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摘要：在2017年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，执教《函数的奇偶性》一课的选手创设的问题情境主要有“现实生活”“单刀直入”“认知冲突”“方法引领”四种类型；帮助学生建构概念时主要有“快速滑过”“一步到位”两个问题；引导学生应用知识时主要有“仅设置教材中的例1”“增加概念辨析和教材中的例2”“增加根据奇偶性画图的练习”“增加既是奇函数又是偶函数的问题”四种做法。针对普遍存在的问题提出教学建议：自主而不是控制；真思而不是诱思；建构而不是解读。
关键词：函数的奇偶性问题情境概念建构知识应用
两年一度的江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，为青年才俊搭建了很好的展示才华的平台，为高中数学教育工作者提供了极为丰富和精彩的研究素材，有力地推动了高中数学课堂教学的改革。高中数学教育工作者应该在这项活动中合作交流、内化吸收，促进自身教学水平的不断提升。
在2017年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，来自全省13个大市的13名选手分两组执教了高一的课，课题为“函数的奇偶性”。作为此次活动高一组的评委之一，纵观这13节课，笔者有如下认识。
一、课题理解与赛前期盼
“函数的奇偶性”是学生在学习函数的单调性后要学习的又一个重要性质。笔者认为，这节课的教学重点是从函数图像的对称特征中抽象建构出奇偶函数的概念。上好这节课，要明晰两条主线：一条是知识生成的主线，这是一条明线；另一条是函数性质研究的一般方法主线，这是一条暗线。我们希望学生学完单调性、奇偶性后，能够在此基础上掌握函数性质研究的一般范式，形成函数性质研究的基本活动经验。
比赛之前，笔者参与了南通市赛课教师的备课工作，见证了教师们为比赛做出的种种辛苦努力，深感上好课不易。对本次比赛，笔者怀有很多期盼：期盼着学生的主体地位能真正得到落实，能呈现精彩的数学活动；期盼着数学抽象、符号化的过程能有创新的做法，能产生引领性的教学范式；期盼着数学运用能关注“四基”，既不唯高考，但又能落地生根……
二、赛况反馈
（一）关于问题情境
本次比赛中选手创设的问题情境主要有以下四种类型：
第一种是现实生活型：从现实生活中的对称现象切入，然后转到数学中的对称问题。例如：
你能从以下图片（图1）中感受到怎样的对称之美？
我们现在正在学习的函数图像，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了圖像对称的美感呢？
从数学外部问题过渡到数学内部问题，这种情境是自然的，符合“用数学的眼光观察世界”这一理念。很多教师在创设问题情境时比较习惯这种做法，但是这节课并不完全适用。学生在初中阶段研究轴对称和中心对称时，早已对生活中的对称现象进行了较广泛的研究。本节课若再浓墨重彩地从生活情境入手，对高中学生的认知基础来说，则显得有些幼稚了。
第二种是单刀直入型：直接从数学内部问题出发，通过f（x）=x2，f（x）=1x等函数的图像，直接引出函数图像的对称性，直奔主题。例如：
观察下列函数的图像（图2），除了得到函数的单调性之外，你还有什么发现？
这种做法的优点在于简明高效，能迅速切入主题；不足之处在于不利于揭示“为什么要学习奇偶性”这一问题。
第三种是认知冲突型：从数学内部问题出发，呈现学生相对陌生、图像未知的函数，引发学生的认知冲突，最后首尾呼应；或呈现从直观上不能准确判断对称性、容易引起视觉误差的图像。分别例如：
设计1你能判断函数f（x）=x4+3x2的图像的对称性吗？
设计2若下列（图3）图（1）、图（2）分别表示函数的图像，你能判断函数图像是否对称吗？你是如何判断的？
这种认知冲突型问题情境有效地解决了“为什么要学习奇偶性”这一问题，能够形成认知冲突，激发学生的探究欲望。
第四种是方法引领型：回顾单调性研究的历程，提炼从图像特征中进行数学抽象、符号化函数性质的一般方法，以此指导奇偶性的探究。例如：
