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[摘 要]大学生数学成绩具有动态变化的过程特点。实证研究表明，一门课程的成绩与前一先修课程的成绩相关性最强，成绩转移矩阵具有时齐性、普遍性和延续性.成绩转移矩阵对教务管理、学业预警和学习指导具有重要的意义.
[关键词]Markov链；转移矩阵；大学生；教学管理
[中图分类号] 633.6 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2012）12-0038-03
学业成绩是大学生教学管理的关键指标。数学学科是大多数专业的必修课，对学生个体的发展具有重要意义。由于受到多种因素的影响，学生的成绩往往变化起伏，呈现动态变化的过程特点。因此运用随机过程的方法，找出学生成绩的变化规律，对于预测学生的成绩分布、提前学业预警、提高管理效率都具有重要的意义。
一、研究对象与方法
（一）研究对象
选取某大学理科两个专业的2005级和2006级全体学生的数学成绩作为原始数据，删除留级、转学（专业）、休学等成绩不完整的记录，得到有效记录：P专业2005级259个，2006级259个；Q专业2005级79个，2006级74个.两个专业的数学课程设置如表1，为了专业间便于比较和分析，本文只对高等数学、线性代数、数理方程和概率统计进行分析。又P专业的教学大纲中，概率统计的先修课程是高等数学，而非数理方程，因此把高数3视为概率统计的前一课程。
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（二）研究方法
由于实行专业分类招生，专业内入学成绩相对集中，且有研究表明[1-6]入学成绩对大学成绩的影响微小，所以以第一学期的成绩为起点进行分析.起点成绩为高等数学1和线性代数的平均分，记为高数1+.
相关性分析：根据2005级原始成绩计算各课程间的相关系数和偏相关系数，考察先修课程对后继课程的影响.
成绩转移过程分析：分别将各专业年级的原始成绩分成五个等级（状态）：A（X≥90）；B（80≤X<90）；C（70≤X<80）；D（60≤X<70）；E（<60）.计算前一课程成绩状态向后继课程成绩状态的转移频率和转移频率矩阵.以转移频率矩阵估计转移概率矩阵.对各学期的转移概率进行非参数检验，以此判断同一专业不同学期的转移概率分布是否来自同一总体（时齐性），不同专业的转移概率分布是否来自同一总体（普遍性），同一专业不同年级的转移概率分布是否来自同一总体（延续性）。
所有数据采用Excel2003和SPSS11.5分析处理。
二、实证分析
（一）相关性
由表2可知，先修课程与后继课程存在较强的相关关系，先修课程学习质量对后继课程的学习有显著的影响.从具体数字来看，高数2与高数1+的相关性最强，高数3与高数2的相关性最强，数理方程、概率统计与高数3的相关性最强，即前一课程成绩对后继课程成绩的影响最大。
为了克服多个先修课程的影响，专门考查两门课程的相关关系，表3给出了偏相关系数.可以看出前一课程成绩对后继课程成绩的影响最大，并且总体上比其他先修课程的影响明显强得多。
■
由此可知，所有的先修课程与后继课程都有显著的相关性，大学生成绩过程不具有严格的Markov性，这是符合人们的基本认识的。但是表3显示了一个强烈的信息，即前一课程成绩与后继课程成绩的相关性最大，且其余先修成绩的相关性明显较弱，因此从教育过程的复杂性和教学管理的现实性考虑，前一课程成绩应是学习指导和成绩预测的最重要的因素，也就是说从成绩管理上讲，可以借用Markov链来描述大学生的数学成绩过程。
（二）时齐性
根据2005级两专业的成绩等级，求得各学期（课程）的成绩转移矩阵如下：
P专业：Pi Q专业：Qi
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将Pi、Qi按行展开，分别对Pi、Qi的各单元数字做非参数检验，由表5可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为各Pi来自同一个总体，具有相同的分布，各Qi来自同一个总体，具有相同的分布.因此，同一专业不同学期的成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移过程具有时齐性，成绩转移矩阵不因学期而变化，具有很强的稳定性。
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（三）普遍性
由于成绩转移过程具有时齐性，因此分别取Pi、Qi的各单元的算术平均值作为P专业和Q专业的成绩转移矩阵的估计，即得
P’=.621 .273 .091 .012 .003.282 .401 .193 .102 .021.135 .373 .213 .223 .056.108 .248 .232 .257 .155.014 .157 .126 .357 .346；Q’=.720 .188 .079 .012 .000.262 .353 .205 .150 .030.172 .292 .300 .167 .069.036 .150 .205 .295 .315.000 .036 .144 .262 .559
