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摘 要:国内外已对反向抵押贷款房产养老模式中的相关风险因素进行了定量及定性的风险研究,其中,在对利率风险的研究中,国内虽然已开始对其进行定性的风险研究,但大部分是直接套用国外的理论模型,没有考虑到本国的实际情况。基于这种情况,站在银行的角度,结合我国实际情况,基于威布尔分布的基本危险函数,建立了提前偿付模型对利率风险因素进行了分析。最后,运用实例进行了验证。
关键词:反向抵押贷款;利率风险;提前偿付模型
中图分类号:F83
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)05-0181-01
1 研究现状
在国外,对反向抵押贷款中利率风险的研究已经比较成熟了,主要体现在对提前偿付问题的讨论上。提前偿付是指借款人偿付的资金超过了每月计划偿付额, 超出部分将未偿还的本金余额提前偿付。借款人的这种提前偿付行为,直接影响住房抵押支持证券的定价及其投资者的收益率, 使银行面临再融资的风险。
提前偿付问题的讨论主要集中在提前偿付的CPR、PSA指标上, 这些指标都只关注时间的影响, 而忽略了其他一些影响因素;后来出现了基于期权定价理论模型的一些提前偿付的计量经济学模型, 它将提前偿付看作一种看涨期权加入其中, 由于它需要一系列严格的假设条件, 不符合住房反向抵押贷款的提前偿付的实际情况, 而且借款人提前偿付并不像期权理论所预测的那样有规律, 一些非期权相关的因素也是引发或者阻止借款人提前偿付的重要因素;为了解决这些问题, 后来Schwartz & Torous运用比例危险模型来建立提前偿付模型, 他们使用利率差、再融资倾向、季节性因素和歇火现象等四个变量来解释非期权相关的因素, 并且使用Log-logistic分布作为抵押贷款提前偿付的基本危险函数, 比较适合国外反向抵押贷款“时间性”的特点。然而, 该模型的四个影响因素对我国提前偿付影响都不明显, 主要表现在两个方面:
(1) 再融资是由于利率差所刺激的, 在我国情况却刚好相反;
(2) 国外提前偿付的季节性因素、歇火现象在我国体现的并不明显。
由于借款人的偿付行为受到国家社会制度、经济制度、市场经济发展水平、居民消费习惯、文化教育背景等因素的影响, 而我国的各种环境条件与欧美等发达国家存在着很大的差异, 运用国外已有的提前偿付预测方法所得结论与我国实际情况有较大的出入, 因此, 本文在分析国外借款人前偿付计量经济学模型的基础上, 根据我国现阶段国情, 研究了我国借款人住房反向抵押贷款提前偿付率的预测方法。
2 建模过程
下面我们首先构建符合我国国情的基本危险函数, 然后建立住房抵押贷款提前偿付率的预测模型。
2.1 基于威布尔分布的危险函数
在构建中国的基本危险函数需要考虑是中国人的消费习惯。中国自古以来都有这样一种消费心理, 不习惯“寅吃卯粮”, 虽然,老年人选择了用将来的“钱”来实现现在的消费,但是中国人的传统思想还是会影响这种模式的实施, 因此在住房反向抵押贷款过程中,还是很可能出现提前还贷情况的。可以看出,贷款的危险函数(即提前偿付率) 呈现出一种增长的趋势, 因此我们可以运用威布尔分布的危险函数来表示贷款的寿命与提前偿付率之间的这一关系:
h0( t;λ,α) =λα(λt)α-1(1)
h0( t;λ,α) 是服从威布尔分布的危险函数, t为反向抵押贷款经历的时间, 即反向抵押贷款到t时刻提前偿付,其中λ >1,α>1, 均为待估计的参数。显然,威布尔分布的危险函数是单调增加。
2.2 提前偿付模型
我们引入两个变量来表征提前偿付的主要影响因素:
引入X1 代表同行利率与合同利率的差,它是我国提前偿付最重要的影响因素。目前中国住房反向抵押贷款的偿付方式主要是每月等额本息还款。住房抵押贷款期限也较长, 同时,目前中国尚未实现利率市场化,当法定利率发生变化,就要从下一年年初开始按照新利率计算借款人每月的贷款额。如果当前的市场抵押利率低原抵押贷款合同利率,住房价值提高了,理性的借款人可能就会终止合同,提前还贷。合同利率与现行市场抵押利率的差额越大,刺激借款人提前偿付的压力就越强。由分析可知,提前偿付行为可以由现行抵押贷款利率与合同利率的差额得到解释,进而提前偿付率是现行抵押贷款利率与合同利率差额的函数。引进因素变量表示上述利率差额X1=R-c,其中R 表示当月现行市场反向抵押利率; c表示合同利率。
