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【摘 要】以课程改革为背景，以“鸡兔同笼”问题为主题，以习题研究为突破口，通过对国内几个版本教材习题的对比、剖析，总结出各自的特点，扬长避短、有机整合，从而更好地感知、理解、研究、深化“鸡兔同笼”问题的本质，推进该内容的教学。
【关键词】鸡兔同笼；习题研究；本质
一、在“测”题中感知“本质”
面对鸡兔同笼问题，教师常常有这样的忧虑：直接放手，大部分学生探究不出结果怎么办？让学生在教师的引导下通过列表举例的方法解决，显然探究力度不足……基于以上问题，笔者挑选了适量的“鸡兔同笼”习题进行前测，以此了解学生的认知起点，前测题如下：
1.观察下面的图形，图中一共有多少条线段，请先把图形中的每一条线段都写出来。
2.鸡和兔关在同一个笼子里，发现它们的头有8个，脚有22只，问鸡和兔各有多少只。
3.小荣有1元、5角的硬币共35枚，一共21元5角。那么，1元硬币有多少枚，5角硬币有多少枚？
本次前测以125名四年级学生为主体展开调查研究，3题都不会的占调查总人数的29.6%，3题全对的仅占10.6%，52.6%的同学只能答对其中的1～2题。从前测中，引发了笔者3个思考。
思考1：基础薄弱——学生能找到切入口吗？
从前测中可以看出，大约一半的学生都是零起点，我们发现这些学生大多数有着最朴素的方法——猜测。如果构建起鸡兔只数与总腿数之间的数量关系，是不是就能找到一把解决“鸡兔同笼”问题的钥匙呢？
思考2：方法单一——学生能多角度思考吗？
从第2、3题的前测结果可以看出，学生的方法比较单一，主要集中在列表法和假設法上。如果能增加选材的丰厚度，将过程多元地演绎出来，是不是可以碰撞出更多思维的火花呢？
思考3：价值缺失——学生能明白意义吗？
有的学生虽然用假设法解决了鸡兔同笼问题，却无法有理有据地说明思考方法。如果能综合多种学习资源的共同作用，是不是能更好、更透彻地迁移鸡兔同笼的模型思想呢？
基于以上思考，笔者以国内几个主要版本教材的“鸡兔同笼”习题为研究目标，试图从习题的数量、类型、选材、认知水平等维度出发进行具体比较，发现习题在各个维度上的差别，以此更好地促进本课的教学。
二、在数“题”中理解“本质”
（一）习题数量研究——知差异
从表1中可以发现，各个版本的教材在习题的数量上还是有比较大的差异：（1）人教版教材把“鸡兔同笼”问题单独放在了“数学广角”，习题总数量明显多于其他版本教材。（2）综合练习在安排的序列和次数上存在差异，如北师大版的题目主要出现在“整理和复习”及总复习中，而其他版本教材的题目则出现在例题后面的专题练习中。需要教师在备课的时候进行挖掘，投入更多的精力。针对思考1中基础薄弱这一问题，笔者认为人教版在“鸡兔同笼”问题习题的安排上相对有更完整的体系，值得一线教师借鉴。
（二）习题水平研究——求提升
笔者参照顾泠沅的数学认知水平层次表对每个版本教材的题目进行了划分，其中人教版和苏教版的习题水平情况如表2所示。
从表2中我们可以清楚地看到两点：（1）缺少高认知水平的习题。这是否因为“鸡兔同笼”这个知识点的内容本身已具有比较综合的策略运用，因而相对高认知水平的题目会少一些？（2）人教版教材的习题，数学认知水平层次主要集中在水平2至水平3，且同一水平题目有变化。苏教版则集中在水平1至水平2上，其中苏教版教材的习题水平1高达83%，没有较高认知水平的题目。在随堂练习和综合性练习中，多数练习都与例题形式完全相同，直接模仿例题解答的练习题比例较高。因此笔者认为，应该设置各种水平层次的习题，让起点低的学生循序渐进，从而更好地进行学习的迁移。
三、在观“题”中研究“本质”
（一）习题类型研究——促多元
“鸡兔同笼”问题和其他知识点有所不同，其侧重点是帮助学生形成解决问题的策略，所以在习题类型上，它通常以模块的形式呈现，类型比较单一，详见表3。
