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“一课多磨”对绝大多数的一线教师来说再熟悉不过，查阅相关材料易知用“磨”组词可以有数十种之多，本文仅从“研磨”“磨炼”和“磨合”三个方面简要叙述“磨课”活动的价值。就此内容，在《云南教育》2018年第9期“基于‘一课多Mo’的小学数学深度教学研究（一）”一文中已初略介绍，在这里将对其内涵及价值试图详细说明。
一、关于“一课多磨”
1.“研磨”一词的本意主要有两个，一是指“用工具研成粉末”;还可指“用磨料摩擦器物使变得光洁”。用在教学中专指使用教学理念和教学方法、技术不断对所教知识和学生（教学对象）进行研究、琢磨、打磨，使其适用、合理、有效。
2.“磨炼”是指在艰难困苦环境中经受锻炼或者指在工作中刻意磨炼自己。可简单理解为被动磨炼和主动磨炼，这两者对普通老师来说是二者皆有、相互作用并不断促进和发展变化的。
3.“磨合”指的是一个团队（数学组、教研组或备课组）在磨课过程中经过各种碰撞、摩擦，摒弃差异，不断调整、改善，融合后达成共识。如，昆明市五华区红旗小学的磨课团队在研究“相遇问题”针对课后练习是否需要拓展并沟通联系产生了很大的分歧，最后通过实践达成了一致;红云小学的磨课团队在研究“5的乘法口诀”一课时，经历了所谓“传统派”和“新生代”的焦点之战，“传统派”坚定地认为这是学生与乘法口诀的第一次“相遇”，教学重点应该放在通过乘法意义编口诀、记口诀;“新生代”却认为学生对“一五得五，二五一十”等口诀早已接触过抑或烂熟于胸，应该从学生的认知起点出发，不必花过多精力于此！而是应该重在体验口诀运用之巧妙，感悟数学之美妙！教师直奔主题，学生说出口诀后，教师根据学生原有认知深度挖掘对口诀的理解，出现了不同层次的多种解释，加法、乘法、举例说明、用图示描述等。学生可根据三五十五对应的点子图，知道用它既可以计算3×5，也可以计算5×3，一句口诀可以完成两个算式的计算水到渠成，而不是教师直接告诉学生。通过磨课活动的多次“过招”，最后达成共识，聚焦目标，团队磨合，精诚所至金石为开！
我坚信：一课多磨，好课多磨，磨出好课，磨出好人！
事实亦如此。
因为自古以来各行各业的实践就总结出了极其宝贵的经验，其他不说，仅从古诗词中即可找寻其踪迹。如，“只要功夫深，铁杵磨成针。”“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。”“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。”如此等等。
有一句出自诗经《诗经·卫风·淇奥》的名句“有匪君子，如切如磋，如琢如磨”，指的是君子的自我修养就像加工骨器，切了还要磋;就像加工玉器，琢了还得磨！优秀的教师一定是愿意并善于切磋琢磨教学的，高效的课堂也一定是经过精心雕琢的或者是优秀教师的自然呈现。正如清朝蒲松龄在《聊斋志异·阿宝》中所说“书痴者文必工，艺痴者技必良”。可以这样说，但凡得到公认的优秀教师无一不是“文工技良”的“教痴者”，至少在某一方面达到了此境界。
“磨出好人”意指磨出好老师。总的来说，除了极少数天资聪颖、悟性超群者之外，大部分好老师都是“磨”出来的！关键问题是磨什么？怎么磨？其实这两个问题实在大得很，一时半会儿无法回答清楚，甚至可以说涉及整个职业生涯的全过程，包含教育心理学、课程论、工作环境、工作态度、敬业精神、团队力量、专业引领等几乎所有可能与教学直接相关的因素。但在这个实践过程中教师只能结合实际情况对小学数学教学如何进行“一课多磨”的研究，以提高或促进深度教学的达成。
二、基于“一课多磨”的深度教学案例
基于“一课多磨”，在此，仅举一例谈谈如何整体把握教材，深度研读细节，改进教学行为。
磨课理念：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”（弗赖登塔尔），暴露出学生的认知起点，经历知识的创生过程，引领课堂的创造生成，智达数学的目标内化。