引入X2 代表借款人的年龄。借款人的年龄是提前偿付的另一个非常重要的影响因素。反向抵押贷款中涉及到的寿命,是借款人剩余的寿命,如果借款人贷款时年龄越大,则其贷款年限就越短,每期可贷款就越多,因此, X2 越大, 提前偿付的可能性也越小。(假设X2 ≥60)。
综上所述, 提前偿付率预测模型如下:
假设这些变量都是以指数的形式对基本函数产生影响的, 则可以建立提前偿付模型为:
h(t;λ,α,β, x)=h0( t;λ,α)exp(βx)=λα(λt)α-1exp∑zi=1βixi(2)
其中β=(β1,β2,)是解释变量(协变量) 的回归系数;
λ>0,α>1,β1>0,β2<0;
λ, α, β,均是代表待估计的参数。
由于式(2)存在指数项, 在估计模型参数时, 很不方便。因此, 可以对其两边取对数: lnh (t;λ,α,β, x)=lnh0(t;λ,α)+β1X1+β2X2
这样便建立了提前偿付偿付率的线性回归模型, 采用极大似然法可以估计出模型参数。从上式, 还可以看出, 当两个影响因素均为0时, 提前偿付率就退化为基本危险函数的数值。
由于现在还没有有关反向抵押贷款偿付率的借鉴,我们借用法博齐《抵押贷款手册》第 35章中的1983年GNMA9.00 30年抵押贷款组合的提前偿付率的数据。GNMA 抵押贷款组中的贷款具有相同的抵押利率和到期日。假定有100个抵押贷款的样本,观测期从1987年5月到1994年3月,同时假设样本具有相同的贷款金额 ,在观测期以前该样本组无提前偿付。根据Schwartz ,E. S. & W. N. Torous(1989)文章中对数据的处理方法 ,可以得到41个样本截尾 ,截尾时寿命均为123,其余样本的寿命如下:
45 49 53 55 58 61 64 67 69 72 74 76
78 80 82 84 86 89 90 92 94 96 97 99
100 101 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 113 114 114 115 115 115
116 116 117 117 118 118 119 119 119
120 120 120 121 121 122 122 122
下面给出了参数的极大似然估计,并根据观测信息矩阵得到各个参数的渐近标准差。
= 0.0091 (0.002004) = 3.415(0. 662)
β1^= 0.673 (0.1804)
β2^=0.47(0. 21)
3 实证分析
假设一退休老人拥有一套住房,他的预期剩余寿命为10年,银行合同反向抵押贷款利率为6%,而实际现在的贷款利率为5.5%,则利用上面得到的参数值,得出:
lnh(t;λ,α,β, x) = lnh0(t;λ,α) +β1X1 +β2X2
h0( t;λ,α) = h0( 10;0.0091,3.415)=0.0091×3.415(0.0091×10)2.415=0.01%
lnh0(t;λ,α)= lnh0( 10;0.0091,3.415)=ln0.01%= -9.21
β1X1 +β2X2=0.674×10+0.47×0.5%=6.74
lnh(t;λ,α,β, x) =lnh(10;0.0091,3.415,β, x) =-9.21+6.74=-2.47
h(t;λ,α,β, x) =h(10;0.0091,3.415,β, x)=e-2.74=6.46%
可以得到,给退休老人的提前偿付率为6.46%。
4 结论
本文结合我国的实际国情,在计量经济学模型的基础上,通过构建基于威布尔分布的基本危险函数,并引入利率与合同利率的差、借款者年龄两个解释变量,建立了适合于我国的反向抵押贷款的提前偿付模型。我国银行在运用该模型对提前偿付率进行预测分析时, 可以达到控制和防范提前偿付风险的目的。
参考文献
[1]赵天荣.利率不确定、预期收入与提前偿付测度模型[J]. 长安大学学报(社会科学版),2008,(3).
[2]施方,俞自由,黄保佳.住房抵押贷款的比例提前偿付模型[J].数理统计与管理,2003,(5).
