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案例描述
在“圆的周长”练习课上，当练习了一些常规的基础题后，我出示了这样一题：绕地球赤道一周架设若干个3米高的电线杆并架上电线，那么所用的电线比直接铺在地球表面一圈用的电线长多少米?(假设地球赤道是个完美的圆)顿时，教室“炸开了锅”，有的说至少也得几万米吧!有的说地球的半径又不知道，根本无法计算……同学们议论纷纷。“难道真的无法知道结果吗?”我故作疑惑地说：“请同学们冷静下来认真思考。”
“要是能知道地球半径就好了”，同学们嘀咕着。几分钟后，只见李键伟同学说：“我曾在一本书里看过地球赤道的半径好像是6300多千米”，我说那就假设是6300千米吧。同学们像是捞到了“救命的稻草”纷纷埋头算了起来。不一会儿又有同学议论开了，“不可能，不可能，怎么能只多18.84米呢?这与我们想象的结果相差也太大了。”“难道你们怀疑自己算的有问题?”我及时参与了进来。“计算绝对没有错，我们算的结果也是18.84米。”这时已有更多的同学算出了结果。
“老师，这是怎么回事?怎么与我们想象的数据相差这么大?”望着同学们迷惑的眼神。我说：“是呀，怎么回事呢?但我相信同学们经过认真思考后一定会明白其中的道理。”我鼓励同学们继续思考。
又是一阵沉默，突然梁锋同学兴奋地站起来说：“其实根本不需要知道地球半径的具体数据，也可以算出结果。我是这样想的，设地球赤道的半径为r米，那么外圈电线围成的那个圆的半径就是(r 3)米，因此，2π(r 3)-2πr=18.84米。”话音刚落，同学们就报以热烈的掌声。
“不知道地球半径是多少也能算出结果，真是太了不起了!我们就把这种方法叫做梁氏方法吧。”我及时表扬了这位同学。
“其实不必要这么麻烦，只要用2π乘3就可以了。”一向爱思考的郑静同学说。
大部分同学一脸茫然。而这正是我所预想的，也是我所期待的。我情不自禁地对大家说：“你们觉得有道理吗?”
这时有几个活跃分子茅塞顿开，心领神会地直点头。“谁能把理由说给大家听听?”我把球又踢给了全班同学。
“从刚才梁锋同学推算的过程中我们可以发现，大、小两圆周长的差其实与小圆的大小没有关系，只与半径的差有关。”爱想象的马迪同学站起来说，“这样我们就可以把地球缩小成一个点，那么，电线围成的圆就是一个半径为3米的圆，要求多的长度，实际上就是求半径为3米圆的周长。因此可直接列式为2π×3。”
“你的想象太妙了!”我情不自禁地和同学们一起鼓起了掌，这时同学们都露出了笑脸。至此我并没有罢休，而是进一步启发学生说：“通过这道题，你能发现什么规律吗?跟你的同桌交流一下。”
同学们经过讨论、交流后。有的说：“我发现，大圆周长比小圆周长多的部分可以用公式π(D-d)或2π(R-r)直接计算”；也有的同学说：“我发现要求大、小两圆周长的差实际就是大小两圆半径差的2π倍。”
案例反思
1 挑战性的问题是激发学生思维的源泉。
产生学习动因的根本原因是问题。如果问题不具备刺激性、挑战性，学生就不会产生内在的动力。就不会产生欲罢不能的探究欲望。在进行了一定量的常规练习后，学生对圆周长的计算方法已基本掌握并形成了一定的技能，如果再继续做一些常规性的练习，其作用也只能是机械重复，学生的思维只能停留在原有的认知层面上，甚至对练习失去兴趣。为了激发学生的兴趣，发展学生的思维，在学生练习感到疲倦时，我及时抛出这样一个富有挑战性的问题。当问题出现后，学生个个为之一振，因为题目没有告诉赤道的半径，再也无法直接套用公式了，这样原有的认知平衡就被打破了。怎么办呢?逼着学生想思路找办法、从而激活了学生的思维。
2 恰当的目标定位是学生思维发展的关键。
