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【摘要】自学辅导的优点是学生可以自主安排学习时间合理分配力量，选择方法，自主领会和运用获取知识过程和方法，自己掌握教材，从而培养学生的创新意识和创新能力。教师可以因材施教，分层教学，有针对性地讲解和指导，充分发挥各类学生的积极性。实践证明，激励学生自主学习，培养自学习惯是全面提高学生素质的根本保证。
【关键词】教学；自学；辅导教学；教学原则；教学目标；过程设计
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1005-250X(2007)10-0098-03
中科院心理研究所卢仲衡教授主持的中学数学自学辅导教学是教材、教法同时改革的，具有自己的教材编写原则和教学原则。其教学原则是：①班集体与个体化相结合的原则；②教师指导、辅导下学生自学为主的原则；③“启（发）、（阅）、练（习）、知（当时知道结果）、（小）结”相结合的原则；④强动机、浓兴趣原则；⑤自检与他检相结合的原则，下面以《椭圆的定义及其标准方程》为例，谈谈自学辅导教学设计，供同行们参考。
1确定教学目标，明确自学要求
1.1知识目标：通过自学，学生应达到以下要求：①能说出椭圆及其焦点和焦距的定义；②能自主推导椭圆的标准方程；③能根据所给条件，写出椭圆的标准方程；④了解椭圆的一些实际应用。
1.2能力目标：在学生自学过程中，教师要不失时机的阐述数学思维方法的特点和意义，通过数形结合，教学学生猜想，进步培养学生的探索、发现能力。
1.3德育渗透目标：帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和锲而不舍的进取精神。
1.4加强数学课的知识性、方法性、灵活性、趣味性，高效率自学。
2教学重点与难点
重点：引导学生在自主探索和合作交流中，理解椭圆的定义及其标准方程。
难点:是让学生经历体验、体验、探索椭圆标准方程的推导过程。
教学方法:多媒体辅助教学法,启发引导探索法,强调学生的主动性,注重学生的参与性,教学过程的互动性。
3教学过程设计
3.1通过启发,导入课题;明确自学要求,指导学生阅读课本(约10分钟)
[弥补学生弱点,大力训练数学的听、说、读、写基本功,系统地落实各项目标,是中学教学的重点之一,以阅读课本为例,读书本身并不难,难在读得明白,读的深入,读出其中“三味”来,我从高一开始,就下大力气训练学生阅读与分析总结相结合,要求作到眼看、口读、耳听、脑想、手写五者的统一]。
自学前,首先指导学生试着做下面的实验,并思考两个问题,一条长度一定的细绳,(如图1)将绳图1的两端固定在画板的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2两点间的距离时,用一支铅笔的尖端轻轻地将绳拉紧,使笔尖在画板上缓慢的移动一周(所需材料课前自备)。
问题：（1）动点是在怎样条件下运动的？
（2）动点运动出的轨迹是什么？
实验后请同学们回答。
学生一般能答出：动点是在“到两上定点距离之和等于定值”这一条件下运动的，轨迹是椭圆，这时教师可追问：“关于椭圆这种曲线你在哪些地方见过？”
大多数学生经过思考能答出：“立体几何中圆的直观图是椭圆”“人造卫星的运行轨道”等等。
这种曲线在实际生活中很常见，许多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的，下面请同学们按自学的要求，阅读椭圆的定义及其标准方程。
[平常应特别注意对学生作自学指导，以提高智力与参与能力：①指导预习：在预习中把握重点，了解难点，学会设疑和自我释疑。②指导练习：练习的要领：先复习、后练习；立足于懂，不要图快；要仔细审题（弄清条件，寻找解答的对应知识），要认真答题（寻找解题途径，答题过程怎样表达），要全面检查（查解题的正确性，查解题的合理性，查解题的完整性）。③指导复习：要围绕一个中心内容；要及时复习，防止遗忘；对知识查漏补缺；先回忆内容，再看课本，增强复习效果；合理安排时间，平时多做小结式复习。关于自学能力的培养，可以逐步“融进”具体的，实在的数学知识之中，即所谓“随风潜入夜，润物细无声”，并随年级的增长逐步深入]。
3.2给学生充分的时间进行观察、猜想，从而提高课堂效率（约20分）：学生自学椭圆标准方程定义时，教师要深入到学生中去辅导，主要任务是：
3.2.1了解学生的各种认识和见解，作出诊断，有时需要从认知策略上给与适当的点拨或引导，但不直接告诉结论，更不要武断地否定学生哪怕是有错误的见解，如针对某些学生阅读定义过程中忽视条件（大于｜F1F2｜），启发学生想一想：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆。
3.2.2指导学生自觉地运用数学思想方法。如启发学生从直观入手，采用数形结合的方法，把椭圆的位置特征与标准方程的形成统一起来，椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定，进一步引导学生从“定位”和“定量”两个方面理解椭圆的标准方程。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于那条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法，注意引导学生理解取椭圆的对称轴为坐标轴的原因。
3.2.3启发学生借助联想与类比、变换等手段，使分散的条件相联系，隐蔽的条件明显化，化难为易，化生为熟。如某些学生对椭圆定义理解不深刻，可建议他从轨迹形成的角度给圆下定义，联想圆是椭圆的特例，观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……（如图2）。从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同进行完整的总结。提醒学生思考两种曲线之间的内在联系。
经过自主探究，学生能发现：当两个定点重合时，轨迹变化为圆：当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段；平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点。
（学生自学方程的推导过程时，教师要注意强化学生的求简意识，使得数学审美成为研究发现的动力。要求同学们按照求曲线方程的步骤及方法，自己先求椭圆的方程，再对照课本。）
教师巡回辅导时，注意提醒学生：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性。