对P 、Q的各单元数字做非参数检验，由表6可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为P 、Q来自同一个总体，具有相同的分布.因此，不同专业的数学成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移矩阵不因专业而变化，具有很强的普遍性。
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（四）延续性
运用同样的方法，分别计算出2006级P专业和Q专业的成绩转移矩阵，得到
P’=.723 .179 .062 .010 .015.370 .381 .132 .098 .018.185 .302 .198 .204 .110.108 .193 .260 .267 .172.045 .102 .104 .260 .488；Q’=.156 .472 .264 .108 .000.084 .358 .345 .174 .038.108 .289 .362 .197 .043.017 .313 .328 .240 .102.042 .000 .375 .417 .167 分别对P与P’、Q与Q’的各单元数字作独立样本非参数检验，由表7可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为P与P ’、Q与Q’分别来自同一个总体，具有相同的分布.因此，同一专业不同年级的数学成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移矩阵不因年级而变化，具有很强的延续性。
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三、研究结论
大学生成绩具有很强的规律性和稳定性，前一课程成绩对后继课程成绩具有最重要的、最强烈的影响。虽然大学生成绩转移不具有严格的Markov性，但考虑到教育过程的复杂性和教学管理的现实性，可以借用Markov链来近似描述大学生的成绩过程，且成绩变化过程具有时齐性、普遍性和延续性。在不失教育性的基础上，可以运用随机过程的方法和一般结论对大学生成绩过程做进一步的研究。
四、大学生成绩转移的规律与启示
由于大学生成绩过程具有时齐性、普遍性和延续性，因此可以用P、P’ 和Q、Q’的各元素平均值作为大学生总体的成绩转移矩阵估计，于是得到
A=.555 .271 .124 .036 .003.258 .366 .220 .130 .026.151 .326 .267 .188 .067.072 .222 .266 .266 .174.026 .072 .209 .319 .374
由A的各元素特征，可以发现大学生成绩转移的一般规律：
1.A的各元素均非0，说明大学成绩具有绝对的变异性，成绩好的可能会变差，成绩差的也可能会变好，学习过程中没有一成不变的成绩.保持良好的学习自觉性和积极性是提高学习质量的重要保证.
2.A中主对角线附近的元素的值都很大，说明大学生成绩具有相对的稳定性，各等级的成绩转移主要在原等级附近，跨越式的转移很少。
3.各等级的成绩转移具有较大的差异性。A等级中约85%的学生保持较好的成绩发展（A、B等级），说明A等级成绩稳定性较好；B等级中约25%成绩提高，38%成绩下滑，其中15%下滑至较差（C、D等级），说明B等级的成绩不稳定，分化明显；C、D等级的成绩转移近似正态分布，说明该等级的成绩有较强的随机性，学生学习呈现自发性的特点；而E等级中约70%保持较差的成绩发展（D、E等级），10%能够提高到较好的成绩，说明这一等级中大部分学生存在学习困难，但成绩提高也是有可能性的。
大学生成绩转移给教学管理带来以下启示：
1.对教务管理的启示：教务管理人员可以运用成绩转移矩阵对大学生的成绩发展做出预测，根据预测结果采取必要的管理措施，提高教学管理的前瞻性和针对性。
2.对学业预警的启示：目前的学业预警大都依据期末考试成绩，有明显的滞后性.如果采用成绩转移矩阵预测可能的变化，则可以提前发出预警，使部分学生尽早提高学习的自觉性和积极性，有更多的时间补救学业.
3.对学习指导的意义：不同等级的成绩转移具有较大的差异性，教师和辅导员可以根据成绩转移的特点，对学生实行分类指导和重点管理。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 宁静等.高考成绩与大学成绩的相关性研究[J].高等理科教育，2001，（3）：46-50.
[2] 柴俊等.高考数学分数高，大学数学学习成绩一定好吗？ [J].数学教学，2003，（8）：81-89.
[3] 张文颖，于涛.大学生数学成绩影响因素的实证分析[J].统计与信息论坛，2007，22（4）：93-96.
[4] 丁澍，缪柏其，叶大鹏.高考成绩与大学成绩的相关性分析[J].中国大学教学，2008，（11）：29-31.
[5] 吴泽俊，杨铖.理工科大学生高考成绩与素质综合测评关联问题的实证研究[J].南昌工程学院学报，2009，28（2）：16-19.
[6] 谢中才，郑惠娟.大学生高考成绩与大学阶段学习成绩的相关分析[J].数学的实践与认识，2009，39（12）：1-6.