阅读下表（表1）中的函数图像，完成表格。
执教教师从学生已经学过的函数单调性出发，唤起学生对函数图像增减特征与数学语言之间关系的记忆；然后将两个图像合二为一，引发学生对对称性问题的进一步研究，实现从基本活动经验到数学概念的迁移。这种“方法引领，任务驱动”的做法，是一种“先行组织者”策略，是基本活动经验迁移的有效措施。
（二）关于概念建构
帮助学生建构偶函数概念时，选手基本上都采用了由特殊到一般的方式，而对于奇函数概念，则采用了类比的方法。但是，选手对于由特殊到一般的理解并不完全一致。笔者认为，本节课的由特殊到一般体现在两个方面：一方面由特殊函数到一般函数，另一方面由特殊点到一般点。但是，实际教学中存在以下两个问题：
一种是淡化建构过程，由特殊点简单归纳，特殊函数稍做说明，即得出一般结论，有滑过现象。例如：
出示任务：已知函数f（x）=x2，请计算一组函数值（如表2）。
x-2-1-121212f（x）出示问题：通过填表，你有什么发现？（f（-x）=f（x））
追问：对定义域R内的每一个值，这个等式都成立吗？
追问：你能证明这个结论吗？
出示问题：你能用文字语言描述等式f（-x）=f（x）吗？
出示问题：你能给偶函数下个定义吗？
板书提炼：如图4。
执教教师意图从一个“低起点”的计算函数值问题开始，让学生经历观察、归纳、概括、论证的数学发现过程，感受数量关系对函数图像对称性的精确刻画。教学过程顺畅，板书提炼清晰深刻，但是研究过程思维量不大，学生在教师铺设的研究道路上顺利前行，没能充分发挥数学建构在思维训练中应发挥的作用。 另一种是与前一种情况相反，一般性研究过于抽象，完全从一般函数、一般点入手，追求一步到位。例如：
出示问题：图像可以看作是满足某种条件的点的集合，如何从点的角度描述“图像关于y轴对称”？
得到研究方案1：在关于y轴对称的函数y=f（x）的图像上任取一点P（x，f（x）），那么在图像上一定存在点P′（-x，f（-x）），P′与P关于y轴对称，两个点的坐标关系为f（-x）=f（x）。
得到研究方案2：在关于y轴对称的函数y=f（x）的图像上取一个点（x，f（x）），则它关于y轴的对称点（-x，f（x））一定在函数的图像上，所以有f（-x）=f（x）。
以上问题较好地揭示了对称性的本质，反映了教师良好的研究素养。但是，高一学生没有解析几何学习的基础，这样的要求超越了学生的能力水平。
（三）关于知识应用
本次比赛中，选手设计的应用问题能级要求不尽相同，主要存在以下四种做法。
第一种是仅设置了教材中的例1（例1题目见下）。
执教教师重视了数学建构的过程，在建构中重视理清“为什么学”“怎么学”，但是由于教学过程略显拖沓，导致基础训练未能完成。课堂教学中，固然应重视“为什么学”“怎么学”，同时要关注“如何用”。学以致用，才能帮助学生有效巩固。
第二种是设置了概念辨析和教材中的例1、例2：
概念辨析对于定义在R上的函数f（x），下列判断是否正确？
（1）若f（x）是偶函数，则f（-2）=f（2）；
（2）若f（-2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；
（3）若f（-2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数。
例1判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
（1）f（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x；
（3）f（x）=2|x|；
（4）f（x）=（x-1）2。
例2判断函数f（x）=x3+5x是否具有奇偶性。
总结你能总结一下判断函数奇偶性的主要步骤吗？（得到图5）
执教教师通过问题的解决，加深概念的理解，总结判断奇偶性的方法和一般步骤，题量适中，重视基础知识的達成训练。笔者认为这种要求比较合适。
第三种是增加了根据奇偶性画图的练习：
练习已知函数y=f（x）的定义域为R，根据函数的奇偶性，补充完整函数图像：
（1）f（x）为偶函数（如图6）；
（2）f（x）为奇函数（如图7）。
