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【摘 要】方程思想与函数思想是高中数学中的关键思想方法，综合知识面广、出题类型繁多、解题时需要应用的技巧多，因此也成为了历年高考的重点。本文首先介绍了函数与方程思想在高中数学中的背景，然后以例题的形式，结合具体的例子讲述了函数思想与方程思想在解题中的应用。在本文的最后，就函数与方程思想在解题中应该注意的一些问题和解题时的步骤做了总结。
【关键词】高中数学；方程思想；高考；函数思想
函数思想和方程思想是中学数学中重要的思想方法，然而数学的方法和思想是数学学科的精髓，它是数学能力、数学知识、数学素质和数学最本质的高层次体现。数学学科的本质特点也就在数学思想上得到了最好的体现。对方程思想与函数思想的以及二者的渗透结合考察也在近几年的高考中都得到了很好的体现。
一、方程思想与函数思想概述
方程与函数思想就是用方程、函数的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种数学思维方式，是很重要的数学思想。方程与函数关系密切，方程问题也可以转换为函数问题来求解，反之亦然。
1.方程思想概念
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。在解决数学问题时，将未知转化为已知的手段就是通过设元，然后寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程，当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
利用方程思想解决问题，首先要具有正确列出方程的能力，有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。其次要具备用方程思想解题的意识，要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识。最后，要掌握运用方程思想解决问题的要点。除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
2.函数思想概念
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的一种思想方法。函数思想是解决数学题型问题中的一种常用的思维策略。
在平时解题的过程中，要善于去挖掘其中的隐含条件，根据隐含条件构造出函数解析式，利用函数的性质，是函数思想解题的关键应用。
观察问题、分析问题和判断问题，然后系统去追寻题目中的相互关联，构造函数的原型。另外，一些代数问题、不等式问题等也可以转化为函数的相关问题，因此可以借助于函数的思维解决一些非函数的难题。
方程思想和函数思想是两个相互联系、相互渗透的可又不同的数学概念。一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可以看成是一个方程。一个方程，它的两端可以分别看成函数。因此，许多有关函数的问题也可以用方程的思想来解决，相反，许多有关方程的问题也可以用函数的思想来解决。
二、函数思想和方程思想解题类型归纳
1.证明不等式的应用
在解决不等式的问题的时候，我们可以以函数为桥梁，将方程和不等式实现在函数之间的相互转化，方程与不等式同函数有着内在的联系。我们在研究函数性质的时候，用到了很多不等式及方程反面的知识，如求定义域实际上就是求解不等式，证明函数的单调性归根到底就是不等式的证明问题，等等；另一方面有关方程和不等式的问题，又可以统一到函数思想的研究，如解方程就是函数f（x）零点，解不等式f（x）<0就是求函数f（x）的正负区间。因此在实际解题过程中，我们应该善于利用函数思想，以其为桥梁，来解决的方程、不等式问题。
点评：对于同时包含有，的式子的问题，常常可将看作为某个一元二次方程的两个根，进而我们可以构造出一个一元二次方程，然后利用方程中的有关理论来求解。
2.数列问题的应用
方程思想和函数思想是数列的两大精髓。从基本量出发，知三求二，这是方程思想的体现；将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前项和公式都是关于的函数，则蕴含了函数的思想，借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
例3.已知数列bn是公差为1的等差数列，bn=。
点评：通过上本例题我们可以发现，在数列的教学中，应该重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图形、性质有机的融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得益不断优化与完善，同时也是学生的思维能力得以不断地发展提高。
3.求解综合题的应用
在一些大型的综合题当中，函数与方程思想的应用也相当广泛。
点评：通过本例题，我们可以看到，在求解这种综合提的时候，首先要明确题目要求解的问题，然后根据已知条件，结合方程和相关函数的性质，也可以利用属性结合的方法来进行求解。
三、方程思想和函数思想在解题中的总结
教会学生们一种严密的数学思维，培养和提高他们解决数学问题的能力，是我们数学学科教学中的重要任务。从以上的例子我们可以看出，方程思想和函数思想在高中数学解题中有着相当广泛的应用，如果学生能够掌握和利用函数与方程思想来解题，将会达到事半功倍的奇效。
在教学中，我们应该培养学生做到，当看到一个题目的时候，首先要想一想可否将题目中的代数式抽象成为一个函数，或者将方程化作函数，亦或者将字母看成变量；如果上步可行的话，接下来我们应该考虑，是否能够利用转化得到的函数的一些性质或者属性来解决问题；如果上步不可行的话，是否可以考虑构造辅助函数来转化问题。如果题目中包含有等式，我们可否将其转化为一个方程，然后利用方程的思想对其进行求解。总之，方程思想和函数思想是高中数学最常用也是最重要的思想方法，因此在高中的教学中，要加强学生对这种思想的应用，使他们熟练掌握这些思想方法，进而可以不断提高思维的灵活性。
【参考文献】
[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002
[2]成世泰.例谈含参不等式的解法[J].数学教学研究，2004.04
[3]丁赛军.数列中的数学思想.高中数学教与学，2003.11
[4]浅析函数与方程思想在高中数学课堂教学中的应用.韩若莹《新课程学习（中）》.2012.04.18
