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一、试题呈现
例已知椭圆（a>b>0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），0（0，0），△AOB的面积为1。
（1）求椭圆C的方程。
（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：|AN|·|BM|為定值。
二、初识庐山
本题第一问的门槛低，能够较轻松地解决，问题是要注意椭圆的几何意义中的：a2=b2+c2，再结合已知条件中的和面积等于1就可以了。第二问倒是让人觉得有些难做，P为椭圆C上任意一点该怎么处理？如何求出|AN|·|BM|的值，本文尝试对这些问题进行回答。第一问易得a=2，b=1，c=、3。第二问要证明|AN|·IBM|为定值，只需设出P点的坐标（x0，y0），把P（x0，y0）当作已知点，结合A（2，0），就可以求出直线PA的方程，再令x=0，就可以求出点M的坐标，点B和点M都在y轴上，两点的纵坐标相减就得到|BM|的值。同理，可以求出|AN|的值，然后计算乘积即可。
另一种解法是：点P的坐标设为参数形式，其他的不变，也可以算出|AN|·|BM|的值。
三、拾级而上
首先我们要把第一问解决好，因为这样就更有信心去做第二问。我们一看就知道椭圆的方程是标准形式，那么椭圆的长轴在哪个坐标轴上呢？教科书上讲了“分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上”观察发现焦点在x轴上，椭圆是横着放的，离心率是，所以列出第一个等式：;再由△AOB的面积为1，列出第二个等式：;最后由椭圆的几何性质得出第三个等式：a2=b2+c2。
综合这三个等式得出：a=2，b=1，c=。
故椭圆的方程为：
接下来如何解决定值问题呢？
（一）对点P的坐标“设而不求”
这里的定值之所以难处理，关键就是点P的不确定性，怎么办呢？没关系！设P（x0，y0），把x0，y0当作已知数处理。又因为A（2，0），所以，由直线方程的点斜式得直线PA的方程：，再令x=0，就可以求出点M的坐标（，）。因为B（0，1），所以|BM|=，同理可求出|AN|的值。
（二）发现x0，y0的关系
因为P（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入|AN|·|BM|中，能算出结果吗？不要担心，一切都在意料之中！鼓足勇气去证明试试。
（三）尝试证明，收获成功的惊喜
|BM|=，同理可求出|AN|的值，具体过程如下：直线PB的方程为
因此将|BM|、|AN|放在一起相乘的结果是：
太棒啦！这个证明成功了！
四、另辟蹊径
在本题第二问的证明中，若P点的坐标不设为（x0，y0），而改设为参数形式，会不会
五、名师指点
1.有关定点、定值、轨迹的数学问题，可以根据需要设定一些未知数，不必求出未知数，在计算中可以巧妙地将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷明快，在这里不妨称为“设而不求”法。初次接触这一方法的人，无不惊叹它的微妙。
2.对程度较好的同学，还是应进行适当的训练，通过做典型的习题使自己熟悉各类试题中的变化，提高自己的解题能力。
3.在解题过程中既要大胆，又要细心。任意点的坐标先设出来不要紧，在随后的计算中会被约分，变成常数。
六、巩固练习
1.已知椭圆分别为椭圆的左右定点，P为椭圆上任意异于A，B的点，求证。
2.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点0且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。
答案及解析：
例已知椭圆（a>b>0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），0（0，0），△AOB的面积为1。
（1）求椭圆C的方程。
（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：|AN|·|BM|為定值。
二、初识庐山
本题第一问的门槛低，能够较轻松地解决，问题是要注意椭圆的几何意义中的：a2=b2+c2，再结合已知条件中的和面积等于1就可以了。第二问倒是让人觉得有些难做，P为椭圆C上任意一点该怎么处理？如何求出|AN|·|BM|的值，本文尝试对这些问题进行回答。第一问易得a=2，b=1，c=、3。第二问要证明|AN|·IBM|为定值，只需设出P点的坐标（x0，y0），把P（x0，y0）当作已知点，结合A（2，0），就可以求出直线PA的方程，再令x=0，就可以求出点M的坐标，点B和点M都在y轴上，两点的纵坐标相减就得到|BM|的值。同理，可以求出|AN|的值，然后计算乘积即可。
另一种解法是：点P的坐标设为参数形式，其他的不变，也可以算出|AN|·|BM|的值。
三、拾级而上
首先我们要把第一问解决好，因为这样就更有信心去做第二问。我们一看就知道椭圆的方程是标准形式，那么椭圆的长轴在哪个坐标轴上呢？教科书上讲了“分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上”观察发现焦点在x轴上，椭圆是横着放的，离心率是，所以列出第一个等式：;再由△AOB的面积为1，列出第二个等式：;最后由椭圆的几何性质得出第三个等式：a2=b2+c2。
综合这三个等式得出：a=2，b=1，c=。
故椭圆的方程为：
接下来如何解决定值问题呢？
（一）对点P的坐标“设而不求”
这里的定值之所以难处理，关键就是点P的不确定性，怎么办呢？没关系！设P（x0，y0），把x0，y0当作已知数处理。又因为A（2，0），所以，由直线方程的点斜式得直线PA的方程：，再令x=0，就可以求出点M的坐标（，）。因为B（0，1），所以|BM|=，同理可求出|AN|的值。
（二）发现x0，y0的关系
因为P（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入|AN|·|BM|中，能算出结果吗？不要担心，一切都在意料之中！鼓足勇气去证明试试。
（三）尝试证明，收获成功的惊喜
|BM|=，同理可求出|AN|的值，具体过程如下：直线PB的方程为
因此将|BM|、|AN|放在一起相乘的结果是：
太棒啦！这个证明成功了！
四、另辟蹊径
在本题第二问的证明中，若P点的坐标不设为（x0，y0），而改设为参数形式，会不会
五、名师指点
1.有关定点、定值、轨迹的数学问题，可以根据需要设定一些未知数，不必求出未知数，在计算中可以巧妙地将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷明快，在这里不妨称为“设而不求”法。初次接触这一方法的人，无不惊叹它的微妙。
2.对程度较好的同学，还是应进行适当的训练，通过做典型的习题使自己熟悉各类试题中的变化，提高自己的解题能力。
3.在解题过程中既要大胆，又要细心。任意点的坐标先设出来不要紧，在随后的计算中会被约分，变成常数。
六、巩固练习
1.已知椭圆分别为椭圆的左右定点，P为椭圆上任意异于A，B的点，求证。
2.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点0且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。
答案及解析：