曾经有许多老师一直把“顺利解题”作为练习的终极目标，往往就题讲题，认为学生会做题，就完成了教学任务，而忽略了更深层元素，即学生到底有多大的收获，他们的思维是否得到了实质上的提升。在本节练习课上，我并没有把让学生掌握解题技巧作为练习的惟一目标、而是以此为平台，把提升学生的思维作为练习的发展性目标。正因为有了这样的目标定位，当学生终于用具体的数据算出结果时，我并没有就此罢休，而是巧借学生的疑惑引领学生继续思考：一是让学生自己想办法解释想象与实际之间的差距；二是引导学生透过现象寻找普遍规律。这样学生的目光就从关注个案提升到透过现象看本质，引导学生既见树木又见森林。在这一过程中学生的思维经历了以下几个层次：一是盲目猜测阶段，即跟着感觉走；二是具体计算阶段，由于思维的惯性，学生认为要解决问题必须知道具体的数据，即地球的半径。当有位学生说出地球的半径可能是6300多千米时，学生如获至宝，纷纷埋头苦算，可以说在这一阶段学生的思维还是低层次的。三是推理与想象阶段。在这一层次中学生的思维有了质的飞跃，他们摆脱了具体的、有形的实物和数据，进行了合情的推理和想象。在以上过程中学生不仅掌握了知识和技能，而且感悟了猜测、验证、假设、推理等数学思想方法，思维得到了有效的提升。
3 教师的引领是学生思维向纵深发展的保证。
事实上，由于学生正处于知识、情感、价值观的初步发展阶段，他们的知识水平和阅历都有限，在多数情况下学生的思维是不可能自发地得到提升和完善的，往往需要教师有价值的引领，这决定了教师是课堂的灵魂。作为教师，首先要预设在前做到心中有数，什么时候提出什么问题，学生可能会有怎样的反映，教师应有所预设。如本案例当问题出现后，有的学生盲目猜测，有的学生嚷嚷说没法做，以及后来郑静同学的想法……这些都在我课前预设之中，因此故作疑惑地说“真的没法知道结果吗?”引导学生冷静思考。其次，当学生出现满足感、思维产生懈怠时，教师应及时予以引燃、助推，以深化学生的思维。如在本案例中，当学生用具体数据解决问题后往往会产生满足感，这时如果没有教师有意识的引领，以后的推理与想象、概括与发现，学生是不可能自发地产生的，发展学生的思维也就成了一句空话。同时教师还要善于激发学生，让学生产生一种成就感，如当有的学生出现与众不同的想法时我真诚地为他鼓掌叫好。这样，在教师有目的的引导下，学生的思维才有可能一步步地走向深入。
(作者单位：邳州市明德实验学校)
在“圆的周长”练习课上，当练习了一些常规的基础题后，我出示了这样一题：绕地球赤道一周架设若干个3米高的电线杆并架上电线，那么所用的电线比直接铺在地球表面一圈用的电线长多少米?(假设地球赤道是个完美的圆)顿时，教室“炸开了锅”，有的说至少也得几万米吧!有的说地球的半径又不知道，根本无法计算……同学们议论纷纷。“难道真的无法知道结果吗?”我故作疑惑地说：“请同学们冷静下来认真思考。”
“要是能知道地球半径就好了”，同学们嘀咕着。几分钟后，只见李键伟同学说：“我曾在一本书里看过地球赤道的半径好像是6300多千米”，我说那就假设是6300千米吧。同学们像是捞到了“救命的稻草”纷纷埋头算了起来。不一会儿又有同学议论开了，“不可能，不可能，怎么能只多18.84米呢?这与我们想象的结果相差也太大了。”“难道你们怀疑自己算的有问题?”我及时参与了进来。“计算绝对没有错，我们算的结果也是18.84米。”这时已有更多的同学算出了结果。
“老师，这是怎么回事?怎么与我们想象的数据相差这么大?”望着同学们迷惑的眼神。我说：“是呀，怎么回事呢?但我相信同学们经过认真思考后一定会明白其中的道理。”我鼓励同学们继续思考。
又是一阵沉默，突然梁锋同学兴奋地站起来说：“其实根本不需要知道地球半径的具体数据，也可以算出结果。我是这样想的，设地球赤道的半径为r米，那么外圈电线围成的那个圆的半径就是(r 3)米，因此，2π(r 3)-2πr=18.84米。”话音刚落，同学们就报以热烈的掌声。
“不知道地球半径是多少也能算出结果，真是太了不起了!我们就把这种方法叫做梁氏方法吧。”我及时表扬了这位同学。
“其实不必要这么麻烦，只要用2π乘3就可以了。”一向爱思考的郑静同学说。
大部分同学一脸茫然。而这正是我所预想的，也是我所期待的。我情不自禁地对大家说：“你们觉得有道理吗?”