这种练习丰富了函数奇偶性的简单应用，加深了对概念的理解。用时不多，作为必要的补充，不失为一种比较好的做法。
第四种是在研究了既不是奇函数也不是偶函数的问题之后，又提出既是奇函数又是偶函数的问题：
问题判定函数f（x）=（x-1）2是否为偶函数或奇函数。
追问是否存在既是奇函数、又是偶函数的函数，你能举出这样的例子吗？
总结奇函数与偶函数的分类关系如下（图8）。
以上教学设计具有整体性，彰显了教师的研究能力。但是，通过举反例的方式解决上面的例题，对于初学者来说，在理解上存在较大的难度。这节课提出既是奇函数、又是偶函数这一问题的研究，要求有些高了，建议在第2课时进行相关研究。
（四）关于总结提炼
本次比赛中，各位选手均比较重视在教学的各个环节做好必要的总结提炼，尽量做到融深刻性、结构性、可视性于一体。
在概念建构环节，除了图4所示的总结提炼，令人印象深刻的还有图9所示的总结提炼。
在数学应用环节，除了图5、图8所示的总结提炼，令人印象深刻的还有图10所示的总结提炼。
此外，在课堂总结环节，令人印象深刻的还有图11、图12所示的提炼总结。图10
三、教学建议
本次赛课中虽然出现了不少亮点，但是从课标落实、素养达成等高标准、严要求的角度看，能视作范例的课尚不多见。针对普遍存在的问题提出如下建议：
（一）自主而不是控制
在比赛中，普遍存在“教师控制、再控制”的现象。教师过于强势，扼杀了学生的创造性。课堂主要看的是学生的聪明才智，而不能仅有教师的聪明才智。课堂教学中，我们应给予学生足够的自主空间。这种自主表现为：问题要让学生自主发现，研究方案要让学生自主确定，研究过程要让学生亲自经历，研究结果要让学生自主提炼。教师在研究中，应充当好合作者、指导者，而不是牵引者、控制者。
（二）真思而不是诱思
在课堂上，可以采用问题串的形式引导学生思考。但是，提出的问题必须是核心问题、主干问题，要有引领作用、思考价值，台阶不宜太小，不能稚化学生的思维。只有当学生遇到障碍时，教师才能根据最近发展区原则，结合实际困难将核心问题分解成若干子问题，适当降低思维难度，搭建必要的探究“脚手架”。
教育研究与评论中学教育教学/2017年第12期本刊特稿（三）建构而不是解读
概念是基于问题建构、探究出来的，必须重视建构、探究的过程。学生数学素养的培养以及对数学本质的理解都是在建构、生成的过程中逐渐形成的。教学中应坚决摒弃那种忽视过程、简单呈现结论，然后采用关键词解读法对概念进行解释的做法。这种做法替代了学生的真学习，不利于数学思维的培养。
关键词：函数的奇偶性问题情境概念建构知识应用
两年一度的江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，为青年才俊搭建了很好的展示才华的平台，为高中数学教育工作者提供了极为丰富和精彩的研究素材，有力地推动了高中数学课堂教学的改革。高中数学教育工作者应该在这项活动中合作交流、内化吸收，促进自身教学水平的不断提升。
在2017年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，来自全省13个大市的13名选手分两组执教了高一的课，课题为“函数的奇偶性”。作为此次活动高一组的评委之一，纵观这13节课，笔者有如下认识。
一、课题理解与赛前期盼
“函数的奇偶性”是学生在学习函数的单调性后要学习的又一个重要性质。笔者认为，这节课的教学重点是从函数图像的对称特征中抽象建构出奇偶函数的概念。上好这节课，要明晰两条主线：一条是知识生成的主线，这是一条明线；另一条是函数性质研究的一般方法主线，这是一条暗线。我们希望学生学完单调性、奇偶性后，能够在此基础上掌握函数性质研究的一般范式，形成函数性质研究的基本活动经验。
比赛之前，笔者参与了南通市赛课教师的备课工作，见证了教师们为比赛做出的种种辛苦努力，深感上好课不易。对本次比赛，笔者怀有很多期盼：期盼着学生的主体地位能真正得到落实，能呈现精彩的数学活动；期盼着数学抽象、符号化的过程能有创新的做法，能产生引领性的教学范式；期盼着数学运用能关注“四基”，既不唯高考，但又能落地生根……
二、赛况反馈
（一）关于问题情境
本次比赛中选手创设的问题情境主要有以下四种类型：
