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《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“课题学习与实践”作为与“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”并列的一个独立的领域，旨在帮助同学们综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系、具有一定挑战性和综合性的问题，以提高同学们分析和解决问题的能力． 这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，不仅考查学生的阅读能力，而且考查学生综合的数学意识和综合应用数学的能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，符合学生的认知规律． 它不仅给中考试题的形式和内容注入了新的活力，而且给新课程改革的课堂教学实施带来了重大的影响．
课题学习与实践类问题一般包含：课题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、酝酿与形成研究问题的方法．这种形式的试题通常以探索、研究、实验操作等不同形式呈现于中考中，并借助恰当的数学素材，或是以几何图形为题材，或是以数学问题为背景等． 通过对相关问题的描述或逐步观察、操作（包括数据分析、整理、运算或作图、证明）、归纳、研究等，进而发现问题，创新问题．试题在注重考查相关基础知识、基本技能、方法的同时，更注重考查对相关知识的联想、探索、发现、总结归纳与创新，是近几年中考改革中出现的新题型．
课题学习型试题解决的策略是：通过对给定的信息进行分析、整理、研究与归纳，得出一些有价值的信息，然后运用平时积累的数学知识、思想、方法，创造性地解决问题，得出科学正确的结论．在解题时，应充分注意从特殊到一般、从简单到复杂、类比的数学思想．现以2011年中考试题为例加以说明．
一、 以归纳猜想为先导，培养学生的归纳推理能力
这类试题是在特定的背景、情境或某些条件下，通过认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当地分析、综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的一类探索题．这类试题综合考查了阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力，一般是通过观察，运用数学眼光，以揭示数学本质．
例1同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12 22 32 … n2． 但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题． 首先，通过探究我们已经知道0×1 1×2 2×3 … （n-1）×n=■n（n 1）（n-1）时，我们可以这样做：
（1） 观察并猜想：12 22=（1 0）×1 （1 1）×2=1 0×1 2 1×2=（1 2） （0×1 1×2）；
12 22 32=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3=1 0×1 2 1×2 3 2×3=（1 2 3） （0×1 1×2 2×3）；
12 22 32 42=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3
=1 0×1 2 1×2 3 2×3 =（1 2 3 4） （）…；
（2） 归纳结论：12 22 32 … n2=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3 … ［1 （n-1）］n=1 0×1 2 1×2 3 2×3 … n （n-1）×n=（ ） ［ ］=
=■×■；
（3） 实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ．
【评析】：本题让学生经历观察猜想、归纳结论、实践应用以及体验合情推理等数学过程，问题从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→实践结论. 灵活应用0×1 1×2 2×3 … （n-1）×n=n（n 1）（n-1）是验证结论的依据，而解决规律性问题关键在于猜想，在于从简单情形入手. 逐个观察、发现图形或数的变化规律及内在关系式，构建相应的数学模型，探讨某些情境中的特殊、简单情况下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，这是归纳猜想问题的一种经验或一种模式． 为此要求我们能在一定的背景或特定的条件下，通过观察、分析、比较、归纳、猜想，让学生在“做数学”的过程中体验知识的形成过程，发现解决问题的思维方法． 以此为导航，在日常教学中，应高度关注知识生成和发展的过程，积极倡导学生参与其中，从中培养学生归纳推理能力．
二、 以变换探究为背景，强化学生的动手操作能力
这类试题是根据有关数学元素、图形的运动变化，运用发散思维、数学转化和化归思想，根据题目中的数字或图形特征发现其中的变量与不变量，或者利用变化的趋势与内在联系，挖掘隐含其中的规律或相关的结论，运用分类的数学思想方法提出新问题或与之相关的实际问题．素材主要来自于生活或数学研究中出现的问题，在变化过程中的变量或不变关系要引起高度重视．
例2如图1至4中，两平行线AB，CD间的距离为6，点M为AB上一定点．
思考：如图1，圆心为O的半圆纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α. 当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为
探究一：在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是.