[5]严碧友.函数与方程思想应用面面观[J].中学生数理化（高中版），2004.03
[6]周万林.谈谈“构造方程”解题[J].河北理科教学研究，2003.02
（作者单位：浙江省丽水学院）
【关键词】高中数学；方程思想；高考；函数思想
函数思想和方程思想是中学数学中重要的思想方法，然而数学的方法和思想是数学学科的精髓，它是数学能力、数学知识、数学素质和数学最本质的高层次体现。数学学科的本质特点也就在数学思想上得到了最好的体现。对方程思想与函数思想的以及二者的渗透结合考察也在近几年的高考中都得到了很好的体现。
一、方程思想与函数思想概述
方程与函数思想就是用方程、函数的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种数学思维方式，是很重要的数学思想。方程与函数关系密切，方程问题也可以转换为函数问题来求解，反之亦然。
1.方程思想概念
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。在解决数学问题时，将未知转化为已知的手段就是通过设元，然后寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程，当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
利用方程思想解决问题，首先要具有正确列出方程的能力，有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。其次要具备用方程思想解题的意识，要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识。最后，要掌握运用方程思想解决问题的要点。除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
2.函数思想概念
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的一种思想方法。函数思想是解决数学题型问题中的一种常用的思维策略。
在平时解题的过程中，要善于去挖掘其中的隐含条件，根据隐含条件构造出函数解析式，利用函数的性质，是函数思想解题的关键应用。
观察问题、分析问题和判断问题，然后系统去追寻题目中的相互关联，构造函数的原型。另外，一些代数问题、不等式问题等也可以转化为函数的相关问题，因此可以借助于函数的思维解决一些非函数的难题。
方程思想和函数思想是两个相互联系、相互渗透的可又不同的数学概念。一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可以看成是一个方程。一个方程，它的两端可以分别看成函数。因此，许多有关函数的问题也可以用方程的思想来解决，相反，许多有关方程的问题也可以用函数的思想来解决。
二、函数思想和方程思想解题类型归纳
1.证明不等式的应用
在解决不等式的问题的时候，我们可以以函数为桥梁，将方程和不等式实现在函数之间的相互转化，方程与不等式同函数有着内在的联系。我们在研究函数性质的时候，用到了很多不等式及方程反面的知识，如求定义域实际上就是求解不等式，证明函数的单调性归根到底就是不等式的证明问题，等等；另一方面有关方程和不等式的问题，又可以统一到函数思想的研究，如解方程就是函数f（x）零点，解不等式f（x）<0就是求函数f（x）的正负区间。因此在实际解题过程中，我们应该善于利用函数思想，以其为桥梁，来解决的方程、不等式问题。
点评：对于同时包含有，的式子的问题，常常可将看作为某个一元二次方程的两个根，进而我们可以构造出一个一元二次方程，然后利用方程中的有关理论来求解。
2.数列问题的应用
方程思想和函数思想是数列的两大精髓。从基本量出发，知三求二，这是方程思想的体现；将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前项和公式都是关于的函数，则蕴含了函数的思想，借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
例3.已知数列bn是公差为1的等差数列，bn=。
点评：通过上本例题我们可以发现，在数列的教学中，应该重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图形、性质有机的融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得益不断优化与完善，同时也是学生的思维能力得以不断地发展提高。
3.求解综合题的应用
在一些大型的综合题当中，函数与方程思想的应用也相当广泛。
点评：通过本例题，我们可以看到，在求解这种综合提的时候，首先要明确题目要求解的问题，然后根据已知条件，结合方程和相关函数的性质，也可以利用属性结合的方法来进行求解。
三、方程思想和函数思想在解题中的总结
教会学生们一种严密的数学思维，培养和提高他们解决数学问题的能力，是我们数学学科教学中的重要任务。从以上的例子我们可以看出，方程思想和函数思想在高中数学解题中有着相当广泛的应用，如果学生能够掌握和利用函数与方程思想来解题，将会达到事半功倍的奇效。
在教学中，我们应该培养学生做到，当看到一个题目的时候，首先要想一想可否将题目中的代数式抽象成为一个函数，或者将方程化作函数，亦或者将字母看成变量；如果上步可行的话，接下来我们应该考虑，是否能够利用转化得到的函数的一些性质或者属性来解决问题；如果上步不可行的话，是否可以考虑构造辅助函数来转化问题。如果题目中包含有等式，我们可否将其转化为一个方程，然后利用方程的思想对其进行求解。总之，方程思想和函数思想是高中数学最常用也是最重要的思想方法，因此在高中的教学中，要加强学生对这种思想的应用，使他们熟练掌握这些思想方法，进而可以不断提高思维的灵活性。
【参考文献】
[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002
[2]成世泰.例谈含参不等式的解法[J].数学教学研究，2004.04
[3]丁赛军.数列中的数学思想.高中数学教与学，2003.11
[4]浅析函数与方程思想在高中数学课堂教学中的应用.韩若莹《新课程学习（中）》.2012.04.18
[5]严碧友.函数与方程思想应用面面观[J].中学生数理化（高中版），2004.03
[6]周万林.谈谈“构造方程”解题[J].河北理科教学研究，2003.02
（作者单位：浙江省丽水学院）