[7] 秦喜文，董小刚，李慧玲.线性代数与实验教学整合研究[J].大学教育，2012，（5）：76.
[责任编辑：王朝元]
[关键词]Markov链；转移矩阵；大学生；教学管理
[中图分类号] 633.6 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2012）12-0038-03
学业成绩是大学生教学管理的关键指标。数学学科是大多数专业的必修课，对学生个体的发展具有重要意义。由于受到多种因素的影响，学生的成绩往往变化起伏，呈现动态变化的过程特点。因此运用随机过程的方法，找出学生成绩的变化规律，对于预测学生的成绩分布、提前学业预警、提高管理效率都具有重要的意义。
一、研究对象与方法
（一）研究对象
选取某大学理科两个专业的2005级和2006级全体学生的数学成绩作为原始数据，删除留级、转学（专业）、休学等成绩不完整的记录，得到有效记录：P专业2005级259个，2006级259个；Q专业2005级79个，2006级74个.两个专业的数学课程设置如表1，为了专业间便于比较和分析，本文只对高等数学、线性代数、数理方程和概率统计进行分析。又P专业的教学大纲中，概率统计的先修课程是高等数学，而非数理方程，因此把高数3视为概率统计的前一课程。
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（二）研究方法
由于实行专业分类招生，专业内入学成绩相对集中，且有研究表明[1-6]入学成绩对大学成绩的影响微小，所以以第一学期的成绩为起点进行分析.起点成绩为高等数学1和线性代数的平均分，记为高数1+.
相关性分析：根据2005级原始成绩计算各课程间的相关系数和偏相关系数，考察先修课程对后继课程的影响.
成绩转移过程分析：分别将各专业年级的原始成绩分成五个等级（状态）：A（X≥90）；B（80≤X<90）；C（70≤X<80）；D（60≤X<70）；E（<60）.计算前一课程成绩状态向后继课程成绩状态的转移频率和转移频率矩阵.以转移频率矩阵估计转移概率矩阵.对各学期的转移概率进行非参数检验，以此判断同一专业不同学期的转移概率分布是否来自同一总体（时齐性），不同专业的转移概率分布是否来自同一总体（普遍性），同一专业不同年级的转移概率分布是否来自同一总体（延续性）。
所有数据采用Excel2003和SPSS11.5分析处理。
二、实证分析
（一）相关性
由表2可知，先修课程与后继课程存在较强的相关关系，先修课程学习质量对后继课程的学习有显著的影响.从具体数字来看，高数2与高数1+的相关性最强，高数3与高数2的相关性最强，数理方程、概率统计与高数3的相关性最强，即前一课程成绩对后继课程成绩的影响最大。
为了克服多个先修课程的影响，专门考查两门课程的相关关系，表3给出了偏相关系数.可以看出前一课程成绩对后继课程成绩的影响最大，并且总体上比其他先修课程的影响明显强得多。
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由此可知，所有的先修课程与后继课程都有显著的相关性，大学生成绩过程不具有严格的Markov性，这是符合人们的基本认识的。但是表3显示了一个强烈的信息，即前一课程成绩与后继课程成绩的相关性最大，且其余先修成绩的相关性明显较弱，因此从教育过程的复杂性和教学管理的现实性考虑，前一课程成绩应是学习指导和成绩预测的最重要的因素，也就是说从成绩管理上讲，可以借用Markov链来描述大学生的数学成绩过程。
（二）时齐性
根据2005级两专业的成绩等级，求得各学期（课程）的成绩转移矩阵如下：
P专业：Pi Q专业：Qi
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将Pi、Qi按行展开，分别对Pi、Qi的各单元数字做非参数检验，由表5可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为各Pi来自同一个总体，具有相同的分布，各Qi来自同一个总体，具有相同的分布.因此，同一专业不同学期的成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移过程具有时齐性，成绩转移矩阵不因学期而变化，具有很强的稳定性。
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（三）普遍性
由于成绩转移过程具有时齐性，因此分别取Pi、Qi的各单元的算术平均值作为P专业和Q专业的成绩转移矩阵的估计，即得
P’=.621 .273 .091 .012 .003.282 .401 .193 .102 .021.135 .373 .213 .223 .056.108 .248 .232 .257 .155.014 .157 .126 .357 .346；Q’=.720 .188 .079 .012 .000.262 .353 .205 .150 .030.172 .292 .300 .167 .069.036 .150 .205 .295 .315.000 .036 .144 .262 .559
