论文部分内容阅读
摘 要：平面直角坐标系中的点的变换问题，是中考中重要的题型之一，它以平移、旋转、轴对称、相似等变换为杠杆，以考查学生动手操作、观察判断、计算推理等能力为主线，这类题往往书写的少但思维量较大，因而，倍受命题者的青睐，教学中，我们也应倍加关注。下面以近年来中考中的平面直角坐标系中的点的平移、旋转变换问题为例，供教学参考。
关键词：变换；点坐标；平移；旋转
古希腊科学家阿基米德曾说过：“假如给我一个支点，我将撬起整个地球”，这就是杠杆的力量.在平面直角坐标系中，若对图形施以平移、旋转、轴对称、相似等变换，我们将在这些变换“杠杆”下撬出一个个新的图形.
1.1以平移变换为杠杆，确定对应点坐标
例1 （宿迁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A的坐标为（-3，2），将其先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到线段A′B，则点A对应点A′的坐标为______.
答案：A′ （1，-1 ）
一般地，点（a，b）向上（或下、左、右）平移m个单位后所得点的坐标变化如上关系图所示。
例2 （南通）在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（–4，–1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M ′N ′（点M、N分别平移到点M ′、N ′的位置，如图1），若点M ′的坐标为（ – 2，2），则点N ′的坐标为_________.
分析：将线段MN平移到线段 M′N′，这只强调了平移的起始与终止位置，而隐去了平移的路径，为了便于表达平移前后的坐标之间的关系，我们可选择左右平移与上下平移来实现.
由于点M ′（–2，2）与M（–4，–1）的横坐标、纵坐标的差分别为2、3个单位（图1），因而，点M（–4，–1）可先右平移2个单位，再向上平移3个单位后到点M ′（–2，2）处.点N（0，1）作同步平移，从而得到点点N ′的坐标为（2，4）.
1.2 以旋转变换为杠杆，确定对应点坐标
1.2.1 中心对称变换（即旋转180°变换）
1.2.1.1 关于原点中心对称变换
关于坐标原点O对称的两点的同名坐标互为相反数.
例3 （十堰）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则点P关于原点O对称的点P′的坐标为___________.
答案：点P′（-m，-n）
1.2.1.2關于非原点中心对称变换
例4 （河南）如图2，将△ABC 绕点C（0，– 1）旋转180°得到△A′B′C′，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）
（A）（– a，– b） （B）（– a，– b – 1）
（C）（– a，b + 1） （D）（– a，– b – 2）
1.2.1.3析解：如图1，将点A绕点C旋转180°得到点A′，可以看作以线段AC为对角线的矩形ADCE绕点C旋转180°得到矩形A′D′C′E′（与下文中的旋转90°呼应）.
又知AD=A′D′=a，CD=CD′=b+1，因而，OD=b+2.∴点A的坐标为（– a，– b – 2），选D.
此外，本题还可通过平移，转化为关于原点中心对称变换进行解决.先看下面一般性问题：
如图3，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于点P（a，b）对称，则点A、B、P的横坐标、纵坐标之间分别存在什么关系呢？
我们先将A、B、P向下平移b个单位，再向左平移a个单位（即将点P平移到原点O处），得A′（x1-a，y1-b）、B′（x2-a，y2-b）.
于是，由A′与B′关于原点O对称，从而，有
，进而 .
应用上述结论，立即可知例3答案为D.
1.2.2 旋转90°变换
1.2.2.1 以原点为旋转中心的旋转90°变换
例5 （福州）如图4，在矩形OABC中，点B的坐标为（-2，3）.画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标.
答案：A1（0，2）、B1（3，2）、C1（0，3）.
本题中的矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，就如同将“2×3”的火柴盒顺时针方向推倒，因而，点A、B、C的对应点A1、B1、C1也就容易确定.这为解决“任意一点P绕另一点Q顺时针或逆时针旋转90°”问题提供一种直观且易于操作的有效方法，即以线段PQ为对角线构造矩形，且矩形边平行于坐标轴或在坐标轴上.如例6.
1.2.2.2 以非原点为旋转中心的旋转90°变换
例6 （青岛）如图5，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点的坐标是（ ）
A.（–3，3） B.（3，– 3） C.（– 2，4） D.（1，4）
本題实质上就是将点A绕点C逆时针方向旋转90°得A′.于是，构造以CA为对角线的矩形，再将其绕点C逆时针方向旋转90°（如图5），从而，易得A′坐标为（-3，3）.
