生体会将复杂解析几何问题转化为简单的代数问题，通过相关的坐标运算解决本题。
　　（四） 归纳反思、总结提高
　　1. 用向量方法解决物理、几何问题的步骤：
　　（1）建立物理先關量、几何元素与向量的联系，用向量表示问题中涉及的元素，将物理、几何问题转化为向量问题;
　　（2）通过向量之间的相关运算研究各个几何元素之间的关系;
　　（3）把向量运算的结果“翻译”成题中所给物理、几何问题。
　　2. 用向量法解决相关问题，一般来说有两个方法：
　　（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中所涉及到的向量用选定的基底表示出来，通过向量的运算法则、运算律或性质计算;
　　（2）坐标法：建立合适的平面直角坐标系，将向量进行坐标化，将几何问题中相关元素之间的位置关系转化为向量的代数运算。
　　3. 向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握。
　　四、 教学总结
　　本节课通过几个例题的分析，让学生体会通过向量法、坐标法可以将数学中几何元素之间的关系、物理中实际问题转化为向量之间的关系，运用向量的相关运算化繁为简，体现向量在解题中的工具性;通过问题串的形式，扩大学生探索的空间，具有较强的挑战性，让学生在不断尝试、比较、探索的基础上进行思考，也使他们感受到研究同一问题的不同方法的区别与联系，并能够有效地选择简便的方法处理问题。
　　本节课采用“问题引领，自主建构”的教学模式，通过教师提问、学生追问的方式，给学生提供充分的机会，让学生参与数学思想方法建构的过程，在此过程中让学生学会对题目中的相关信息进行筛选，整理，分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，发展学生的数学建模的核心素养。
　　通过本节课的学习有助于让学生体会平面向量与其他学科（如物理学科）之间的联系，感受平面向量在解决物理问题中的作用;有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验、感悟数学的创造性和联系性;有助于学生发展数学思维，提高解决问题的能力。
　　作者简介：
　　孙霞，江苏省扬州市，江苏省邗江中学。