从表3中我们不难发现，各版本教材在习题类型上有着比较明显的差异：人教版、青岛版教材只有“解答题”一种习题类型，因为这两个版本教材侧重的是多种方法（列表、假设、方程法）。北师大版只有填空一种习题类型，主要关注学生如何用不同的列表法来解决问题，其各自的侧重点非常明显。苏教版教材有两种习题类型，填空题占了总题量的85.7%，作图题占了14.2%，这一习题类型的设计更追求用具体、形象的策略来帮助学生破解“鸡兔同笼”的知识难点。
（二）习题开放性研究——显个性
开放题是答案不固定或者条件不完备的习题，可以开拓学生的思维。笔者对几个版本教材的习题开放性进行了统计，详见表4。
从表4中，我们可以发现这五套教材中均有一定数量的开放题和封闭题。其中苏教版教材的开放题和封闭题的题量相当，其他版本教材的开放题和封闭题的题量基本呈一边倒。（1）人教版、青岛版渗透从简单问题入手的策略，呈现了三种方法，即“列表法”“假设法”和“方程法”。编者的意图是让学生感受“鸡兔同笼”问题的趣味性，基本体现出“精而深”的特点。（2）北师大版教材在五年级上册的“尝试与猜想”中安排了“鸡兔同笼”问题，强调通过列表解决问题。编者意图很明确，主要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表的过程，体会解决问题的一般策略，开放度相对较低，基本体现出“广而浅”的特点。针对思考2中方法单一这一问题，笔者认为应该增加开放题的比例，给学生的思考架起一个支点，有效地沟通各种方法之间的联系，促进学生的深层思考。
四、在辨“题”中深化“本质”
（一）习题选材研究——寻策略
本研究采用鲍建生教授对数学习题背景层次的划分和界定，对五个版本教科书中的“鸡兔同笼”习题选材进行分析，详见表5。
从表5可以看到，在习题选材上比较集中在“无背景”和“个人生活”两个层次。（1）人教版两个版本“无背景”层次中选择的素材是比较相似的，主要是鸡、兔、龟、鹤、蛐蛐、蜘蛛等动物，并且都配有相应的图，学生比较容易将例题的方法直接迁移到这一类题中。（2）在“个人生活”层次选择的素材上，善于选择学生熟知的、身边的物体引入来引导学生进行比较。试图通过“鸡兔同笼”问题的教学，让学生能够熟练地判断出与这一模型相似的习题，用不同的策略去解决。
（二）习题理念研究——明价值
如果把“鸡兔同笼”的多元价值看成是它的“原生价值”，编入不同的教材中，文本的价值就会发生变化。教师只有读懂教材，才能明确教学价值，进而做出合理的教学反应。
1.鼓励多种方法，侧重一种方法
新人教版教材把“鸡兔同笼”问题放在四年级，教师要有意识地引导学生从列表法联想到假设法。虽然教材里的这几种方法是并列的，但教师教学时应将重心放在假设法上，理由有三：其一，列表尝试法虽是最朴素的，但思维层次低；其二，假设法思维层次高，符合四年级学生的认知水平，对培养逻辑推理能力很有价值；其三，方程法是后续学习的基础，但容易形成思维定式，削弱学生沟通列表法及假设法之间的联系，所以新人教版教材把“鸡兔同笼”从六年级改到了四年级。北师大版教材着力在列表法上做足功夫，可谓“任凭弱水三千，我只取一瓢饮”，引导学生应用逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法等来解决“鸡兔同笼”问题。
2.渗透多种思想，变出一种思想
人教版教材虽呈现多种方法，但主要定位在假设法上，突出假设推理的思想；北师大版教材完全定位在列表法上，力挺逼近思想。而分类思想、代数思想、模型思想等则根据课堂生成情况加以渗透。只要教师有明确的定位，就不会受到“旁逸斜出”的困扰。针对思考3价值缺失这一问题，上面提到的两个“一”很好地进行了诠释。
