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1引言
平面向量既有数值又有方向,在平面几何学中有举足轻重的地位,可以连接不同的考察内容,利用平面向量,可以将几何图形转化为代数分析,从而进行定量分析;圆锥曲线是生活、物理、科研中不可避免接触的一些经典曲线,是科学研究的基石,例如研究椭圆的特性有利于设计更完美的卫星轨道方案,是航天科学的基础。在高中的重点学习方向是平面向量与圆锥曲线的结合,主要是利用平面向量的手段解决圆锥曲线的题目,研究圆锥曲线的特性。
2结合题型之求曲线方程和相关量取值范围
例 双曲线M的中心在坐标系原点O,右焦坐标为为(2,0),右顶点坐标为([3,0])。
(1)求M的标准方程。
(2)假設[l∶y=kx+2]与M的有两交点A和B,[OA·OB>2],求直线方程中k的范围。
解:(1)设方程[x2a2-y2b2=1]。
[a=3,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1]。
则M的方程为[x23-y2=1]。
(2)[y=kx+2代入x23-y2=1]得
[1-3k2x2-62kx-9=0]。
l与M有不同交点,所以:
[1-3k2≠0?=(62k)2+361-3k2=36(1-k2)>0]
可知[k2≠13且k2<1。]
设交点[AxA,xA,BxB,xB],以及[OA·OB>2]
[xA+xB=62k1-3k2,xAxB=-91-3k2]
计算可得:
[3k2+73k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0]。
于是:
[13 综合可知[13 3结合题型之求动点的轨迹
例 如图中所示,点F(1,0),l∶x=-1,P为动点,P与l的垂线的垂足为Q,且[QP·QF=FP·FQ],求动点P的轨迹。
[l][y][F][x][O][1][-1]
本小题涉及直线、抛物线、向量等知识,考查学生的综合解题能力。
解:设P(x,y),Q(-1,y),由[QP·QF=FP·FQ]得:
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y)
化简得C∶y2=4x。
4結合题型之求曲线几何特性
例 已知一中心为原点的椭圆,焦点位于x轴,直线斜率为1,与椭圆右焦点F相交,并与椭圆有两个交点A、B,[OA+OB]与[a=(3,-1)]共线,求椭圆的离心率。
解:设方程[x2a2+y2b2=1a>b>0,F(c,0)]
则l为y=x-c,代入椭圆方程,得:
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0
假设A(x1,y1),B(x2,y2),
则[x1+x2=2a2ca2+b2,x1x2=a2c2-a2b2a2+b2],
进一步计算可知:
3(y1+y2)+(x1+x2)=0又y1=x1-c,y2=x2-c,
∴3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,
∴x1+x2=[32c]。
即[2a2ca2+b2=3c2],所以[a2=3b2]。
[∴c=a2-b2=6a3],
则[e=ca=63]。
5总结
在解题过程中,要灵活将向量和圆锥曲线的知识相结合。出题方向主要求动点轨迹、求相关量和几何特性的取值范围或者数值大小、证明点线存在与否和证明定值等三个方面。
面对这些结合类型题,要有清晰的解题策略,下面将解题策略分解为几个步骤,以供参考:①根据题中的题目背景,建立坐标系,以便进行平面向量的计算;②为了方便计算,要进行充分的消元;③利用圆锥曲线的几何特性,建立坐标与向量之间的桥梁;④对于取值范围的题型,要将等式不等式的关系用方程表达出来;⑤向量是解题过程的重要手段,要充分利用。很多同学在运算方面不过关,经常出现失分现象,所以要提高运算水平,以免出现无谓的失分。最后,题型的总结是方向,但是出题的方式千变万化,学习中要加强总结的能力,才能以不变应万变,将知识掌握在自己手中,不因出题题型变化而丢分,思考的基础上不断探索和总结研究,深入挖掘知识点的深度,这样才能提高分数,考取理想的大学。
平面向量既有数值又有方向,在平面几何学中有举足轻重的地位,可以连接不同的考察内容,利用平面向量,可以将几何图形转化为代数分析,从而进行定量分析;圆锥曲线是生活、物理、科研中不可避免接触的一些经典曲线,是科学研究的基石,例如研究椭圆的特性有利于设计更完美的卫星轨道方案,是航天科学的基础。在高中的重点学习方向是平面向量与圆锥曲线的结合,主要是利用平面向量的手段解决圆锥曲线的题目,研究圆锥曲线的特性。
2结合题型之求曲线方程和相关量取值范围
例 双曲线M的中心在坐标系原点O,右焦坐标为为(2,0),右顶点坐标为([3,0])。
(1)求M的标准方程。
(2)假設[l∶y=kx+2]与M的有两交点A和B,[OA·OB>2],求直线方程中k的范围。
解:(1)设方程[x2a2-y2b2=1]。
[a=3,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1]。
则M的方程为[x23-y2=1]。
(2)[y=kx+2代入x23-y2=1]得
[1-3k2x2-62kx-9=0]。
l与M有不同交点,所以:
[1-3k2≠0?=(62k)2+361-3k2=36(1-k2)>0]
可知[k2≠13且k2<1。]
设交点[AxA,xA,BxB,xB],以及[OA·OB>2]
[xA+xB=62k1-3k2,xAxB=-91-3k2]
计算可得:
[3k2+73k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0]。
于是:
[13
例 如图中所示,点F(1,0),l∶x=-1,P为动点,P与l的垂线的垂足为Q,且[QP·QF=FP·FQ],求动点P的轨迹。
[l][y][F][x][O][1][-1]
本小题涉及直线、抛物线、向量等知识,考查学生的综合解题能力。
解:设P(x,y),Q(-1,y),由[QP·QF=FP·FQ]得:
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y)
化简得C∶y2=4x。
4結合题型之求曲线几何特性
例 已知一中心为原点的椭圆,焦点位于x轴,直线斜率为1,与椭圆右焦点F相交,并与椭圆有两个交点A、B,[OA+OB]与[a=(3,-1)]共线,求椭圆的离心率。
解:设方程[x2a2+y2b2=1a>b>0,F(c,0)]
则l为y=x-c,代入椭圆方程,得:
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0
假设A(x1,y1),B(x2,y2),
则[x1+x2=2a2ca2+b2,x1x2=a2c2-a2b2a2+b2],
进一步计算可知:
3(y1+y2)+(x1+x2)=0又y1=x1-c,y2=x2-c,
∴3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,
∴x1+x2=[32c]。
即[2a2ca2+b2=3c2],所以[a2=3b2]。
[∴c=a2-b2=6a3],
则[e=ca=63]。
5总结
在解题过程中,要灵活将向量和圆锥曲线的知识相结合。出题方向主要求动点轨迹、求相关量和几何特性的取值范围或者数值大小、证明点线存在与否和证明定值等三个方面。
面对这些结合类型题,要有清晰的解题策略,下面将解题策略分解为几个步骤,以供参考:①根据题中的题目背景,建立坐标系,以便进行平面向量的计算;②为了方便计算,要进行充分的消元;③利用圆锥曲线的几何特性,建立坐标与向量之间的桥梁;④对于取值范围的题型,要将等式不等式的关系用方程表达出来;⑤向量是解题过程的重要手段,要充分利用。很多同学在运算方面不过关,经常出现失分现象,所以要提高运算水平,以免出现无谓的失分。最后,题型的总结是方向,但是出题的方式千变万化,学习中要加强总结的能力,才能以不变应万变,将知识掌握在自己手中,不因出题题型变化而丢分,思考的基础上不断探索和总结研究,深入挖掘知识点的深度,这样才能提高分数,考取理想的大学。