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函数是用来描述现实生活中某种变化规律，是变化规律的一种定性或定量的描述。函数的知识在中学阶段是一个重点，也是一个难点，特别是二次函数，学生学习起来比较吃力，是学习过程中的一个瓶颈。而探索图形变化规律，要求学生具有一定的空间想象能力和归纳能力，是从复杂现象中揭示本质的一个认知过程，也是学习中的一个重难点。对于这些知识教师在教学过程中如何弱化难点，揭示规律，整合材料，提高学生学习数学的兴趣呢，笔者结合多年的教学实践初探如下。
一、函数y=ax2+bx+c模型的讨论
函数y=ax2+bx+c模型既可以表示二次函数，也可以表示一次函数，还可以表示常数函数。当a不等0时，该函数模型表示二次函数，当a=0，b不等于0时表示一次函数，当a、b同时为0时表示常数函数。要求函数y=ax2+bx+c的表达式，利用待定系数法，这里有3个字母a、b、c待定，需要过三个点，代入函数表达式，从而转化为一个关于a、b、c的三元一次方程组即可求解。
二、探索图形规律
探索图形规律是一种要求寻找图形变化与对应序数（自然数）的一种规律关系，或者是说揭示图形变化与自然数的某种对应关系。
三、两者间的内在关系
不管是求函数的表达式还是寻找图形的变化规律，都是揭示两个变量之间的内在关系，都是揭示现实生活中某种规律性的东西。所以，这两者之间，表面看起来不一样，本质却是一样的，都是揭示两个变量之间的关系。
那么如何将图形变化规律转化为求函数的表达式呢？
例如，北师大九年级（下）第二章《二次函数》复习题P84-85
下图中每一个图形中各有多少个小圆圈？第6个图形有多少个？第100个图形有多少个？第n图形又有多少个？
通过观察，我们发现，第一个图形只有1个小圆圈，第二个图形有3个小圆圈，第三个图形有6个小圆圈。当然我们不可能一直这样数下去，那怎么办呢？第一个图形对应1，第二个图形对应3，第三个图形对应6，要求第n个图形对应多少个小圆圈。而这种对应关系跟我们的点坐标具有共性，所以，我们不妨把这种对应关系转化坐标，即（1，1）、（2，3）、（3、6），就是要求坐标（n，m），从而转化为求函数m=an2+bn+c的表达式，（注意，这里不能对a进行限制），把这三个点代入得：
解得
所以，m=0.5n2+0.5n 这时m、n关系是一个二次函数关系，只不过自变量的取值范围是自然数而已。
1.函数关系式中m=an2+bn+c，a不等0
例1、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆。（用含 n 的式子表示）
把
自 自然数与图形的对应数量关系转化函数坐标的关系即（1，6）、（2，10）、（3，16），代入函数表达式an2+bn+c，即可求出n2+n+4
例2、（2014·武汉，第9题）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
分析：通过观察，第一个图形有4个点，即（1，4），第二个图形有10个点，即（2，10），第三个图形有19个点，即（3，19），代入函数关系m=an2+bn+c，容易求出a=1.5，b=1.5，c=1，即m=1.5n2+1.5n+1，当n=5时，m=46。
2.函数关系式中m=an2+bn+c，a等于0
例3、如图用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
分析：第一个图形有棋子数5枚，即（1，5），第二个图形有棋子数11枚，即（2，11），第三个图形有棋子数17枚，即（3，17），把这三个点代入m=an2+bn+c，即可求出：a=0，b=6，c=-1，即m=6n-1，因为规律是未知，故不能对a的取值进行限制。
当然对一些比较简单、可直接看出的图形规律，就没必要利用该函数模型来探索。
例4、如图，第n个图形中有 个小正方形？
分析：第一个图形有1个小正方形，即（1，1），第二个图形有4个小正方形，即（2，4），第三个图形有9个小正方形，即（3，9）。这个规律比较容易发现，即纵坐标等于横坐标的平方，所以第n个图形有n2个图形。
四、利用y=ax2+bx+c模型探索规律要注意哪些问题
1.自变量必须是序数，即自然数
2.三个点的确定必须是准确的
3.结果必须是要检验的