这时有几个活跃分子茅塞顿开，心领神会地直点头。“谁能把理由说给大家听听?”我把球又踢给了全班同学。
“从刚才梁锋同学推算的过程中我们可以发现，大、小两圆周长的差其实与小圆的大小没有关系，只与半径的差有关。”爱想象的马迪同学站起来说，“这样我们就可以把地球缩小成一个点，那么，电线围成的圆就是一个半径为3米的圆，要求多的长度，实际上就是求半径为3米圆的周长。因此可直接列式为2π×3。”
“你的想象太妙了!”我情不自禁地和同学们一起鼓起了掌，这时同学们都露出了笑脸。至此我并没有罢休，而是进一步启发学生说：“通过这道题，你能发现什么规律吗?跟你的同桌交流一下。”
同学们经过讨论、交流后。有的说：“我发现，大圆周长比小圆周长多的部分可以用公式π(D-d)或2π(R-r)直接计算”；也有的同学说：“我发现要求大、小两圆周长的差实际就是大小两圆半径差的2π倍。”
案例反思
1 挑战性的问题是激发学生思维的源泉。
产生学习动因的根本原因是问题。如果问题不具备刺激性、挑战性，学生就不会产生内在的动力。就不会产生欲罢不能的探究欲望。在进行了一定量的常规练习后，学生对圆周长的计算方法已基本掌握并形成了一定的技能，如果再继续做一些常规性的练习，其作用也只能是机械重复，学生的思维只能停留在原有的认知层面上，甚至对练习失去兴趣。为了激发学生的兴趣，发展学生的思维，在学生练习感到疲倦时，我及时抛出这样一个富有挑战性的问题。当问题出现后，学生个个为之一振，因为题目没有告诉赤道的半径，再也无法直接套用公式了，这样原有的认知平衡就被打破了。怎么办呢?逼着学生想思路找办法、从而激活了学生的思维。
2 恰当的目标定位是学生思维发展的关键。
曾经有许多老师一直把“顺利解题”作为练习的终极目标，往往就题讲题，认为学生会做题，就完成了教学任务，而忽略了更深层元素，即学生到底有多大的收获，他们的思维是否得到了实质上的提升。在本节练习课上，我并没有把让学生掌握解题技巧作为练习的惟一目标、而是以此为平台，把提升学生的思维作为练习的发展性目标。正因为有了这样的目标定位，当学生终于用具体的数据算出结果时，我并没有就此罢休，而是巧借学生的疑惑引领学生继续思考：一是让学生自己想办法解释想象与实际之间的差距；二是引导学生透过现象寻找普遍规律。这样学生的目光就从关注个案提升到透过现象看本质，引导学生既见树木又见森林。在这一过程中学生的思维经历了以下几个层次：一是盲目猜测阶段，即跟着感觉走；二是具体计算阶段，由于思维的惯性，学生认为要解决问题必须知道具体的数据，即地球的半径。当有位学生说出地球的半径可能是6300多千米时，学生如获至宝，纷纷埋头苦算，可以说在这一阶段学生的思维还是低层次的。三是推理与想象阶段。在这一层次中学生的思维有了质的飞跃，他们摆脱了具体的、有形的实物和数据，进行了合情的推理和想象。在以上过程中学生不仅掌握了知识和技能，而且感悟了猜测、验证、假设、推理等数学思想方法，思维得到了有效的提升。
3 教师的引领是学生思维向纵深发展的保证。
事实上，由于学生正处于知识、情感、价值观的初步发展阶段，他们的知识水平和阅历都有限，在多数情况下学生的思维是不可能自发地得到提升和完善的，往往需要教师有价值的引领，这决定了教师是课堂的灵魂。作为教师，首先要预设在前做到心中有数，什么时候提出什么问题，学生可能会有怎样的反映，教师应有所预设。如本案例当问题出现后，有的学生盲目猜测，有的学生嚷嚷说没法做，以及后来郑静同学的想法……这些都在我课前预设之中，因此故作疑惑地说“真的没法知道结果吗?”引导学生冷静思考。其次，当学生出现满足感、思维产生懈怠时，教师应及时予以引燃、助推，以深化学生的思维。如在本案例中，当学生用具体数据解决问题后往往会产生满足感，这时如果没有教师有意识的引领，以后的推理与想象、概括与发现，学生是不可能自发地产生的，发展学生的思维也就成了一句空话。同时教师还要善于激发学生，让学生产生一种成就感，如当有的学生出现与众不同的想法时我真诚地为他鼓掌叫好。这样，在教师有目的的引导下，学生的思维才有可能一步步地走向深入。
(作者单位：邳州市明德实验学校)