总之，在“鸡兔同笼”的学习中，习题设计非常关键。应该做到习题维度更多元、习题类型更丰富、习题编写更有层次，这样才能真正地揭示问题的本质，有助于学生的观察、分析、综合、推理等核心数学能力的培养。
（浙江省宁波市镇安小学 315040）
【关键词】鸡兔同笼；习题研究；本质
一、在“测”题中感知“本质”
面对鸡兔同笼问题，教师常常有这样的忧虑：直接放手，大部分学生探究不出结果怎么办？让学生在教师的引导下通过列表举例的方法解决，显然探究力度不足……基于以上问题，笔者挑选了适量的“鸡兔同笼”习题进行前测，以此了解学生的认知起点，前测题如下：
1.观察下面的图形，图中一共有多少条线段，请先把图形中的每一条线段都写出来。
2.鸡和兔关在同一个笼子里，发现它们的头有8个，脚有22只，问鸡和兔各有多少只。
3.小荣有1元、5角的硬币共35枚，一共21元5角。那么，1元硬币有多少枚，5角硬币有多少枚？
本次前测以125名四年级学生为主体展开调查研究，3题都不会的占调查总人数的29.6%，3题全对的仅占10.6%，52.6%的同学只能答对其中的1～2题。从前测中，引发了笔者3个思考。
思考1：基础薄弱——学生能找到切入口吗？
从前测中可以看出，大约一半的学生都是零起点，我们发现这些学生大多数有着最朴素的方法——猜测。如果构建起鸡兔只数与总腿数之间的数量关系，是不是就能找到一把解决“鸡兔同笼”问题的钥匙呢？
思考2：方法单一——学生能多角度思考吗？
从第2、3题的前测结果可以看出，学生的方法比较单一，主要集中在列表法和假設法上。如果能增加选材的丰厚度，将过程多元地演绎出来，是不是可以碰撞出更多思维的火花呢？
思考3：价值缺失——学生能明白意义吗？
有的学生虽然用假设法解决了鸡兔同笼问题，却无法有理有据地说明思考方法。如果能综合多种学习资源的共同作用，是不是能更好、更透彻地迁移鸡兔同笼的模型思想呢？
基于以上思考，笔者以国内几个主要版本教材的“鸡兔同笼”习题为研究目标，试图从习题的数量、类型、选材、认知水平等维度出发进行具体比较，发现习题在各个维度上的差别，以此更好地促进本课的教学。
二、在数“题”中理解“本质”
（一）习题数量研究——知差异
从表1中可以发现，各个版本的教材在习题的数量上还是有比较大的差异：（1）人教版教材把“鸡兔同笼”问题单独放在了“数学广角”，习题总数量明显多于其他版本教材。（2）综合练习在安排的序列和次数上存在差异，如北师大版的题目主要出现在“整理和复习”及总复习中，而其他版本教材的题目则出现在例题后面的专题练习中。需要教师在备课的时候进行挖掘，投入更多的精力。针对思考1中基础薄弱这一问题，笔者认为人教版在“鸡兔同笼”问题习题的安排上相对有更完整的体系，值得一线教师借鉴。
（二）习题水平研究——求提升
笔者参照顾泠沅的数学认知水平层次表对每个版本教材的题目进行了划分，其中人教版和苏教版的习题水平情况如表2所示。
从表2中我们可以清楚地看到两点：（1）缺少高认知水平的习题。这是否因为“鸡兔同笼”这个知识点的内容本身已具有比较综合的策略运用，因而相对高认知水平的题目会少一些？（2）人教版教材的习题，数学认知水平层次主要集中在水平2至水平3，且同一水平题目有变化。苏教版则集中在水平1至水平2上，其中苏教版教材的习题水平1高达83%，没有较高认知水平的题目。在随堂练习和综合性练习中，多数练习都与例题形式完全相同，直接模仿例题解答的练习题比例较高。因此笔者认为，应该设置各种水平层次的习题，让起点低的学生循序渐进，从而更好地进行学习的迁移。
三、在观“题”中研究“本质”
（一）习题类型研究——促多元
“鸡兔同笼”问题和其他知识点有所不同，其侧重点是帮助学生形成解决问题的策略，所以在习题类型上，它通常以模块的形式呈现，类型比较单一，详见表3。
