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我校在高二下学期的一次考试中，有这样一道排列组合题：将一枚硬币抛掷10次，至少连续5次出现正面的不同情况有多少种？
一、错解
错解1、利用联想抛掷情景，可将抛掷的结果分为6类。
第一类:恰有5个连续正面，共有6个不同情况，即1--5，2--6，3--7，4--8，5--9，6--10;
第二类:恰有6个连续正面，共有5种不同情况，即1--6，2--7，3--8，4--9，5--10;
第三类:恰有7个连续正面，共有4种不同情况，即1--7，2--8，3--9，4--10;
第四类:恰有8个连续正面，共有3种不同情况，即1--8，2--9，3--10;
第五类:恰有9个连续正面，共有2种不同情况，即1--9，2-10;
第六类:恰有10个连续正面，共有1种不同情况，即1--10。
按照分类计数原理，共有21种不同的情况。
错解2、用捆绑法，分两步：
第一步，将连续正面的5次抛掷捆绑成一个元素，其余5次的抛掷之间产生6个空，选一个空将捆绑的元素插入，有6种不同的插法;
第二步，余下5次抛掷，每一次都有正反两种不同的结果，共有2 种不同的结果。
按照分步计数原理，共有6×2 =192种不同的结果。
二、错因分析
错解1、只考虑连续正面的情况，未从本题要求10次抛掷进行整体思考，忽略了其余五次的不同结果。例如，第一类:恰有5次连续正面，如果是1--5连续正面，那么应继续考虑第6，7，8，9，10次抛掷的结果。而第6次必须为正面，其余几次都有正反两种不同的结果，所以，1--5连续正面应有2 种不同的结果。
错解2、在捆绑插入中没有进一步考虑是否有重复情况发生。例如：捆绑在一起的5次正面在插空时，如果插在第一个空(不妨设左边第一个空为六个中的第一个空，其他依次类推)，此时连续6次，7次，8次，9次，10次连续正面都会发生;如果插在第二个空，则这个空前面的抛掷也可能为正面，后面的抛掷也可能为正面，故6次，7次，8次，9次，10次连续正面又会发生，即连续6、7、8、9、10次连续正面被重复。当插入第三个空时，连续7次，8次，9次，10次连续正面的情况又发生重复。所以192种不同的结果里包含了很多重复结果，重复现象的计算也比较复杂。
三、正解
利用联想抛掷情景解之，分六类：
第一类、恰有5次连续正面。
当1--5为正面时，第6次必须为反面，第7，8，9，10次均可为正或反，故共有2 种不同的结果;6--10与1--5情形相同，故也有2种不同的结果。
当2--6为正面时，第1次，第7次必须为反面，余下的第8，9，10次各有两种情况，故共有2 种不同的结果。3--7，4--8，5--9与它相同，也有2 种不同的结果。
所以，恰有5次连续正面共有2×2＋4×2=64种不同的结果。
与上面方法相同，不难得到:
第二类:恰有6次连续正面共有2×2＋3×2 =28种不同的结果。
第三类:恰有7次连续正面共有2×2＋2×2 =12种不同的结果。
第四类:恰有8次连续正面共有2×2＋1=5种不同的结果。
第五类:恰有9次连续正面共有2种不同的结果。
第六类:恰有10次连续正面有1种不同的结果。
根据分类计数原理至少出现连续5次正面向上的不同情况共有112种。
四、错因思考及对策
排列、组合是高中学习的一个难点。这个难点主要体现在:1、对问题的整体把握。2、对题目中一些细微处的理解；3、解决问题过程中易出现重复或遗漏。4、解题方法独特等方面。
由此题的解题情况分析，有的学生没有从整体上进行思考;有的学生在问题初步解决后没有进一步思考是否有遗漏或重复。反应出学生在基础知识和技能的掌握上不扎实，做题急噪。
为了在以后解决排列、组合问题时避免错误，可以采取以下对策:第一、认真读题。对题中的已知条件和要解决的问题一定要很明晰，并把题中的细微之处划出来，反复咀嚼，理解。第二、在解决问题之前先问自己:本题是要完成什么事，怎样才算完成，最后才是如何做才能完成。这样可以有效避免考虑问题的片面性，很自然的从整体上把握了问题。第三、在寻求到解决问题的方法后，不要急于下笔，看看有没有重复或遗漏。因为有些遗漏或重复不易发现，我建议学生联想所做事情的情景，并把联想情景用数学语言表达，可以检验结果中有无重复或遗漏。第四，学习多种解题方法，从不同角度相互印解题的正误。
本题在考试中学生做错的很多，这是本文产生的初因。在对问题的解决过程中，笔者发现其他方法比文中的方法还繁杂。故在此借本文抛砖引玉，寻求更好更简捷的解决方法，请各位同仁不吝赐教。
