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在日常生活、生产实践和科学研究中,人们常常需要确定一个事件发生的可能性的大小,即确定一个事件发生的概率.本章的主要内容是等可能条件下事件发生的概率的计算方法.
“等可能性”是一种假设,是一种理想状态.如抛掷一枚硬币,只有正面朝上或反面朝上的二种可能.因此,理论上抛掷硬币正面朝上的概率是1/2,反面朝上的概率也是1/2.假如我抛掷一枚硬币9次,虽然前9次都是正面朝上,但第10次抛掷时正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事实上,在许多场合,由对称性(如投掷硬币)或者某种均衡性(如摸球,抽签试验等),我们就可以认为其所有可能结果(基本事件)是等可能的,并在此基础上计算各事件的概率.
设一个试验的所有可能发生的结果有n个,它们都是随机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现,如果每个结果出现的机会均等,那么我们就说这n个事件的发生是等可能的.
一般地,如果一个试验有n个等可能的结果,当其中的m个结果之一出现时,事件A发生,那么事件A发生的概率为:P(A)=m/n(m是事件A发生时可能出现的结果数,n是一次实验出现的所有等可能的结果数).数学上,我们称之为古典概型.
例如:抛掷一只均匀的骰子1次,只会出现6种结果之一:1点朝上、2点朝上、3点朝上、4点朝上、5点朝上、6点朝上.因为骰子是均匀的,所以这6种结果的出现都是等可能的.所以抛掷一只均匀的骰子1次,点数1朝上的概率:P(点数1朝上)=1/6;抛掷一只均匀的骰子1次,只有当朝上的点数是5或6时,“朝上的点数大于4”这一事件才能发生,所以朝上的点数大于4的概率:P(朝上的点数大于4)=2/6=1/3.
“实验结果的等可能”是讨论概率的重要条件,有些实验的结果不具有等可能性,不在本章讨论的范围内.例如:在适宜的条件下,种下一粒油菜种子观察它是否发芽,这个实验只有二种结果:“发芽”与“不发芽”,这二种结果出现的机会是不均等的,所以不能用概率来计算;又如:用天平秤来称物体时有误差,这个实验的结果就有无数多个,而且这些结果也不具有等可能性,所以这类事件也不能用概率来计算.
为了正确地计算出概率,画树状图或列表是很好的方法.
例:张老师上班途中要经过3个十字路口,每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同,张老师希望上班经过每个路口都是绿灯,实际上这样的机会是多少?
【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小;
解:经过3个十字路口,遇到红、绿灯的情况如下:
从树状图可以看出,经过三个十字路口遇到的红绿灯共有8种等可能的结果.其中:3个红灯的有1个可能;2个红灯1个绿灯的有3个可能;1个红灯2个绿灯的有3个可能;3个绿灯的有1个可能.所以经过每个路口都是绿灯的情况只有1种,所以上班经过每个路口都是绿灯的概率为P(每个路口都是绿灯)=1/8.
树状图或列表的方法既形象又直观,可以帮助我们既不重复也不遗漏地列出所有可能的结果(基本事件),从而计算古典概型中事件所含的可能结果(基本事件)数以及事件发生的概率.它们都是计算概率的简单有效的方法.
如果实验的次数是二次时,选树状图或列表都可以,如果实验的次数超过二次则只能选用树状图.
(作者单位:江苏省常州外国语学校)
“等可能性”是一种假设,是一种理想状态.如抛掷一枚硬币,只有正面朝上或反面朝上的二种可能.因此,理论上抛掷硬币正面朝上的概率是1/2,反面朝上的概率也是1/2.假如我抛掷一枚硬币9次,虽然前9次都是正面朝上,但第10次抛掷时正面朝上和反面朝上的可能性仍是各占一半.事实上,在许多场合,由对称性(如投掷硬币)或者某种均衡性(如摸球,抽签试验等),我们就可以认为其所有可能结果(基本事件)是等可能的,并在此基础上计算各事件的概率.
设一个试验的所有可能发生的结果有n个,它们都是随机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现,如果每个结果出现的机会均等,那么我们就说这n个事件的发生是等可能的.
一般地,如果一个试验有n个等可能的结果,当其中的m个结果之一出现时,事件A发生,那么事件A发生的概率为:P(A)=m/n(m是事件A发生时可能出现的结果数,n是一次实验出现的所有等可能的结果数).数学上,我们称之为古典概型.
例如:抛掷一只均匀的骰子1次,只会出现6种结果之一:1点朝上、2点朝上、3点朝上、4点朝上、5点朝上、6点朝上.因为骰子是均匀的,所以这6种结果的出现都是等可能的.所以抛掷一只均匀的骰子1次,点数1朝上的概率:P(点数1朝上)=1/6;抛掷一只均匀的骰子1次,只有当朝上的点数是5或6时,“朝上的点数大于4”这一事件才能发生,所以朝上的点数大于4的概率:P(朝上的点数大于4)=2/6=1/3.
“实验结果的等可能”是讨论概率的重要条件,有些实验的结果不具有等可能性,不在本章讨论的范围内.例如:在适宜的条件下,种下一粒油菜种子观察它是否发芽,这个实验只有二种结果:“发芽”与“不发芽”,这二种结果出现的机会是不均等的,所以不能用概率来计算;又如:用天平秤来称物体时有误差,这个实验的结果就有无数多个,而且这些结果也不具有等可能性,所以这类事件也不能用概率来计算.
为了正确地计算出概率,画树状图或列表是很好的方法.
例:张老师上班途中要经过3个十字路口,每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同,张老师希望上班经过每个路口都是绿灯,实际上这样的机会是多少?
【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小;
解:经过3个十字路口,遇到红、绿灯的情况如下:
![](http://img1.qikan.com/qkimages/czs2/czs2201604/czs220160415-1-l.jpg)
从树状图可以看出,经过三个十字路口遇到的红绿灯共有8种等可能的结果.其中:3个红灯的有1个可能;2个红灯1个绿灯的有3个可能;1个红灯2个绿灯的有3个可能;3个绿灯的有1个可能.所以经过每个路口都是绿灯的情况只有1种,所以上班经过每个路口都是绿灯的概率为P(每个路口都是绿灯)=1/8.
树状图或列表的方法既形象又直观,可以帮助我们既不重复也不遗漏地列出所有可能的结果(基本事件),从而计算古典概型中事件所含的可能结果(基本事件)数以及事件发生的概率.它们都是计算概率的简单有效的方法.
如果实验的次数是二次时,选树状图或列表都可以,如果实验的次数超过二次则只能选用树状图.
(作者单位:江苏省常州外国语学校)