从表3中我们不难发现，各版本教材在习题类型上有着比较明显的差异：人教版、青岛版教材只有“解答题”一种习题类型，因为这两个版本教材侧重的是多种方法（列表、假设、方程法）。北师大版只有填空一种习题类型，主要关注学生如何用不同的列表法来解决问题，其各自的侧重点非常明显。苏教版教材有两种习题类型，填空题占了总题量的85.7%，作图题占了14.2%，这一习题类型的设计更追求用具体、形象的策略来帮助学生破解“鸡兔同笼”的知识难点。
（二）习题开放性研究——显个性
开放题是答案不固定或者条件不完备的习题，可以开拓学生的思维。笔者对几个版本教材的习题开放性进行了统计，详见表4。
从表4中，我们可以发现这五套教材中均有一定数量的开放题和封闭题。其中苏教版教材的开放题和封闭题的题量相当，其他版本教材的开放题和封闭题的题量基本呈一边倒。（1）人教版、青岛版渗透从简单问题入手的策略，呈现了三种方法，即“列表法”“假设法”和“方程法”。编者的意图是让学生感受“鸡兔同笼”问题的趣味性，基本体现出“精而深”的特点。（2）北师大版教材在五年级上册的“尝试与猜想”中安排了“鸡兔同笼”问题，强调通过列表解决问题。编者意图很明确，主要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表的过程，体会解决问题的一般策略，开放度相对较低，基本体现出“广而浅”的特点。针对思考2中方法单一这一问题，笔者认为应该增加开放题的比例，给学生的思考架起一个支点，有效地沟通各种方法之间的联系，促进学生的深层思考。
四、在辨“题”中深化“本质”
（一）习题选材研究——寻策略
本研究采用鲍建生教授对数学习题背景层次的划分和界定，对五个版本教科书中的“鸡兔同笼”习题选材进行分析，详见表5。
从表5可以看到，在习题选材上比较集中在“无背景”和“个人生活”两个层次。（1）人教版两个版本“无背景”层次中选择的素材是比较相似的，主要是鸡、兔、龟、鹤、蛐蛐、蜘蛛等动物，并且都配有相应的图，学生比较容易将例题的方法直接迁移到这一类题中。（2）在“个人生活”层次选择的素材上，善于选择学生熟知的、身边的物体引入来引导学生进行比较。试图通过“鸡兔同笼”问题的教学，让学生能够熟练地判断出与这一模型相似的习题，用不同的策略去解决。
（二）习题理念研究——明价值
如果把“鸡兔同笼”的多元价值看成是它的“原生价值”，编入不同的教材中，文本的价值就会发生变化。教师只有读懂教材，才能明确教学价值，进而做出合理的教学反应。
1.鼓励多种方法，侧重一种方法
新人教版教材把“鸡兔同笼”问题放在四年级，教师要有意识地引导学生从列表法联想到假设法。虽然教材里的这几种方法是并列的，但教师教学时应将重心放在假设法上，理由有三：其一，列表尝试法虽是最朴素的，但思维层次低；其二，假设法思维层次高，符合四年级学生的认知水平，对培养逻辑推理能力很有价值；其三，方程法是后续学习的基础，但容易形成思维定式，削弱学生沟通列表法及假设法之间的联系，所以新人教版教材把“鸡兔同笼”从六年级改到了四年级。北师大版教材着力在列表法上做足功夫，可谓“任凭弱水三千，我只取一瓢饮”，引导学生应用逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法等来解决“鸡兔同笼”问题。
2.渗透多种思想，变出一种思想
人教版教材虽呈现多种方法，但主要定位在假设法上，突出假设推理的思想；北师大版教材完全定位在列表法上，力挺逼近思想。而分类思想、代数思想、模型思想等则根据课堂生成情况加以渗透。只要教师有明确的定位，就不会受到“旁逸斜出”的困扰。针对思考3价值缺失这一问题，上面提到的两个“一”很好地进行了诠释。
总之，在“鸡兔同笼”的学习中，习题设计非常关键。应该做到习题维度更多元、习题类型更丰富、习题编写更有层次，这样才能真正地揭示问题的本质，有助于学生的观察、分析、综合、推理等核心数学能力的培养。
（浙江省宁波市镇安小学 315040）