一般的，学生大体上有如下三个方案：①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2；②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图3；③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图4，推导出方程。（推导过程略）
一般来讲，学生们在推导过程中，化简方程时，会不知所措。这时注意启发学生联想到：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法，或通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。到此学生已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，教师应该引导学生将方程进行变形。若学生不理解，教师可启发学生观察图形5，看看a与c的关系。根据椭圆定义知道a2>b2,且如图所示,a与c可以看成RtΔMOF2的斜边和直角边。不妨令b2=a2-c2椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(*)。这时,可启发学生思考,其中a与b的关系如何?为什么?学生通过观察图5,可发现a>b>0,因为a与b分别是RtΔMOF2的斜边、直角边。
至此，教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
（1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例（这实际上是一种极限情况。）；
（2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即b2=a2-c2；
（3）请学生猜想:若用方案③(即焦点在y轴上),得到的方程形式又如何呢?(启发学生根据对称性进行猜想,请同学们课后进行方程的推导验证。)
3.3自练习题(约10分钟):学生可根据自学情况,自主选择习题练习。可以按课本指令,边做练习,边核对答案,也可以从中档题起步。做完课内作业,还应该自学教学参考书.教师在面批面改作业过程中,着重强调建立不同坐标系,方程形式也不同,或选择进一步加深学生对椭圆定义的理解的习题,注重培养学生运动变化的观点和用数形结合的思想解题的能力。
3.4自我小结（约5分钟）
3.4.1知识方面：椭圆的定义（要注意定义中的条件）以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系。
3.4.2能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题。
3.4.3体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美。
自学辅导的优点是学生可以自主安排学习时间合理分配力量，选择方法，自主领会和运用获取知识过程和方法，自己掌握教材，从而培养学生的创新意识和创新能力。教师可以因材施教，分层教学，有针对性地讲解和指导，充分发挥各类学生的积极性。实践证明，激励学生自主学习，培养自学习惯是全面提高学生素质的根本保证。
收稿日期：2007-09-24
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【关键词】教学；自学；辅导教学；教学原则；教学目标；过程设计
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1005-250X(2007)10-0098-03
中科院心理研究所卢仲衡教授主持的中学数学自学辅导教学是教材、教法同时改革的，具有自己的教材编写原则和教学原则。其教学原则是：①班集体与个体化相结合的原则；②教师指导、辅导下学生自学为主的原则；③“启（发）、（阅）、练（习）、知（当时知道结果）、（小）结”相结合的原则；④强动机、浓兴趣原则；⑤自检与他检相结合的原则，下面以《椭圆的定义及其标准方程》为例，谈谈自学辅导教学设计，供同行们参考。
1确定教学目标，明确自学要求
1.1知识目标：通过自学，学生应达到以下要求：①能说出椭圆及其焦点和焦距的定义；②能自主推导椭圆的标准方程；③能根据所给条件，写出椭圆的标准方程；④了解椭圆的一些实际应用。
1.2能力目标：在学生自学过程中，教师要不失时机的阐述数学思维方法的特点和意义，通过数形结合，教学学生猜想，进步培养学生的探索、发现能力。
1.3德育渗透目标：帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和锲而不舍的进取精神。
1.4加强数学课的知识性、方法性、灵活性、趣味性，高效率自学。
2教学重点与难点
重点：引导学生在自主探索和合作交流中，理解椭圆的定义及其标准方程。
难点:是让学生经历体验、体验、探索椭圆标准方程的推导过程。
教学方法:多媒体辅助教学法,启发引导探索法,强调学生的主动性,注重学生的参与性,教学过程的互动性。
3教学过程设计
3.1通过启发,导入课题;明确自学要求,指导学生阅读课本(约10分钟)
[弥补学生弱点,大力训练数学的听、说、读、写基本功,系统地落实各项目标,是中学教学的重点之一,以阅读课本为例,读书本身并不难,难在读得明白,读的深入,读出其中“三味”来,我从高一开始,就下大力气训练学生阅读与分析总结相结合,要求作到眼看、口读、耳听、脑想、手写五者的统一]。
自学前,首先指导学生试着做下面的实验,并思考两个问题,一条长度一定的细绳,(如图1)将绳图1的两端固定在画板的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2两点间的距离时,用一支铅笔的尖端轻轻地将绳拉紧,使笔尖在画板上缓慢的移动一周(所需材料课前自备)。
问题：（1）动点是在怎样条件下运动的？
（2）动点运动出的轨迹是什么？
实验后请同学们回答。
学生一般能答出：动点是在“到两上定点距离之和等于定值”这一条件下运动的，轨迹是椭圆，这时教师可追问：“关于椭圆这种曲线你在哪些地方见过？”
大多数学生经过思考能答出：“立体几何中圆的直观图是椭圆”“人造卫星的运行轨道”等等。
这种曲线在实际生活中很常见，许多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的，下面请同学们按自学的要求，阅读椭圆的定义及其标准方程。
