摘 要：二次函数图象抛物线中动点围成三角形面积最大值问题是初中数学最难的一章，是初高中数学知识的衔接点，它考查学生数形结合的思想，是代数与几何有机结合，题型灵活性强、难度大。本文介绍一题多解的方法，以此提高学生解决此类问题的能力。
　　关键词：二次函数；三角形面积；最大值；函数图象
　　数学来源于生活，服务于生活。如何有效地利用数学知识解决实际问题，需要一定的智慧。相对而言，二次函数在初中数学中是较难的一章，但它的作用却非常大，学好二次函数可以解决生活中的许多实际问题，从而得到意想不到的收获。
　　例 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点：
　　1.求抛物线解析式；
　　2.若点P为第一象限内抛物线上一动点，求△PBC面积最大值时点P的坐标。
　　分析：
　　1.将三点代入一般式y=ax2+bx+c，求出a、b、c得解析式：
　　y=-x2+2x+3
　　2.通過二次函数图象进行分析，具体有三种方法。
　　一、分补法
　　S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC
　　设P点横坐标为m，则纵坐标为-m2+2m+3，即P（m，-m2+2m+3）
　　S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC
　　=12OC×PD+12OB×PE-12OB×OC
　　=12×3×m+12×3×（-m2+2m+3）-12×3×3
　　=-32m2+92m
　　关于m的二次函数开口向下，有最大值；
　　m=-922×-32=32时，S△BCP面积最大，-m2+2m+3=154，点P32，154。
　　图1
　　图2二、分割法
　　过P点向x轴作垂线，交BC于点Q，交x轴于点I，PQ越长，△PBC面积越大。（说明：以动线PQ为底边，△CPQ的高与△BPQ的高的和是固定值3，所以PQ越长，△PBC面积越大。）
　　设P（m，-m2+2m+3），直线BC解析式为y=-x+3，Q点的横坐标为m，则纵坐标为-m+3，PQ=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m
　　图3S△PBC=S△CPQ+S△BPQ
　　=12PQ×CH+12PQ×BI
　　=12PQ（CH+BI）
　　=12PQ×BO
　　S△PBC=12（-m2+3m）×3
　　=-32m2+92m
　　同样可得m=32时，S△BCP面积最大，点P为32，154。
　　三、平行法
　　图4由于P点不确定，而△PBC中BC边确定，如果以BC为底边，P点到BC距离越大越好，什么时候最大，假设直线l与BC平行，与抛物线只有一个交点，此时的交点即为P点。
　　设直线l：y=-x+n
　　y=-x+n
　　y=-x2+2x+3
　　解方程组：-x+n=-x2+2x+3
　　x2-3x+n-3=0
　　只有一个交点，即△=0，-32-4×n-3=0
　　n=214，解得x=32 y=154，点P32，154。
　　通过以上三种不同的方法，学生能够学会解决二次函数中三角形面积最大问题，学生可以运用所学知识解决实际问题，充分体现了数学的应用价值，能够进一步激发学生的求知欲望。