对P 、Q的各单元数字做非参数检验，由表6可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为P 、Q来自同一个总体，具有相同的分布.因此，不同专业的数学成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移矩阵不因专业而变化，具有很强的普遍性。
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（四）延续性
运用同样的方法，分别计算出2006级P专业和Q专业的成绩转移矩阵，得到
P’=.723 .179 .062 .010 .015.370 .381 .132 .098 .018.185 .302 .198 .204 .110.108 .193 .260 .267 .172.045 .102 .104 .260 .488；Q’=.156 .472 .264 .108 .000.084 .358 .345 .174 .038.108 .289 .362 .197 .043.017 .313 .328 .240 .102.042 .000 .375 .417 .167 分别对P与P’、Q与Q’的各单元数字作独立样本非参数检验，由表7可知，各种检验的p均大于0.05，可以认为P与P ’、Q与Q’分别来自同一个总体，具有相同的分布.因此，同一专业不同年级的数学成绩转移具有相同的概率分布，成绩转移矩阵不因年级而变化，具有很强的延续性。
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三、研究结论
大学生成绩具有很强的规律性和稳定性，前一课程成绩对后继课程成绩具有最重要的、最强烈的影响。虽然大学生成绩转移不具有严格的Markov性，但考虑到教育过程的复杂性和教学管理的现实性，可以借用Markov链来近似描述大学生的成绩过程，且成绩变化过程具有时齐性、普遍性和延续性。在不失教育性的基础上，可以运用随机过程的方法和一般结论对大学生成绩过程做进一步的研究。
四、大学生成绩转移的规律与启示
由于大学生成绩过程具有时齐性、普遍性和延续性，因此可以用P、P’ 和Q、Q’的各元素平均值作为大学生总体的成绩转移矩阵估计，于是得到
A=.555 .271 .124 .036 .003.258 .366 .220 .130 .026.151 .326 .267 .188 .067.072 .222 .266 .266 .174.026 .072 .209 .319 .374
由A的各元素特征，可以发现大学生成绩转移的一般规律：
1.A的各元素均非0，说明大学成绩具有绝对的变异性，成绩好的可能会变差，成绩差的也可能会变好，学习过程中没有一成不变的成绩.保持良好的学习自觉性和积极性是提高学习质量的重要保证.
2.A中主对角线附近的元素的值都很大，说明大学生成绩具有相对的稳定性，各等级的成绩转移主要在原等级附近，跨越式的转移很少。
3.各等级的成绩转移具有较大的差异性。A等级中约85%的学生保持较好的成绩发展（A、B等级），说明A等级成绩稳定性较好；B等级中约25%成绩提高，38%成绩下滑，其中15%下滑至较差（C、D等级），说明B等级的成绩不稳定，分化明显；C、D等级的成绩转移近似正态分布，说明该等级的成绩有较强的随机性，学生学习呈现自发性的特点；而E等级中约70%保持较差的成绩发展（D、E等级），10%能够提高到较好的成绩，说明这一等级中大部分学生存在学习困难，但成绩提高也是有可能性的。
大学生成绩转移给教学管理带来以下启示：
1.对教务管理的启示：教务管理人员可以运用成绩转移矩阵对大学生的成绩发展做出预测，根据预测结果采取必要的管理措施，提高教学管理的前瞻性和针对性。
2.对学业预警的启示：目前的学业预警大都依据期末考试成绩，有明显的滞后性.如果采用成绩转移矩阵预测可能的变化，则可以提前发出预警，使部分学生尽早提高学习的自觉性和积极性，有更多的时间补救学业.
3.对学习指导的意义：不同等级的成绩转移具有较大的差异性，教师和辅导员可以根据成绩转移的特点，对学生实行分类指导和重点管理。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 宁静等.高考成绩与大学成绩的相关性研究[J].高等理科教育，2001，（3）：46-50.
[2] 柴俊等.高考数学分数高，大学数学学习成绩一定好吗？ [J].数学教学，2003，（8）：81-89.
[3] 张文颖，于涛.大学生数学成绩影响因素的实证分析[J].统计与信息论坛，2007，22（4）：93-96.
[4] 丁澍，缪柏其，叶大鹏.高考成绩与大学成绩的相关性分析[J].中国大学教学，2008，（11）：29-31.
[5] 吴泽俊，杨铖.理工科大学生高考成绩与素质综合测评关联问题的实证研究[J].南昌工程学院学报，2009，28（2）：16-19.
[6] 谢中才，郑惠娟.大学生高考成绩与大学阶段学习成绩的相关分析[J].数学的实践与认识，2009，39（12）：1-6.
[7] 秦喜文，董小刚，李慧玲.线性代数与实验教学整合研究[J].大学教育，2012，（5）：76.
[责任编辑：王朝元]