第一种是现实生活型：从现实生活中的对称现象切入，然后转到数学中的对称问题。例如：
你能从以下图片（图1）中感受到怎样的对称之美？
我们现在正在学习的函数图像，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了圖像对称的美感呢？
从数学外部问题过渡到数学内部问题，这种情境是自然的，符合“用数学的眼光观察世界”这一理念。很多教师在创设问题情境时比较习惯这种做法，但是这节课并不完全适用。学生在初中阶段研究轴对称和中心对称时，早已对生活中的对称现象进行了较广泛的研究。本节课若再浓墨重彩地从生活情境入手，对高中学生的认知基础来说，则显得有些幼稚了。
第二种是单刀直入型：直接从数学内部问题出发，通过f（x）=x2，f（x）=1x等函数的图像，直接引出函数图像的对称性，直奔主题。例如：
观察下列函数的图像（图2），除了得到函数的单调性之外，你还有什么发现？
这种做法的优点在于简明高效，能迅速切入主题；不足之处在于不利于揭示“为什么要学习奇偶性”这一问题。
第三种是认知冲突型：从数学内部问题出发，呈现学生相对陌生、图像未知的函数，引发学生的认知冲突，最后首尾呼应；或呈现从直观上不能准确判断对称性、容易引起视觉误差的图像。分别例如：
设计1你能判断函数f（x）=x4+3x2的图像的对称性吗？
设计2若下列（图3）图（1）、图（2）分别表示函数的图像，你能判断函数图像是否对称吗？你是如何判断的？
这种认知冲突型问题情境有效地解决了“为什么要学习奇偶性”这一问题，能够形成认知冲突，激发学生的探究欲望。
第四种是方法引领型：回顾单调性研究的历程，提炼从图像特征中进行数学抽象、符号化函数性质的一般方法，以此指导奇偶性的探究。例如：
阅读下表（表1）中的函数图像，完成表格。
执教教师从学生已经学过的函数单调性出发，唤起学生对函数图像增减特征与数学语言之间关系的记忆；然后将两个图像合二为一，引发学生对对称性问题的进一步研究，实现从基本活动经验到数学概念的迁移。这种“方法引领，任务驱动”的做法，是一种“先行组织者”策略，是基本活动经验迁移的有效措施。
（二）关于概念建构
帮助学生建构偶函数概念时，选手基本上都采用了由特殊到一般的方式，而对于奇函数概念，则采用了类比的方法。但是，选手对于由特殊到一般的理解并不完全一致。笔者认为，本节课的由特殊到一般体现在两个方面：一方面由特殊函数到一般函数，另一方面由特殊点到一般点。但是，实际教学中存在以下两个问题：
一种是淡化建构过程，由特殊点简单归纳，特殊函数稍做说明，即得出一般结论，有滑过现象。例如：
出示任务：已知函数f（x）=x2，请计算一组函数值（如表2）。
x-2-1-121212f（x）出示问题：通过填表，你有什么发现？（f（-x）=f（x））
追问：对定义域R内的每一个值，这个等式都成立吗？
追问：你能证明这个结论吗？
出示问题：你能用文字语言描述等式f（-x）=f（x）吗？
出示问题：你能给偶函数下个定义吗？
板书提炼：如图4。
执教教师意图从一个“低起点”的计算函数值问题开始，让学生经历观察、归纳、概括、论证的数学发现过程，感受数量关系对函数图像对称性的精确刻画。教学过程顺畅，板书提炼清晰深刻，但是研究过程思维量不大，学生在教师铺设的研究道路上顺利前行，没能充分发挥数学建构在思维训练中应发挥的作用。 另一种是与前一种情况相反，一般性研究过于抽象，完全从一般函数、一般点入手，追求一步到位。例如：
出示问题：图像可以看作是满足某种条件的点的集合，如何从点的角度描述“图像关于y轴对称”？
得到研究方案1：在关于y轴对称的函数y=f（x）的图像上任取一点P（x，f（x）），那么在图像上一定存在点P′（-x，f（-x）），P′与P关于y轴对称，两个点的坐标关系为f（-x）=f（x）。
得到研究方案2：在关于y轴对称的函数y=f（x）的图像上取一个点（x，f（x）），则它关于y轴的对称点（-x，f（x））一定在函数的图像上，所以有f（-x）=f（x）。
以上问题较好地揭示了对称性的本质，反映了教师良好的研究素养。但是，高一学生没有解析几何学习的基础，这样的要求超越了学生的能力水平。
（三）关于知识应用
本次比赛中，选手设计的应用问题能级要求不尽相同，主要存在以下四种做法。
