【摘 要】
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文[1]建立了如下一个几何不等式:rn 设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则rn ∑(a)/(ra)≥23.rn(1)rnrn 文[2]对不等式(1)加强为:rn ∑(a)/(ra)≥(2(
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文[1]建立了如下一个几何不等式:rn 设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则rn ∑(a)/(ra)≥23.rn(1)rnrn 文[2]对不等式(1)加强为:rn ∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2).rn(2)rn其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同.rn 本文将(2)加强为:rn ∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R).rn(3)rnrn 证明:设ABC的半周长为s,由rn ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c)rn和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知rn ∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)]rn=(2(4R+r))/(s).rn 由O.kooi不等式rn 2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.rn可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R).rnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrn 故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R)rn=24-(2r)/(R).rn 则不等式(3)成立.rn 下面证明(3)比(2)强.rn 显然,仅需证rn 4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2)rn成立.rn 将上式平方整理得R≥2r.rn 由Euler不等式可知,上式成立.rn 这说明(3)强于(2).
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