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摘 要：文章给出了n维超平形体体积比的计算公式，得出了它的渐进性质，并计算了部分超平形体的体积比。
关键词：n维超平形体；正方体；John椭球；体积比；渐进性质
中图分类号：O186.5 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）22-0253-02
Abstract： A formula was given to calculate the volume ratios of n-parallelotope， the asymptotic property of the volume ratios was observed， and some values of volume ratios of n-parallelotope were calculated.
Keywords： n-parallelotope； hypercube； John ellipsoid； volume ratio； asymptotic property
在Rn中，我们通常把含有非空内点的紧致凸集称为凸体，多胞形（polytope）是一类基本的凸体，它是由有限个超平面围成的凸体。而n-超平形体（n-dimensionalparallelotope）是一种特殊的多胞形，它是2维平行四边形、3维平行六面体到高维空间的推广，后者可以分别叫做2- parallelotope和3- parallelotope，超矩形（orthotope）和超正方体（hypercube）都是特殊的超平形体。
凸体的体积比是凸体的重要特征之一，Rn中凸体K的体积比vr（K）定义为：
其中？着是包含于K的椭球，vn（K）和vn（？着）分别表示K和？着的体积。1948年，Fritz John在著名的John椭球定理中证明了对于 Rn中的任意凸体都包含体积最大的椭球，被称为凸体的John椭球。R Howard在文献[1]中证明了凸体的John椭球是唯一的。如果一个凸体的John椭球是欧氏单位球，则称该凸体处于“John位置”，任何凸体都可以在仿射变换的作用下使之处于John位置。R Howard在文献[1]中还证明了对于中心对称的凸体Cn，存在椭球E（Cn的John椭球），使得
E？奂Cn？奂■E。
有了John椭球的概念，Rn中凸体K的体积比可以重新定义为
其中？着K为凸体K的John椭球。仿射不变性是凸体体积比的重要性质。
引理1 设Pn为n维超平形体，则其体积比
证明 不失一般性，设n维超正方体Qn=[-1，1]n，Qn是一个中心在原点，边长为2的n维超正方体，其体积vn（Qn）=2n。Qn的John椭球为Rn中的欧氏单位球，记为Bn2，vn（Bn2）=■。由体积比的仿射不变性，vr（Pn）=vr（Qn），又
所以 ，证毕。
Keith Ball在文献[2]中证
明了对于Rn中的所有中心对称凸体，n维超正方体的体积比最大。因此，对于Rn中的任意中心对称凸体cn，有。
由体积比的仿射不变性，利用引理1可以求出任意维超平形体（包括超矩形、超正方体）的体积比。此外，结合体积比的定义，在已知超平形体的体积的条件下，可以求出其John椭球的体积。
定理1设Pn为n维超平形体，则当n→+∞时，vr（Pn）→+∞，且随着n的增加，vr（Pn）是严格单调递增的。
证明由引理1和Stirling公式（当t→+∞时，？祝（1+t）～■（■）■，当n→+∞时，？祝（1+■）～■（■）■
所以
所以1997年，G.D.Anderson和S.-L.Qiu证明了函数f（x）=■在[1，+∞）上单调递增，2006年，张素玲等在文献[3]中将该函数的单调递增区间扩展到（0，+∞）。下面利用这一重要性质，证明当n增加时，vr（Tn）是严格递增的。
函数g（x）=lnx和f（x）=■在（2，+∞）上恒为正，又因为函数g（x）与f（x）在（2，+∞）上单调递增，所以函数在h（x）=f（x）g（x）=■在（2，+∞）上单调递增，从而函数在y=eh（x）=（eln？祝（1+x））■=（？祝（1+x））■在（2，+∞）上单调递增。而
vr（Pn）=■=■■
把vr（Pn）看作是关于n的函数，不难发现，当n>4时，它是单调递增的。又通过计算易知vr（P1）vr（Pn），证毕。
部分n维超平行体的体积比的值见表1。
参考文献
[1]R Howard. The John ellipsoid theorem[J].University of South Carolina， 1997.
[2]Keith Ball. Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality[J]. Journal of the London Mathematical Society， 1991，
44：351-359.
[3]张素玲，陈超平，等.关于伽玛函数的单调性质（英文）[J].大学数学，2006（04）：50-55.
[4]Keith Ball. Ellipsoids of maximal volume in convex bodies [J].Geometriae Dedicata，1992，41：241-250.
[5]Keith Ball. Volumes of sections of cubes and related problems[J].Geometric Aspects of Functional Analysis，1989，13
76：251-260.
[6]John F. Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions[M].Courant Anniversary Volume. New York：Interscie
nce，1948：187-204.
