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数学之美之所以在生活中随处可见，正是因为它是效率的表达，是效用的体现。正如我们生活中随处可见的等腰三角形模型：衣架，斜拉索桥，交通标志，金字塔的侧面等。等腰三角形中蕴含了数学中的对称之美及分类讨论的数学思想方法。笔者现就一堂等腰三角形的分类讨论习题课与大家共同探讨。
1.教学目标
《义务教育数学课程标准（2011）》明确提出，通过学习等腰三角形的有关知识，学生需要了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。本节课是在学习了等腰三角形的有关性质定理之后，围绕等腰三角形的分类讨论开展的内拓展，让学生通过本节课的学习，感受到等腰三角形的对称之美，体验分类讨论的数学思想方法。
2.教学过程设计
2.1环节1：问题思考引出分类
师：等腰三角形是否是轴对称图形？若是，请你画出它的对称轴，并告诉老师它有几条对称轴？
生1：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴。
生2：当它是等边三角形时，有三条对称轴。
师：等腰三角形中蕴含着数学中的对称美，其实以上两个同学的答案就是已经对等腰三角形进行了分类。
在环节二的基础上，将等腰三角形的分类讨论代入到稍微复杂的图形分析问题中，问题3利用等边对等角，当△PBC是等腰三角形时若PC=PB；若PC=BC；若PB=BC。再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出∠APC。
问题4将等腰三角形的分类讨论与动点问题相结合，考察学生动手作图与图形分析的能力。当△PBC是以PB为腰的等腰三角形时，由于固定一腰，情况将分为：若PB=BC；PB=PC；若PC=BC再将分类讨论结合动点运动长度AP= 2t，BP=6-2t，求出t。
学生疑惑：问题4的分类中，比较好入手的是PB=BC和PB=PC，对于如何利用PC=BC这个条件求出PB的长度，学生往往忽略将CD⊥AB与PC=BC结合起来利用等腰三角形的三线合一性质求出PB的长度。
教师感悟：问题3考察学生的基础几何分析能力，学生完成情况较好；问题4在问题3的基础上，将动点结合分类讨论，学生遇到动点问题就会产生畏惧感，教师要引导学生在解决动点问题过程中，要化动为静，画出动态情况下对应的静态模型，标出对应线段长度，再进行图形分析，涉及线段的长度，往往需要结合等腰三角形的性质、勾股定理等与求线段长度有关的定理进行处理。
2.4环节4：拓展创新综合分析
本题的难点在于动点P不是单纯地在一条线段上运动，而是在折线运动，此时作图分类尤其关键，按照点P的运动路径，若△BCP为等腰三角形，可以分为以下几类：
（1）点P在线段AC上，此时由于∠C=90o，故只有BC= PC一种情况如图（1），此时P走过的路程为线段PC的长度，PC=BC=3，进而可以求出t。
（2）点P在线段AB上，此时有可能出现三种情况①PB=BC；②PB=PC；③BC=PC如图（2）。此时三种情况下求t，只需求出P走过的路程（AP+AC）再除以速度。
学生疑惑：复杂的分类讨论应该如何入手才能做到不重不漏？分类讨论后，针对图（2）②与图（2）③的情况，没有寻求到如何将PB=PC和BC=PC转化成求解AP的思路。
教师感悟：分类讨论的不重不漏主要要和学生强调分类的依据。本题中的分类依据有两个，一个是点P所在的线段，一个是构成△BCP的等腰三角形哪两条边为腰。分类讨论可在确定一个大分类下再进行子分类，比如本题中可先确定大分类为两类：点P在线段AC上；点P在线段AB上。再分别在这两个大分类的前提下进行等腰三角形腰的分类讨论即可做到不重不漏。