[3]黎子良,郑祖康.生存分析模型[M].杭州:浙江科学技术出版社,1993.
[4]劳立斯著,茆诗松译.寿命数据中的统计模型与方法[M].北京:中国统计出版社,1998.
关键词:反向抵押贷款;利率风险;提前偿付模型
中图分类号:F83
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)05-0181-01
1 研究现状
在国外,对反向抵押贷款中利率风险的研究已经比较成熟了,主要体现在对提前偿付问题的讨论上。提前偿付是指借款人偿付的资金超过了每月计划偿付额, 超出部分将未偿还的本金余额提前偿付。借款人的这种提前偿付行为,直接影响住房抵押支持证券的定价及其投资者的收益率, 使银行面临再融资的风险。
提前偿付问题的讨论主要集中在提前偿付的CPR、PSA指标上, 这些指标都只关注时间的影响, 而忽略了其他一些影响因素;后来出现了基于期权定价理论模型的一些提前偿付的计量经济学模型, 它将提前偿付看作一种看涨期权加入其中, 由于它需要一系列严格的假设条件, 不符合住房反向抵押贷款的提前偿付的实际情况, 而且借款人提前偿付并不像期权理论所预测的那样有规律, 一些非期权相关的因素也是引发或者阻止借款人提前偿付的重要因素;为了解决这些问题, 后来Schwartz & Torous运用比例危险模型来建立提前偿付模型, 他们使用利率差、再融资倾向、季节性因素和歇火现象等四个变量来解释非期权相关的因素, 并且使用Log-logistic分布作为抵押贷款提前偿付的基本危险函数, 比较适合国外反向抵押贷款“时间性”的特点。然而, 该模型的四个影响因素对我国提前偿付影响都不明显, 主要表现在两个方面:
(1) 再融资是由于利率差所刺激的, 在我国情况却刚好相反;
(2) 国外提前偿付的季节性因素、歇火现象在我国体现的并不明显。
由于借款人的偿付行为受到国家社会制度、经济制度、市场经济发展水平、居民消费习惯、文化教育背景等因素的影响, 而我国的各种环境条件与欧美等发达国家存在着很大的差异, 运用国外已有的提前偿付预测方法所得结论与我国实际情况有较大的出入, 因此, 本文在分析国外借款人前偿付计量经济学模型的基础上, 根据我国现阶段国情, 研究了我国借款人住房反向抵押贷款提前偿付率的预测方法。
2 建模过程
下面我们首先构建符合我国国情的基本危险函数, 然后建立住房抵押贷款提前偿付率的预测模型。
2.1 基于威布尔分布的危险函数
在构建中国的基本危险函数需要考虑是中国人的消费习惯。中国自古以来都有这样一种消费心理, 不习惯“寅吃卯粮”, 虽然,老年人选择了用将来的“钱”来实现现在的消费,但是中国人的传统思想还是会影响这种模式的实施, 因此在住房反向抵押贷款过程中,还是很可能出现提前还贷情况的。可以看出,贷款的危险函数(即提前偿付率) 呈现出一种增长的趋势, 因此我们可以运用威布尔分布的危险函数来表示贷款的寿命与提前偿付率之间的这一关系:
h0( t;λ,α) =λα(λt)α-1(1)
h0( t;λ,α) 是服从威布尔分布的危险函数, t为反向抵押贷款经历的时间, 即反向抵押贷款到t时刻提前偿付,其中λ >1,α>1, 均为待估计的参数。显然,威布尔分布的危险函数是单调增加。
2.2 提前偿付模型
我们引入两个变量来表征提前偿付的主要影响因素:
引入X1 代表同行利率与合同利率的差,它是我国提前偿付最重要的影响因素。目前中国住房反向抵押贷款的偿付方式主要是每月等额本息还款。住房抵押贷款期限也较长, 同时,目前中国尚未实现利率市场化,当法定利率发生变化,就要从下一年年初开始按照新利率计算借款人每月的贷款额。如果当前的市场抵押利率低原抵押贷款合同利率,住房价值提高了,理性的借款人可能就会终止合同,提前还贷。合同利率与现行市场抵押利率的差额越大,刺激借款人提前偿付的压力就越强。由分析可知,提前偿付行为可以由现行抵押贷款利率与合同利率的差额得到解释,进而提前偿付率是现行抵押贷款利率与合同利率差额的函数。引进因素变量表示上述利率差额X1=R-c,其中R 表示当月现行市场反向抵押利率; c表示合同利率。