案例：分数的意义
这是五年级下册的教学内容，整体通读教材（以“人教版”为例）后，才发现真正理解分数概念是小学数学学习中最为困难的内容，千万不要以为知道教材中有关分数的定义（尽管是描述性定义）就行了，更为重要的是在教材循序渐进、螺旋上升的编排中理解分数的五种含义：
（1）表示部分与整体的关系;
（2）表示两个数（量）相除的结果;
（3）测量（用分数单位度量）;
（4）分数是一种运算;
（5）表示数轴上的一个数值或点。
实际上：这五种含义在教材中都有体现（本文不作详细分析），但是因为教材分别在三年级上册的“分数的初步认识”单元和五年级下册的“分数的意义和性质”单元的编排中把分数表示“部分与整体的关系”作为分数的概念呈现出来，在教学中理所当然得到了大家的“厚爱”，不断强化，以致于分数的其他含义没有得到应有的重视从而更好地突显出来，这势必极大地影响着后续的教学（特别是有关分数的问题解决）。正是源于此，我们认真分析教材后发现，本节课中一个看似不起眼或者说无足轻重的编排被我们忽视了。请看五年级教材：
实际教学中很多老师都按照习惯了的方式，自己直接给学生各种素材资源进行教学，忽视或忽略了“小精灵”这句话的价值及含义：最大的价值在于可以试图改变至少80%以上老师的教学行为，进行分数意义的教学不应该也没有必要由教师提供素材，学生按部就班地被动执行教师布置的任务。
最大的困难在于普通教师所能参考的教案中几乎都没有注意并重视其深刻用意。当然很多老师也不大喜欢真正从学生现实起点进行教学，因为这样的课堂变数太多，无法驾驭不稳定因素。总喜欢（只愿意）根据之前备课的思路进行教学。
想要改变惯常的行为和固定的思维极其艰难！
先看看关于分数在三年级已經学到了什么程度？这就是现在学习起点（即认知起点），五年级应该学什么、怎么学？这是本节课的学习目标。关于认知起点和学习目标之间的关系可以用下图来表示： 就这个内容而言看似学生的现实起点明显高于逻辑起点，我认为其实不然，反而是对教材理解、研磨不透甚至不到位所致，逻辑起点就是五年级教材编排的学习内容，现实起点是五年级学生对三年级学习内容的理解和掌握情况，这完全根据教师的教学而定，所以这段距离可能因教师、学生的情况不同而有较大差异。
其实，在三年级的教材中就已有这样的内容，例2（图4）是用一张纸折出四分之一，例4（图5）是涂色表示四分之几：
所以，五年级教材中（图2）的前三个图就是回忆之前学习过的内容，接下来研究“这把香蕉”“这盘面包”的四分之一。在此基础上拓宽对分数意义的理解，增加“把一个整体看作单位‘1’、分数单位”两个内容，这恰好又是认识分数概念在思维层面的一次飞跃，也是这节课的重难点，是要多花点工夫的，但绝不是记记结论（定义），举几个例子就能突破的，再仔细研究小精灵的话：“你能举例说明四分之一的含义吗？”其实是可以有所作为的，请看：
一开课，教师无声地直接板书：
同学们，认识吗？（认识）是的，谁都认识，三年级就学过。
现在请画图表示你是怎样理解的。（学生画图）
请几名学生汇报交流。
看似如此简单的改变，简洁的处理，却有不简单的效果。
接下来的课堂教学素材全部来自于学生的作品。这样的课堂需要很高水平的驾驭能力，因为不知道如此结合学生的认知起点会有什么样不可知的生成。看看学生的作品即可知：
这四个图所表达的与教材中的几乎一致！完全不用被动地完成教师布置的任务，研究的就是学生自己的作品，这是学生最喜欢的！大家可以尝试一下，这就是主动与被动的区别。
类似这样的作品其实与教材中的“这把香蕉”“这盘面包”所要表达的意思和使用价值是相同的！面对这样的作品很多学生是不认同的，他们认为这样的四个圆圈中的一个是不能用来表示的，然后组织学生思考、辩论。虽然某次试教（或执教）时没有出现8个、12个物体的情况也没关系，真实的顺学而教是应该提倡的，也是值得追求的。其實最不好处理也最考验教学水平的环节正在于此：如何处理每一幅作品？如何面对学生的质疑辩论、激发学生讨论的热情？如何顺水推舟、顺势而行？怎样才能突出概念本质？何时讲解单位“1”？怎样板书才好？……这样的问题留给大家思考。