[平常应特别注意对学生作自学指导，以提高智力与参与能力：①指导预习：在预习中把握重点，了解难点，学会设疑和自我释疑。②指导练习：练习的要领：先复习、后练习；立足于懂，不要图快；要仔细审题（弄清条件，寻找解答的对应知识），要认真答题（寻找解题途径，答题过程怎样表达），要全面检查（查解题的正确性，查解题的合理性，查解题的完整性）。③指导复习：要围绕一个中心内容；要及时复习，防止遗忘；对知识查漏补缺；先回忆内容，再看课本，增强复习效果；合理安排时间，平时多做小结式复习。关于自学能力的培养，可以逐步“融进”具体的，实在的数学知识之中，即所谓“随风潜入夜，润物细无声”，并随年级的增长逐步深入]。
3.2给学生充分的时间进行观察、猜想，从而提高课堂效率（约20分）：学生自学椭圆标准方程定义时，教师要深入到学生中去辅导，主要任务是：
3.2.1了解学生的各种认识和见解，作出诊断，有时需要从认知策略上给与适当的点拨或引导，但不直接告诉结论，更不要武断地否定学生哪怕是有错误的见解，如针对某些学生阅读定义过程中忽视条件（大于｜F1F2｜），启发学生想一想：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆。
3.2.2指导学生自觉地运用数学思想方法。如启发学生从直观入手，采用数形结合的方法，把椭圆的位置特征与标准方程的形成统一起来，椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定，进一步引导学生从“定位”和“定量”两个方面理解椭圆的标准方程。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于那条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法，注意引导学生理解取椭圆的对称轴为坐标轴的原因。
3.2.3启发学生借助联想与类比、变换等手段，使分散的条件相联系，隐蔽的条件明显化，化难为易，化生为熟。如某些学生对椭圆定义理解不深刻，可建议他从轨迹形成的角度给圆下定义，联想圆是椭圆的特例，观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……（如图2）。从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同进行完整的总结。提醒学生思考两种曲线之间的内在联系。
经过自主探究，学生能发现：当两个定点重合时，轨迹变化为圆：当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段；平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点。
（学生自学方程的推导过程时，教师要注意强化学生的求简意识，使得数学审美成为研究发现的动力。要求同学们按照求曲线方程的步骤及方法，自己先求椭圆的方程，再对照课本。）
教师巡回辅导时，注意提醒学生：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性。
一般的，学生大体上有如下三个方案：①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2；②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图3；③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图4，推导出方程。（推导过程略）
一般来讲，学生们在推导过程中，化简方程时，会不知所措。这时注意启发学生联想到：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法，或通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。到此学生已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，教师应该引导学生将方程进行变形。若学生不理解，教师可启发学生观察图形5，看看a与c的关系。根据椭圆定义知道a2>b2,且如图所示,a与c可以看成RtΔMOF2的斜边和直角边。不妨令b2=a2-c2椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(*)。这时,可启发学生思考,其中a与b的关系如何?为什么?学生通过观察图5,可发现a>b>0,因为a与b分别是RtΔMOF2的斜边、直角边。
至此，教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
（1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例（这实际上是一种极限情况。）；
（2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即b2=a2-c2；
（3）请学生猜想:若用方案③(即焦点在y轴上),得到的方程形式又如何呢?(启发学生根据对称性进行猜想,请同学们课后进行方程的推导验证。)
3.3自练习题(约10分钟):学生可根据自学情况,自主选择习题练习。可以按课本指令,边做练习,边核对答案,也可以从中档题起步。做完课内作业,还应该自学教学参考书.教师在面批面改作业过程中,着重强调建立不同坐标系,方程形式也不同,或选择进一步加深学生对椭圆定义的理解的习题,注重培养学生运动变化的观点和用数形结合的思想解题的能力。
3.4自我小结（约5分钟）
3.4.1知识方面：椭圆的定义（要注意定义中的条件）以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系。
3.4.2能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题。
3.4.3体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美。
自学辅导的优点是学生可以自主安排学习时间合理分配力量，选择方法，自主领会和运用获取知识过程和方法，自己掌握教材，从而培养学生的创新意识和创新能力。教师可以因材施教，分层教学，有针对性地讲解和指导，充分发挥各类学生的积极性。实践证明，激励学生自主学习，培养自学习惯是全面提高学生素质的根本保证。
收稿日期：2007-09-24
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