引入X2 代表借款人的年龄。借款人的年龄是提前偿付的另一个非常重要的影响因素。反向抵押贷款中涉及到的寿命,是借款人剩余的寿命,如果借款人贷款时年龄越大,则其贷款年限就越短,每期可贷款就越多,因此, X2 越大, 提前偿付的可能性也越小。(假设X2 ≥60)。
综上所述, 提前偿付率预测模型如下:
假设这些变量都是以指数的形式对基本函数产生影响的, 则可以建立提前偿付模型为:
h(t;λ,α,β, x)=h0( t;λ,α)exp(βx)=λα(λt)α-1exp∑zi=1βixi(2)
其中β=(β1,β2,)是解释变量(协变量) 的回归系数;
λ>0,α>1,β1>0,β2<0;
λ, α, β,均是代表待估计的参数。
由于式(2)存在指数项, 在估计模型参数时, 很不方便。因此, 可以对其两边取对数: lnh (t;λ,α,β, x)=lnh0(t;λ,α)+β1X1+β2X2
这样便建立了提前偿付偿付率的线性回归模型, 采用极大似然法可以估计出模型参数。从上式, 还可以看出, 当两个影响因素均为0时, 提前偿付率就退化为基本危险函数的数值。
由于现在还没有有关反向抵押贷款偿付率的借鉴,我们借用法博齐《抵押贷款手册》第 35章中的1983年GNMA9.00 30年抵押贷款组合的提前偿付率的数据。GNMA 抵押贷款组中的贷款具有相同的抵押利率和到期日。假定有100个抵押贷款的样本,观测期从1987年5月到1994年3月,同时假设样本具有相同的贷款金额 ,在观测期以前该样本组无提前偿付。根据Schwartz ,E. S. & W. N. Torous(1989)文章中对数据的处理方法 ,可以得到41个样本截尾 ,截尾时寿命均为123,其余样本的寿命如下:
45 49 53 55 58 61 64 67 69 72 74 76
78 80 82 84 86 89 90 92 94 96 97 99
100 101 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 113 114 114 115 115 115
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120 120 120 121 121 122 122 122
下面给出了参数的极大似然估计,并根据观测信息矩阵得到各个参数的渐近标准差。
= 0.0091 (0.002004) = 3.415(0. 662)
β1^= 0.673 (0.1804)
β2^=0.47(0. 21)
3 实证分析
假设一退休老人拥有一套住房,他的预期剩余寿命为10年,银行合同反向抵押贷款利率为6%,而实际现在的贷款利率为5.5%,则利用上面得到的参数值,得出:
lnh(t;λ,α,β, x) = lnh0(t;λ,α) +β1X1 +β2X2
h0( t;λ,α) = h0( 10;0.0091,3.415)=0.0091×3.415(0.0091×10)2.415=0.01%
lnh0(t;λ,α)= lnh0( 10;0.0091,3.415)=ln0.01%= -9.21
β1X1 +β2X2=0.674×10+0.47×0.5%=6.74
lnh(t;λ,α,β, x) =lnh(10;0.0091,3.415,β, x) =-9.21+6.74=-2.47
h(t;λ,α,β, x) =h(10;0.0091,3.415,β, x)=e-2.74=6.46%
可以得到,给退休老人的提前偿付率为6.46%。
4 结论
本文结合我国的实际国情,在计量经济学模型的基础上,通过构建基于威布尔分布的基本危险函数,并引入利率与合同利率的差、借款者年龄两个解释变量,建立了适合于我国的反向抵押贷款的提前偿付模型。我国银行在运用该模型对提前偿付率进行预测分析时, 可以达到控制和防范提前偿付风险的目的。
参考文献
[1]赵天荣.利率不确定、预期收入与提前偿付测度模型[J]. 长安大学学报(社会科学版),2008,(3).
[2]施方,俞自由,黄保佳.住房抵押贷款的比例提前偿付模型[J].数理统计与管理,2003,(5).
[3]黎子良,郑祖康.生存分析模型[M].杭州:浙江科学技术出版社,1993.
[4]劳立斯著,茆诗松译.寿命数据中的统计模型与方法[M].北京:中国统计出版社,1998.