（如果你喜欢，关注云南教育的微信公众号可观看云南师范大学附属小学马双老师2018年11月在“千课万人”第二届全国小学数学“拓展性课堂”教学观摩会活动中的教学录像）
一、关于“一课多磨”
1.“研磨”一词的本意主要有两个，一是指“用工具研成粉末”;还可指“用磨料摩擦器物使变得光洁”。用在教学中专指使用教学理念和教学方法、技术不断对所教知识和学生（教学对象）进行研究、琢磨、打磨，使其适用、合理、有效。
2.“磨炼”是指在艰难困苦环境中经受锻炼或者指在工作中刻意磨炼自己。可简单理解为被动磨炼和主动磨炼，这两者对普通老师来说是二者皆有、相互作用并不断促进和发展变化的。
3.“磨合”指的是一个团队（数学组、教研组或备课组）在磨课过程中经过各种碰撞、摩擦，摒弃差异，不断调整、改善，融合后达成共识。如，昆明市五华区红旗小学的磨课团队在研究“相遇问题”针对课后练习是否需要拓展并沟通联系产生了很大的分歧，最后通过实践达成了一致;红云小学的磨课团队在研究“5的乘法口诀”一课时，经历了所谓“传统派”和“新生代”的焦点之战，“传统派”坚定地认为这是学生与乘法口诀的第一次“相遇”，教学重点应该放在通过乘法意义编口诀、记口诀;“新生代”却认为学生对“一五得五，二五一十”等口诀早已接触过抑或烂熟于胸，应该从学生的认知起点出发，不必花过多精力于此！而是应该重在体验口诀运用之巧妙，感悟数学之美妙！教师直奔主题，学生说出口诀后，教师根据学生原有认知深度挖掘对口诀的理解，出现了不同层次的多种解释，加法、乘法、举例说明、用图示描述等。学生可根据三五十五对应的点子图，知道用它既可以计算3×5，也可以计算5×3，一句口诀可以完成两个算式的计算水到渠成，而不是教师直接告诉学生。通过磨课活动的多次“过招”，最后达成共识，聚焦目标，团队磨合，精诚所至金石为开！
我坚信：一课多磨，好课多磨，磨出好课，磨出好人！
事实亦如此。
因为自古以来各行各业的实践就总结出了极其宝贵的经验，其他不说，仅从古诗词中即可找寻其踪迹。如，“只要功夫深，铁杵磨成针。”“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。”“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。”如此等等。
有一句出自诗经《诗经·卫风·淇奥》的名句“有匪君子，如切如磋，如琢如磨”，指的是君子的自我修养就像加工骨器，切了还要磋;就像加工玉器，琢了还得磨！优秀的教师一定是愿意并善于切磋琢磨教学的，高效的课堂也一定是经过精心雕琢的或者是优秀教师的自然呈现。正如清朝蒲松龄在《聊斋志异·阿宝》中所说“书痴者文必工，艺痴者技必良”。可以这样说，但凡得到公认的优秀教师无一不是“文工技良”的“教痴者”，至少在某一方面达到了此境界。
“磨出好人”意指磨出好老师。总的来说，除了极少数天资聪颖、悟性超群者之外，大部分好老师都是“磨”出来的！关键问题是磨什么？怎么磨？其实这两个问题实在大得很，一时半会儿无法回答清楚，甚至可以说涉及整个职业生涯的全过程，包含教育心理学、课程论、工作环境、工作态度、敬业精神、团队力量、专业引领等几乎所有可能与教学直接相关的因素。但在这个实践过程中教师只能结合实际情况对小学数学教学如何进行“一课多磨”的研究，以提高或促进深度教学的达成。
二、基于“一课多磨”的深度教学案例
基于“一课多磨”，在此，仅举一例谈谈如何整体把握教材，深度研读细节，改进教学行为。
磨课理念：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”（弗赖登塔尔），暴露出学生的认知起点，经历知识的创生过程，引领课堂的创造生成，智达数学的目标内化。
案例：分数的意义
这是五年级下册的教学内容，整体通读教材（以“人教版”为例）后，才发现真正理解分数概念是小学数学学习中最为困难的内容，千万不要以为知道教材中有关分数的定义（尽管是描述性定义）就行了，更为重要的是在教材循序渐进、螺旋上升的编排中理解分数的五种含义：