中考平面直角坐标系中的“点的变换”问题的形式是多样的，且考查的角度不同，难易度也不尽一样，而且是多数“点的变换”都是依负于其它几何图形变换而生成的变换。
关键词：变换；点坐标；平移；旋转
古希腊科学家阿基米德曾说过：“假如给我一个支点，我将撬起整个地球”，这就是杠杆的力量.在平面直角坐标系中，若对图形施以平移、旋转、轴对称、相似等变换，我们将在这些变换“杠杆”下撬出一个个新的图形.
1.1以平移变换为杠杆，确定对应点坐标
例1 （宿迁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A的坐标为（-3，2），将其先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到线段A′B，则点A对应点A′的坐标为______.
答案：A′ （1，-1 ）
一般地，点（a，b）向上（或下、左、右）平移m个单位后所得点的坐标变化如上关系图所示。
例2 （南通）在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（–4，–1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M ′N ′（点M、N分别平移到点M ′、N ′的位置，如图1），若点M ′的坐标为（ – 2，2），则点N ′的坐标为_________.
分析：将线段MN平移到线段 M′N′，这只强调了平移的起始与终止位置，而隐去了平移的路径，为了便于表达平移前后的坐标之间的关系，我们可选择左右平移与上下平移来实现.
由于点M ′（–2，2）与M（–4，–1）的横坐标、纵坐标的差分别为2、3个单位（图1），因而，点M（–4，–1）可先右平移2个单位，再向上平移3个单位后到点M ′（–2，2）处.点N（0，1）作同步平移，从而得到点点N ′的坐标为（2，4）.
1.2 以旋转变换为杠杆，确定对应点坐标
1.2.1 中心对称变换（即旋转180°变换）
1.2.1.1 关于原点中心对称变换
关于坐标原点O对称的两点的同名坐标互为相反数.
例3 （十堰）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则点P关于原点O对称的点P′的坐标为___________.
答案：点P′（-m，-n）
1.2.1.2關于非原点中心对称变换
例4 （河南）如图2，将△ABC 绕点C（0，– 1）旋转180°得到△A′B′C′，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）
（A）（– a，– b） （B）（– a，– b – 1）
（C）（– a，b + 1） （D）（– a，– b – 2）
1.2.1.3析解：如图1，将点A绕点C旋转180°得到点A′，可以看作以线段AC为对角线的矩形ADCE绕点C旋转180°得到矩形A′D′C′E′（与下文中的旋转90°呼应）.
又知AD=A′D′=a，CD=CD′=b+1，因而，OD=b+2.∴点A的坐标为（– a，– b – 2），选D.
此外，本题还可通过平移，转化为关于原点中心对称变换进行解决.先看下面一般性问题：
如图3，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于点P（a，b）对称，则点A、B、P的横坐标、纵坐标之间分别存在什么关系呢？
我们先将A、B、P向下平移b个单位，再向左平移a个单位（即将点P平移到原点O处），得A′（x1-a，y1-b）、B′（x2-a，y2-b）.
于是，由A′与B′关于原点O对称，从而，有
，进而 .
应用上述结论，立即可知例3答案为D.
1.2.2 旋转90°变换
1.2.2.1 以原点为旋转中心的旋转90°变换
例5 （福州）如图4，在矩形OABC中，点B的坐标为（-2，3）.画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标.
答案：A1（0，2）、B1（3，2）、C1（0，3）.
本题中的矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，就如同将“2×3”的火柴盒顺时针方向推倒，因而，点A、B、C的对应点A1、B1、C1也就容易确定.这为解决“任意一点P绕另一点Q顺时针或逆时针旋转90°”问题提供一种直观且易于操作的有效方法，即以线段PQ为对角线构造矩形，且矩形边平行于坐标轴或在坐标轴上.如例6.
1.2.2.2 以非原点为旋转中心的旋转90°变换
例6 （青岛）如图5，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点的坐标是（ ）
A.（–3，3） B.（3，– 3） C.（– 2，4） D.（1，4）
本題实质上就是将点A绕点C逆时针方向旋转90°得A′.于是，构造以CA为对角线的矩形，再将其绕点C逆时针方向旋转90°（如图5），从而，易得A′坐标为（-3，3）.
中考平面直角坐标系中的“点的变换”问题的形式是多样的，且考查的角度不同，难易度也不尽一样，而且是多数“点的变换”都是依负于其它几何图形变换而生成的变换。