(作者单位:715000陕西省安康市第二中学)
一、错解
错解1、利用联想抛掷情景，可将抛掷的结果分为6类。
第一类:恰有5个连续正面，共有6个不同情况，即1--5，2--6，3--7，4--8，5--9，6--10;
第二类:恰有6个连续正面，共有5种不同情况，即1--6，2--7，3--8，4--9，5--10;
第三类:恰有7个连续正面，共有4种不同情况，即1--7，2--8，3--9，4--10;
第四类:恰有8个连续正面，共有3种不同情况，即1--8，2--9，3--10;
第五类:恰有9个连续正面，共有2种不同情况，即1--9，2-10;
第六类:恰有10个连续正面，共有1种不同情况，即1--10。
按照分类计数原理，共有21种不同的情况。
错解2、用捆绑法，分两步：
第一步，将连续正面的5次抛掷捆绑成一个元素，其余5次的抛掷之间产生6个空，选一个空将捆绑的元素插入，有6种不同的插法;
第二步，余下5次抛掷，每一次都有正反两种不同的结果，共有2 种不同的结果。
按照分步计数原理，共有6×2 =192种不同的结果。
二、错因分析
错解1、只考虑连续正面的情况，未从本题要求10次抛掷进行整体思考，忽略了其余五次的不同结果。例如，第一类:恰有5次连续正面，如果是1--5连续正面，那么应继续考虑第6，7，8，9，10次抛掷的结果。而第6次必须为正面，其余几次都有正反两种不同的结果，所以，1--5连续正面应有2 种不同的结果。
错解2、在捆绑插入中没有进一步考虑是否有重复情况发生。例如：捆绑在一起的5次正面在插空时，如果插在第一个空(不妨设左边第一个空为六个中的第一个空，其他依次类推)，此时连续6次，7次，8次，9次，10次连续正面都会发生;如果插在第二个空，则这个空前面的抛掷也可能为正面，后面的抛掷也可能为正面，故6次，7次，8次，9次，10次连续正面又会发生，即连续6、7、8、9、10次连续正面被重复。当插入第三个空时，连续7次，8次，9次，10次连续正面的情况又发生重复。所以192种不同的结果里包含了很多重复结果，重复现象的计算也比较复杂。
三、正解
利用联想抛掷情景解之，分六类：
第一类、恰有5次连续正面。
当1--5为正面时，第6次必须为反面，第7，8，9，10次均可为正或反，故共有2 种不同的结果;6--10与1--5情形相同，故也有2种不同的结果。
当2--6为正面时，第1次，第7次必须为反面，余下的第8，9，10次各有两种情况，故共有2 种不同的结果。3--7，4--8，5--9与它相同，也有2 种不同的结果。
所以，恰有5次连续正面共有2×2＋4×2=64种不同的结果。
与上面方法相同，不难得到:
第二类:恰有6次连续正面共有2×2＋3×2 =28种不同的结果。
第三类:恰有7次连续正面共有2×2＋2×2 =12种不同的结果。
第四类:恰有8次连续正面共有2×2＋1=5种不同的结果。
第五类:恰有9次连续正面共有2种不同的结果。
第六类:恰有10次连续正面有1种不同的结果。
根据分类计数原理至少出现连续5次正面向上的不同情况共有112种。
四、错因思考及对策
排列、组合是高中学习的一个难点。这个难点主要体现在:1、对问题的整体把握。2、对题目中一些细微处的理解；3、解决问题过程中易出现重复或遗漏。4、解题方法独特等方面。
由此题的解题情况分析，有的学生没有从整体上进行思考;有的学生在问题初步解决后没有进一步思考是否有遗漏或重复。反应出学生在基础知识和技能的掌握上不扎实，做题急噪。
为了在以后解决排列、组合问题时避免错误，可以采取以下对策:第一、认真读题。对题中的已知条件和要解决的问题一定要很明晰，并把题中的细微之处划出来，反复咀嚼，理解。第二、在解决问题之前先问自己:本题是要完成什么事，怎样才算完成，最后才是如何做才能完成。这样可以有效避免考虑问题的片面性，很自然的从整体上把握了问题。第三、在寻求到解决问题的方法后，不要急于下笔，看看有没有重复或遗漏。因为有些遗漏或重复不易发现，我建议学生联想所做事情的情景，并把联想情景用数学语言表达，可以检验结果中有无重复或遗漏。第四，学习多种解题方法，从不同角度相互印解题的正误。
本题在考试中学生做错的很多，这是本文产生的初因。在对问题的解决过程中，笔者发现其他方法比文中的方法还繁杂。故在此借本文抛砖引玉，寻求更好更简捷的解决方法，请各位同仁不吝赐教。
(作者单位:715000陕西省安康市第二中学)