图（2）②的情况主要是由PB=PC这个已知条件进行转化，得到∠PBC=∠PCB，进而由等角的余角相等得出∠PCA=∠A，从而得到AP=PC=BP。但在教学过程中发现有学生通过过点P分别作BC和AC的垂线段構造矩形从而证明全等而证得，对于正确的证法也应该给予肯定。
图（2）③中，将图形绕点C将线段AB逆时针旋转至水平线即可转化成问题4的情况，此时便可以发现需要过点C作AB边上的高CH，通过等面积法求出CH的长度，就与问题4相同，最后就可以通过勾股定理和等腰三角形的三线合一求出BH，进而求出AP的长度。在教学过程中，教师要教学生懂得将未知的问题化归成已知的几何模型去解决，提高学生的几何分析能力。
2.5环节5：总结课堂思维提升
遇到等腰三角形的几何问题，可如下思考
3.课堂反思教学提升
等腰三角形的学习和应用是中考的重难点，本节课主要围绕等腰三角形的分类讨论展开。在整体教学中，教师应该着重培养学生的三观。（1）基础观：几何问题的分析是一个层层递进的过程，这要求学生有扎实的基础几何功底，对于本节课而言，教学中常用到的知识，等腰三角形的性质；勾股定理……都要求教师在教学中教会学生在做题的过程中懂得联想知识，应用相应知识解决问题。（2）文理观：随着中考阅读量的增加，题目的冗长对学生解题提升了一定的难度，遇到如问题5中复杂的几何问题，教学中应注重文字语言到数学语言的分析与转化，必要时，可将文字所提示的情况转化成几何图形，方便分类讨论进行分析，这要求学生有基础的文字转化能力与作图技巧。（3）数理观：数学的思维在本节课的分析中必不可少，题目万变，蕴含的思想不变。这要求教师在教学过程中不仅要教学生怎么做，更要教学生为什么这样做。因此。数学思想的渗透尤其关键。例如本堂课由等腰三角形的对称之美引入遇到等腰三角形腰不确定，分类讨论，分类讨论的一般思路是要确定分类标准，不重不漏，教学生如何做到不重不漏。分类后几何问题的分析解决需要运用到化归与转化的数学思想，如何联想与运用几何知识，都是教师在教学中应该给予学生的指导。
（晋江市华侨中学，福建泉州362200）
1.教学目标
《义务教育数学课程标准（2011）》明确提出，通过学习等腰三角形的有关知识，学生需要了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。本节课是在学习了等腰三角形的有关性质定理之后，围绕等腰三角形的分类讨论开展的内拓展，让学生通过本节课的学习，感受到等腰三角形的对称之美，体验分类讨论的数学思想方法。
2.教学过程设计
2.1环节1：问题思考引出分类
师：等腰三角形是否是轴对称图形？若是，请你画出它的对称轴，并告诉老师它有几条对称轴？
生1：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴。
生2：当它是等边三角形时，有三条对称轴。
师：等腰三角形中蕴含着数学中的对称美，其实以上两个同学的答案就是已经对等腰三角形进行了分类。
在环节二的基础上，将等腰三角形的分类讨论代入到稍微复杂的图形分析问题中，问题3利用等边对等角，当△PBC是等腰三角形时若PC=PB；若PC=BC；若PB=BC。再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出∠APC。
问题4将等腰三角形的分类讨论与动点问题相结合，考察学生动手作图与图形分析的能力。当△PBC是以PB为腰的等腰三角形时，由于固定一腰，情况将分为：若PB=BC；PB=PC；若PC=BC再将分类讨论结合动点运动长度AP= 2t，BP=6-2t，求出t。
学生疑惑：问题4的分类中，比较好入手的是PB=BC和PB=PC，对于如何利用PC=BC这个条件求出PB的长度，学生往往忽略将CD⊥AB与PC=BC结合起来利用等腰三角形的三线合一性质求出PB的长度。