（1）表示部分与整体的关系;
（2）表示两个数（量）相除的结果;
（3）测量（用分数单位度量）;
（4）分数是一种运算;
（5）表示数轴上的一个数值或点。
实际上：这五种含义在教材中都有体现（本文不作详细分析），但是因为教材分别在三年级上册的“分数的初步认识”单元和五年级下册的“分数的意义和性质”单元的编排中把分数表示“部分与整体的关系”作为分数的概念呈现出来，在教学中理所当然得到了大家的“厚爱”，不断强化，以致于分数的其他含义没有得到应有的重视从而更好地突显出来，这势必极大地影响着后续的教学（特别是有关分数的问题解决）。正是源于此，我们认真分析教材后发现，本节课中一个看似不起眼或者说无足轻重的编排被我们忽视了。请看五年级教材：
实际教学中很多老师都按照习惯了的方式，自己直接给学生各种素材资源进行教学，忽视或忽略了“小精灵”这句话的价值及含义：最大的价值在于可以试图改变至少80%以上老师的教学行为，进行分数意义的教学不应该也没有必要由教师提供素材，学生按部就班地被动执行教师布置的任务。
最大的困难在于普通教师所能参考的教案中几乎都没有注意并重视其深刻用意。当然很多老师也不大喜欢真正从学生现实起点进行教学，因为这样的课堂变数太多，无法驾驭不稳定因素。总喜欢（只愿意）根据之前备课的思路进行教学。
想要改变惯常的行为和固定的思维极其艰难！
先看看关于分数在三年级已經学到了什么程度？这就是现在学习起点（即认知起点），五年级应该学什么、怎么学？这是本节课的学习目标。关于认知起点和学习目标之间的关系可以用下图来表示： 就这个内容而言看似学生的现实起点明显高于逻辑起点，我认为其实不然，反而是对教材理解、研磨不透甚至不到位所致，逻辑起点就是五年级教材编排的学习内容，现实起点是五年级学生对三年级学习内容的理解和掌握情况，这完全根据教师的教学而定，所以这段距离可能因教师、学生的情况不同而有较大差异。
其实，在三年级的教材中就已有这样的内容，例2（图4）是用一张纸折出四分之一，例4（图5）是涂色表示四分之几：
所以，五年级教材中（图2）的前三个图就是回忆之前学习过的内容，接下来研究“这把香蕉”“这盘面包”的四分之一。在此基础上拓宽对分数意义的理解，增加“把一个整体看作单位‘1’、分数单位”两个内容，这恰好又是认识分数概念在思维层面的一次飞跃，也是这节课的重难点，是要多花点工夫的，但绝不是记记结论（定义），举几个例子就能突破的，再仔细研究小精灵的话：“你能举例说明四分之一的含义吗？”其实是可以有所作为的，请看：
一开课，教师无声地直接板书：
同学们，认识吗？（认识）是的，谁都认识，三年级就学过。
现在请画图表示你是怎样理解的。（学生画图）
请几名学生汇报交流。
看似如此简单的改变，简洁的处理，却有不简单的效果。
接下来的课堂教学素材全部来自于学生的作品。这样的课堂需要很高水平的驾驭能力，因为不知道如此结合学生的认知起点会有什么样不可知的生成。看看学生的作品即可知：
这四个图所表达的与教材中的几乎一致！完全不用被动地完成教师布置的任务，研究的就是学生自己的作品，这是学生最喜欢的！大家可以尝试一下，这就是主动与被动的区别。
类似这样的作品其实与教材中的“这把香蕉”“这盘面包”所要表达的意思和使用价值是相同的！面对这样的作品很多学生是不认同的，他们认为这样的四个圆圈中的一个是不能用来表示的，然后组织学生思考、辩论。虽然某次试教（或执教）时没有出现8个、12个物体的情况也没关系，真实的顺学而教是应该提倡的，也是值得追求的。其實最不好处理也最考验教学水平的环节正在于此：如何处理每一幅作品？如何面对学生的质疑辩论、激发学生讨论的热情？如何顺水推舟、顺势而行？怎样才能突出概念本质？何时讲解单位“1”？怎样板书才好？……这样的问题留给大家思考。
（如果你喜欢，关注云南教育的微信公众号可观看云南师范大学附属小学马双老师2018年11月在“千课万人”第二届全国小学数学“拓展性课堂”教学观摩会活动中的教学录像）