4.该模型不是万能的，对于指数类型的函数就不能使用
五、结束语
利用函数y=an2+bn+c模型只是探索规律的一个工具（模型），不可能也不会解决所有的问题。例如细胞分裂、核弹爆炸等就不满足这种规律。如细胞一分种分裂成两个，两分钟分裂成四个，3分钟分裂成8个，那n分钟分裂成 2n 个。
一、函数y=ax2+bx+c模型的讨论
函数y=ax2+bx+c模型既可以表示二次函数，也可以表示一次函数，还可以表示常数函数。当a不等0时，该函数模型表示二次函数，当a=0，b不等于0时表示一次函数，当a、b同时为0时表示常数函数。要求函数y=ax2+bx+c的表达式，利用待定系数法，这里有3个字母a、b、c待定，需要过三个点，代入函数表达式，从而转化为一个关于a、b、c的三元一次方程组即可求解。
二、探索图形规律
探索图形规律是一种要求寻找图形变化与对应序数（自然数）的一种规律关系，或者是说揭示图形变化与自然数的某种对应关系。
三、两者间的内在关系
不管是求函数的表达式还是寻找图形的变化规律，都是揭示两个变量之间的内在关系，都是揭示现实生活中某种规律性的东西。所以，这两者之间，表面看起来不一样，本质却是一样的，都是揭示两个变量之间的关系。
那么如何将图形变化规律转化为求函数的表达式呢？
例如，北师大九年级（下）第二章《二次函数》复习题P84-85
下图中每一个图形中各有多少个小圆圈？第6个图形有多少个？第100个图形有多少个？第n图形又有多少个？
通过观察，我们发现，第一个图形只有1个小圆圈，第二个图形有3个小圆圈，第三个图形有6个小圆圈。当然我们不可能一直这样数下去，那怎么办呢？第一个图形对应1，第二个图形对应3，第三个图形对应6，要求第n个图形对应多少个小圆圈。而这种对应关系跟我们的点坐标具有共性，所以，我们不妨把这种对应关系转化坐标，即（1，1）、（2，3）、（3、6），就是要求坐标（n，m），从而转化为求函数m=an2+bn+c的表达式，（注意，这里不能对a进行限制），把这三个点代入得：
解得
所以，m=0.5n2+0.5n 这时m、n关系是一个二次函数关系，只不过自变量的取值范围是自然数而已。
1.函数关系式中m=an2+bn+c，a不等0
例1、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆。（用含 n 的式子表示）
把
自 自然数与图形的对应数量关系转化函数坐标的关系即（1，6）、（2，10）、（3，16），代入函数表达式an2+bn+c，即可求出n2+n+4
例2、（2014·武汉，第9题）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
分析：通过观察，第一个图形有4个点，即（1，4），第二个图形有10个点，即（2，10），第三个图形有19个点，即（3，19），代入函数关系m=an2+bn+c，容易求出a=1.5，b=1.5，c=1，即m=1.5n2+1.5n+1，当n=5时，m=46。
2.函数关系式中m=an2+bn+c，a等于0
例3、如图用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
分析：第一个图形有棋子数5枚，即（1，5），第二个图形有棋子数11枚，即（2，11），第三个图形有棋子数17枚，即（3，17），把这三个点代入m=an2+bn+c，即可求出：a=0，b=6，c=-1，即m=6n-1，因为规律是未知，故不能对a的取值进行限制。
当然对一些比较简单、可直接看出的图形规律，就没必要利用该函数模型来探索。
例4、如图，第n个图形中有 个小正方形？
分析：第一个图形有1个小正方形，即（1，1），第二个图形有4个小正方形，即（2，4），第三个图形有9个小正方形，即（3，9）。这个规律比较容易发现，即纵坐标等于横坐标的平方，所以第n个图形有n2个图形。
四、利用y=ax2+bx+c模型探索规律要注意哪些问题
1.自变量必须是序数，即自然数
2.三个点的确定必须是准确的
3.结果必须是要检验的
4.该模型不是万能的，对于指数类型的函数就不能使用
五、结束语
利用函数y=an2+bn+c模型只是探索规律的一个工具（模型），不可能也不会解决所有的问题。例如细胞分裂、核弹爆炸等就不满足这种规律。如细胞一分种分裂成两个，两分钟分裂成四个，3分钟分裂成8个，那n分钟分裂成 2n 个。