第一种是仅设置了教材中的例1（例1题目见下）。
执教教师重视了数学建构的过程，在建构中重视理清“为什么学”“怎么学”，但是由于教学过程略显拖沓，导致基础训练未能完成。课堂教学中，固然应重视“为什么学”“怎么学”，同时要关注“如何用”。学以致用，才能帮助学生有效巩固。
第二种是设置了概念辨析和教材中的例1、例2：
概念辨析对于定义在R上的函数f（x），下列判断是否正确？
（1）若f（x）是偶函数，则f（-2）=f（2）；
（2）若f（-2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；
（3）若f（-2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数。
例1判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
（1）f（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x；
（3）f（x）=2|x|；
（4）f（x）=（x-1）2。
例2判断函数f（x）=x3+5x是否具有奇偶性。
总结你能总结一下判断函数奇偶性的主要步骤吗？（得到图5）
执教教师通过问题的解决，加深概念的理解，总结判断奇偶性的方法和一般步骤，题量适中，重视基础知识的達成训练。笔者认为这种要求比较合适。
第三种是增加了根据奇偶性画图的练习：
练习已知函数y=f（x）的定义域为R，根据函数的奇偶性，补充完整函数图像：
（1）f（x）为偶函数（如图6）；
（2）f（x）为奇函数（如图7）。
这种练习丰富了函数奇偶性的简单应用，加深了对概念的理解。用时不多，作为必要的补充，不失为一种比较好的做法。
第四种是在研究了既不是奇函数也不是偶函数的问题之后，又提出既是奇函数又是偶函数的问题：
问题判定函数f（x）=（x-1）2是否为偶函数或奇函数。
追问是否存在既是奇函数、又是偶函数的函数，你能举出这样的例子吗？
总结奇函数与偶函数的分类关系如下（图8）。
以上教学设计具有整体性，彰显了教师的研究能力。但是，通过举反例的方式解决上面的例题，对于初学者来说，在理解上存在较大的难度。这节课提出既是奇函数、又是偶函数这一问题的研究，要求有些高了，建议在第2课时进行相关研究。
（四）关于总结提炼
本次比赛中，各位选手均比较重视在教学的各个环节做好必要的总结提炼，尽量做到融深刻性、结构性、可视性于一体。
在概念建构环节，除了图4所示的总结提炼，令人印象深刻的还有图9所示的总结提炼。
在数学应用环节，除了图5、图8所示的总结提炼，令人印象深刻的还有图10所示的总结提炼。
此外，在课堂总结环节，令人印象深刻的还有图11、图12所示的提炼总结。图10
三、教学建议
本次赛课中虽然出现了不少亮点，但是从课标落实、素养达成等高标准、严要求的角度看，能视作范例的课尚不多见。针对普遍存在的问题提出如下建议：
（一）自主而不是控制
在比赛中，普遍存在“教师控制、再控制”的现象。教师过于强势，扼杀了学生的创造性。课堂主要看的是学生的聪明才智，而不能仅有教师的聪明才智。课堂教学中，我们应给予学生足够的自主空间。这种自主表现为：问题要让学生自主发现，研究方案要让学生自主确定，研究过程要让学生亲自经历，研究结果要让学生自主提炼。教师在研究中，应充当好合作者、指导者，而不是牵引者、控制者。
（二）真思而不是诱思
在课堂上，可以采用问题串的形式引导学生思考。但是，提出的问题必须是核心问题、主干问题，要有引领作用、思考价值，台阶不宜太小，不能稚化学生的思维。只有当学生遇到障碍时，教师才能根据最近发展区原则，结合实际困难将核心问题分解成若干子问题，适当降低思维难度，搭建必要的探究“脚手架”。
教育研究与评论中学教育教学/2017年第12期本刊特稿（三）建构而不是解读
概念是基于问题建构、探究出来的，必须重视建构、探究的过程。学生数学素养的培养以及对数学本质的理解都是在建构、生成的过程中逐渐形成的。教学中应坚决摒弃那种忽视过程、简单呈现结论，然后采用关键词解读法对概念进行解释的做法。这种做法替代了学生的真学习，不利于数学思维的培养。