探究二：将图1中的扇形纸片NOP按要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1） 当α=60°时，扇形纸片在旋转过程中，求点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2） 在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围． （参考数据：sin49°=■，cos41°=■，tan37°=■）
【评析】：本题以图形变换（旋转）为背景，主要考查点到直线的距离、直线和圆的位置关系、平行线之间的距离、旋转的性质、解直角三角形等有关问题．随着扇形圆心角的变化，在旋转过程中，要搞清在旋转过程中，哪些量是变化的，哪些量是不变的． 通过观察、探究，明确扇形纸片在旋转过程中的特殊位置，画出特殊图形是解决问题的关键． 解决变换类探究题，应遵循“动中有静、以静制动”的变化规律，将动态操作问题转化为静态问题来解决． 通过给出具体情境及操作变换的过程，要求学生经历观察、思考、猜测、推理、反思等实践活动，获得感性认识，加深对数学问题情境的认识和理解，从而上升为理性认识． 在探究过程中，注重培养学生探究数学问题的本质，通过“做数学”操作实践活动，获得图形的性质，发现问题的规律，从而找到解决问题的途径与策略．
三、 阅读数学模型，迁移解题方法，增强学生“用数学”的意识
这类题型的特点是设计或定义一个陌生的数学情境，给出若干信息，提出解决问题的方法，要求考生在理解的基础上，运用所学知识和方法灵活地进行迁移．试题首先通过提供一段文字、素材或图表材料等，往往其中蕴涵了一种解题思路，或展示一个数学要领、结论的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导和应用，或介绍一种解题方法等，它的核心内容和解题步骤是：阅读——分析——理解——迁移——创新应用．
课题学习与实践类问题一般包含：课题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、酝酿与形成研究问题的方法．这种形式的试题通常以探索、研究、实验操作等不同形式呈现于中考中，并借助恰当的数学素材，或是以几何图形为题材，或是以数学问题为背景等． 通过对相关问题的描述或逐步观察、操作（包括数据分析、整理、运算或作图、证明）、归纳、研究等，进而发现问题，创新问题．试题在注重考查相关基础知识、基本技能、方法的同时，更注重考查对相关知识的联想、探索、发现、总结归纳与创新，是近几年中考改革中出现的新题型．
课题学习型试题解决的策略是：通过对给定的信息进行分析、整理、研究与归纳，得出一些有价值的信息，然后运用平时积累的数学知识、思想、方法，创造性地解决问题，得出科学正确的结论．在解题时，应充分注意从特殊到一般、从简单到复杂、类比的数学思想．现以2011年中考试题为例加以说明．
一、 以归纳猜想为先导，培养学生的归纳推理能力
这类试题是在特定的背景、情境或某些条件下，通过认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当地分析、综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的一类探索题．这类试题综合考查了阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力，一般是通过观察，运用数学眼光，以揭示数学本质．
例1同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12 22 32 … n2． 但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题． 首先，通过探究我们已经知道0×1 1×2 2×3 … （n-1）×n=■n（n 1）（n-1）时，我们可以这样做：
（1） 观察并猜想：12 22=（1 0）×1 （1 1）×2=1 0×1 2 1×2=（1 2） （0×1 1×2）；
12 22 32=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3=1 0×1 2 1×2 3 2×3=（1 2 3） （0×1 1×2 2×3）；
12 22 32 42=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3
=1 0×1 2 1×2 3 2×3 =（1 2 3 4） （）…；
（2） 归纳结论：12 22 32 … n2=（1 0）×1 （1 1）×2 （1 2）×3 … ［1 （n-1）］n=1 0×1 2 1×2 3 2×3 … n （n-1）×n=（ ） ［ ］=
=■×■；
（3） 实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ．
【评析】：本题让学生经历观察猜想、归纳结论、实践应用以及体验合情推理等数学过程，问题从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→实践结论. 灵活应用0×1 1×2 2×3 … （n-1）×n=n（n 1）（n-1）是验证结论的依据，而解决规律性问题关键在于猜想，在于从简单情形入手. 逐个观察、发现图形或数的变化规律及内在关系式，构建相应的数学模型，探讨某些情境中的特殊、简单情况下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，这是归纳猜想问题的一种经验或一种模式． 为此要求我们能在一定的背景或特定的条件下，通过观察、分析、比较、归纳、猜想，让学生在“做数学”的过程中体验知识的形成过程，发现解决问题的思维方法． 以此为导航，在日常教学中，应高度关注知识生成和发展的过程，积极倡导学生参与其中，从中培养学生归纳推理能力．
二、 以变换探究为背景，强化学生的动手操作能力
这类试题是根据有关数学元素、图形的运动变化，运用发散思维、数学转化和化归思想，根据题目中的数字或图形特征发现其中的变量与不变量，或者利用变化的趋势与内在联系，挖掘隐含其中的规律或相关的结论，运用分类的数学思想方法提出新问题或与之相关的实际问题．素材主要来自于生活或数学研究中出现的问题，在变化过程中的变量或不变关系要引起高度重视．
例2如图1至4中，两平行线AB，CD间的距离为6，点M为AB上一定点．
思考：如图1，圆心为O的半圆纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α. 当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为
探究一：在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是.
探究二：将图1中的扇形纸片NOP按要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1） 当α=60°时，扇形纸片在旋转过程中，求点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2） 在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围． （参考数据：sin49°=■，cos41°=■，tan37°=■）
【评析】：本题以图形变换（旋转）为背景，主要考查点到直线的距离、直线和圆的位置关系、平行线之间的距离、旋转的性质、解直角三角形等有关问题．随着扇形圆心角的变化，在旋转过程中，要搞清在旋转过程中，哪些量是变化的，哪些量是不变的． 通过观察、探究，明确扇形纸片在旋转过程中的特殊位置，画出特殊图形是解决问题的关键． 解决变换类探究题，应遵循“动中有静、以静制动”的变化规律，将动态操作问题转化为静态问题来解决． 通过给出具体情境及操作变换的过程，要求学生经历观察、思考、猜测、推理、反思等实践活动，获得感性认识，加深对数学问题情境的认识和理解，从而上升为理性认识． 在探究过程中，注重培养学生探究数学问题的本质，通过“做数学”操作实践活动，获得图形的性质，发现问题的规律，从而找到解决问题的途径与策略．
三、 阅读数学模型，迁移解题方法，增强学生“用数学”的意识
这类题型的特点是设计或定义一个陌生的数学情境，给出若干信息，提出解决问题的方法，要求考生在理解的基础上，运用所学知识和方法灵活地进行迁移．试题首先通过提供一段文字、素材或图表材料等，往往其中蕴涵了一种解题思路，或展示一个数学要领、结论的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导和应用，或介绍一种解题方法等，它的核心内容和解题步骤是：阅读——分析——理解——迁移——创新应用．