[7]英起志.凸體体积比的相关性质[J].上海大学学报自然科学版，2008，14（4）：373-376.
关键词：n维超平形体；正方体；John椭球；体积比；渐进性质
中图分类号：O186.5 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）22-0253-02
Abstract： A formula was given to calculate the volume ratios of n-parallelotope， the asymptotic property of the volume ratios was observed， and some values of volume ratios of n-parallelotope were calculated.
Keywords： n-parallelotope； hypercube； John ellipsoid； volume ratio； asymptotic property
在Rn中，我们通常把含有非空内点的紧致凸集称为凸体，多胞形（polytope）是一类基本的凸体，它是由有限个超平面围成的凸体。而n-超平形体（n-dimensionalparallelotope）是一种特殊的多胞形，它是2维平行四边形、3维平行六面体到高维空间的推广，后者可以分别叫做2- parallelotope和3- parallelotope，超矩形（orthotope）和超正方体（hypercube）都是特殊的超平形体。
凸体的体积比是凸体的重要特征之一，Rn中凸体K的体积比vr（K）定义为：
其中？着是包含于K的椭球，vn（K）和vn（？着）分别表示K和？着的体积。1948年，Fritz John在著名的John椭球定理中证明了对于 Rn中的任意凸体都包含体积最大的椭球，被称为凸体的John椭球。R Howard在文献[1]中证明了凸体的John椭球是唯一的。如果一个凸体的John椭球是欧氏单位球，则称该凸体处于“John位置”，任何凸体都可以在仿射变换的作用下使之处于John位置。R Howard在文献[1]中还证明了对于中心对称的凸体Cn，存在椭球E（Cn的John椭球），使得
E？奂Cn？奂■E。
有了John椭球的概念，Rn中凸体K的体积比可以重新定义为
其中？着K为凸体K的John椭球。仿射不变性是凸体体积比的重要性质。
引理1 设Pn为n维超平形体，则其体积比
证明 不失一般性，设n维超正方体Qn=[-1，1]n，Qn是一个中心在原点，边长为2的n维超正方体，其体积vn（Qn）=2n。Qn的John椭球为Rn中的欧氏单位球，记为Bn2，vn（Bn2）=■。由体积比的仿射不变性，vr（Pn）=vr（Qn），又
所以 ，证毕。
Keith Ball在文献[2]中证
明了对于Rn中的所有中心对称凸体，n维超正方体的体积比最大。因此，对于Rn中的任意中心对称凸体cn，有。
由体积比的仿射不变性，利用引理1可以求出任意维超平形体（包括超矩形、超正方体）的体积比。此外，结合体积比的定义，在已知超平形体的体积的条件下，可以求出其John椭球的体积。
定理1设Pn为n维超平形体，则当n→+∞时，vr（Pn）→+∞，且随着n的增加，vr（Pn）是严格单调递增的。
证明由引理1和Stirling公式（当t→+∞时，？祝（1+t）～■（■）■，当n→+∞时，？祝（1+■）～■（■）■
所以
所以1997年，G.D.Anderson和S.-L.Qiu证明了函数f（x）=■在[1，+∞）上单调递增，2006年，张素玲等在文献[3]中将该函数的单调递增区间扩展到（0，+∞）。下面利用这一重要性质，证明当n增加时，vr（Tn）是严格递增的。
函数g（x）=lnx和f（x）=■在（2，+∞）上恒为正，又因为函数g（x）与f（x）在（2，+∞）上单调递增，所以函数在h（x）=f（x）g（x）=■在（2，+∞）上单调递增，从而函数在y=eh（x）=（eln？祝（1+x））■=（？祝（1+x））■在（2，+∞）上单调递增。而
vr（Pn）=■=■■
把vr（Pn）看作是关于n的函数，不难发现，当n>4时，它是单调递增的。又通过计算易知vr（P1）
部分n维超平行体的体积比的值见表1。
参考文献
[1]R Howard. The John ellipsoid theorem[J].University of South Carolina， 1997.
[2]Keith Ball. Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality[J]. Journal of the London Mathematical Society， 1991，
44：351-359.
[3]张素玲，陈超平，等.关于伽玛函数的单调性质（英文）[J].大学数学，2006（04）：50-55.
[4]Keith Ball. Ellipsoids of maximal volume in convex bodies [J].Geometriae Dedicata，1992，41：241-250.
[5]Keith Ball. Volumes of sections of cubes and related problems[J].Geometric Aspects of Functional Analysis，1989，13
76：251-260.
[6]John F. Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions[M].Courant Anniversary Volume. New York：Interscie
nce，1948：187-204.
[7]英起志.凸體体积比的相关性质[J].上海大学学报自然科学版，2008，14（4）：373-376.