教师感悟：问题3考察学生的基础几何分析能力，学生完成情况较好；问题4在问题3的基础上，将动点结合分类讨论，学生遇到动点问题就会产生畏惧感，教师要引导学生在解决动点问题过程中，要化动为静，画出动态情况下对应的静态模型，标出对应线段长度，再进行图形分析，涉及线段的长度，往往需要结合等腰三角形的性质、勾股定理等与求线段长度有关的定理进行处理。
2.4环节4：拓展创新综合分析
本题的难点在于动点P不是单纯地在一条线段上运动，而是在折线运动，此时作图分类尤其关键，按照点P的运动路径，若△BCP为等腰三角形，可以分为以下几类：
（1）点P在线段AC上，此时由于∠C=90o，故只有BC= PC一种情况如图（1），此时P走过的路程为线段PC的长度，PC=BC=3，进而可以求出t。
（2）点P在线段AB上，此时有可能出现三种情况①PB=BC；②PB=PC；③BC=PC如图（2）。此时三种情况下求t，只需求出P走过的路程（AP+AC）再除以速度。
学生疑惑：复杂的分类讨论应该如何入手才能做到不重不漏？分类讨论后，针对图（2）②与图（2）③的情况，没有寻求到如何将PB=PC和BC=PC转化成求解AP的思路。
教师感悟：分类讨论的不重不漏主要要和学生强调分类的依据。本题中的分类依据有两个，一个是点P所在的线段，一个是构成△BCP的等腰三角形哪两条边为腰。分类讨论可在确定一个大分类下再进行子分类，比如本题中可先确定大分类为两类：点P在线段AC上；点P在线段AB上。再分别在这两个大分类的前提下进行等腰三角形腰的分类讨论即可做到不重不漏。
图（2）②的情况主要是由PB=PC这个已知条件进行转化，得到∠PBC=∠PCB，进而由等角的余角相等得出∠PCA=∠A，从而得到AP=PC=BP。但在教学过程中发现有学生通过过点P分别作BC和AC的垂线段構造矩形从而证明全等而证得，对于正确的证法也应该给予肯定。
图（2）③中，将图形绕点C将线段AB逆时针旋转至水平线即可转化成问题4的情况，此时便可以发现需要过点C作AB边上的高CH，通过等面积法求出CH的长度，就与问题4相同，最后就可以通过勾股定理和等腰三角形的三线合一求出BH，进而求出AP的长度。在教学过程中，教师要教学生懂得将未知的问题化归成已知的几何模型去解决，提高学生的几何分析能力。
2.5环节5：总结课堂思维提升
遇到等腰三角形的几何问题，可如下思考
3.课堂反思教学提升
等腰三角形的学习和应用是中考的重难点，本节课主要围绕等腰三角形的分类讨论展开。在整体教学中，教师应该着重培养学生的三观。（1）基础观：几何问题的分析是一个层层递进的过程，这要求学生有扎实的基础几何功底，对于本节课而言，教学中常用到的知识，等腰三角形的性质；勾股定理……都要求教师在教学中教会学生在做题的过程中懂得联想知识，应用相应知识解决问题。（2）文理观：随着中考阅读量的增加，题目的冗长对学生解题提升了一定的难度，遇到如问题5中复杂的几何问题，教学中应注重文字语言到数学语言的分析与转化，必要时，可将文字所提示的情况转化成几何图形，方便分类讨论进行分析，这要求学生有基础的文字转化能力与作图技巧。（3）数理观：数学的思维在本节课的分析中必不可少，题目万变，蕴含的思想不变。这要求教师在教学过程中不仅要教学生怎么做，更要教学生为什么这样做。因此。数学思想的渗透尤其关键。例如本堂课由等腰三角形的对称之美引入遇到等腰三角形腰不确定，分类讨论，分类讨论的一般思路是要确定分类标准，不重不漏，教学生如何做到不重不漏。分类后几何问题的分析解决需要运用到化归与转化的数学思想，如何联想与运用几何知识，都是教师在教学中应该给予学生的指导。
（晋江市华侨中学，福建泉州362200）