音阶与数学

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  留学美国时我曾有一位专攻巴松管的室友,他姓潘而又帅气,所以我称他为潘安。有一回我翻看潘安的乐谱时他问道:“你看得懂吗?”我笑着回答说:“不就是从0到7吗,我是学数学的,连8和9我都明白着呢!”
  这个回答当然是玩笑,巴松乐谱都是五线谱,而使用0到7的是简谱。然而,音乐与数学确实存在着很深刻的联系。
  旋律是由乐音的组合构成的,乐音按其频率从低到高排列,无论是想象中还是听觉上都像是一部阶梯,所以称为音阶。音阶系统中各乐音频率之间存在着特定的比例关系。这种数学关系自古以来就被确认和研究,并且被不断地完善。
  2000多年前,古希腊和中国的学者就发现,当音阶间的频率关系是简单的比例时,它们构成的乐音系统是和谐的、悦耳的,并因此各自独立得出了构建音阶系统的方法。其中,中国上古的方法称为“三分损益法”,而在古希腊占据主流的则是“五度相生律”。这两种方法本质上是相同的,都是以2:1和3:2这2个最简单的比例为基础构建音阶系统。
  在介绍音阶系统的构造之前,我们先简单说一说它背后的物理原理。首先,如果2个乐音的频率比例是2:1,那么后者的最小周期是前者的2倍,因而它的周期也都是前者的周期。这样一来,它听起来就像是前一个乐音,只不过前者听起来感觉声音更髙亢。因此,它们是同名乐音,我们说前者比后者“高八度”。假如频率较低的乐音是中央C(即简谱中C调的1),那么频率较髙的那个就是cl(即简谱中C调的i)。其次,如果2个乐音的频率比例是诸如3:2这样的简单比例,那么它们的周期间的关系
  简单,叠加时形成的波也有简单的规律性(周期性),因此2个音的关系听起来是和谐的。例如,频率关系为3:2的2个正弦波的叠加具有如下简洁的周期性波形。
  3:2这个除2:1之外最简单的比例听起来很和谐,在音阶系统中的地位也非常关键,具有这一比例乐音间的关系被称为“纯五度”。简言之,以2:1和3:2这2个比例为构造音阶的基础比例,是符合物理原理的。
  中国古代很早就出现了用三分损益法确定乐音频率的办法。《管子·地员》说:“凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足,以是生商。有三分,而复于其所,以是成羽。有三分,去其乘,适足,以是成角。”《史记·律书》则说:“九九八十一以为宫。三分去一,五十四以为徵。三分益一,七十二以为商。三分去一,四十八以为羽。三分益一,六十四以为角。”这2段文字所说的,都是用三分损益法确定宫、商、角、徵、羽五音的办法,其中的数字是用来确定音高的“律管”的(相对)长度。由于同质律管的发声频率与其长度成反比,因而这些数字就给出了宫、商、角、徵、羽的频率比例关系。2段引文不同的是,由于《管子》的做法是先益后损,因而其徵、羽的管长与《史记》所得为2倍关系,即其音高实际为低八度的徵、羽。我们根据《史记》所载,并且为了与后文的表格相比较,将宫的律管长度改记为81的12倍,则其五音可列表如表1。
  从上面所引的文字可知,所谓“三分去一”是将原来的律管长度减去1/3,即所得管长为原来的2/3。因此所得乐音频率为原乐音的3/2倍,即2个乐音的频率比等于3:2。而所谓“三分益一”,所得的管长为原来的4/3倍,因此2个乐音的频率比为3:4。而若将第2个乐音用其高八度乐音替换,则频率比也是3:2。因此,三分损益法所确定的五音阶系统,是最简单的和谐系统,因而是最简单的音阶系统。自古以来,中国的五音阶音乐非常发达,显然正是由于这个原因。
  古希腊的毕达哥拉斯学派用类似于图1的独弦琴确定音阶,他们把全弦振动的音作为基础音。毕达哥拉斯学派同样发现,当整弦长度与振动部分弦长的比值可以表示成小整数的比例时,得到的就会是悦耳的音程。当振动部分弦长只有全弦长度的一半时,也就是图1中的琴码移动到“6”的位置时,弹拨琴弦得到的是比基础音高八度的乐音。也就是说,弦长比例为2:1时,弹拨独弦琴所发出声音之频率是全弦音频率的2倍。如果将琴码移动到图1中“8”的位置,全弦与所得弦长的比例是3:2,这时得到的是比基础音高五度的乐音。而如果将琴码移到“9”的位置,也就是全弦长度与振动部分弦长之比等于4:3时,得到的乐音则比基础音髙四度。整个毕达哥拉斯的音阶系统,就是在这种简单的弦长比例的基础之上建立起来的。
  如果将独弦琴的全弦音定为D,将其弦长记为864个长度单位,那么比它高五度的音为A,其弦长为864x?=576。比A高五度的音为e,弦长为576x?=384,因此向一音域里的、比e低八度的E的弦长为384x2=768。而比D低五度的音的弦长等于864÷?=1296,其同一音域的音比这个音高八度,即比D高四度的G,其弦长则等于1296÷2=648。依此类推,可以得到全部7个音阶(见表2)。
  对比以上2个表格可以发现,古代中外的两套系统中,do、re、mi、sol、la的音高关系是完全相同的。所不同的是,按照“原汁原味”的三分损益法继续产生音阶的话,我们得到的并不恰好是ti和fa,而是ti和“升fa”。这一不同表明,原始三分损益法所代表的古代中国音乐主要是五音阶的,虽然七音阶系统也不难由此产生。事实上,七音阶系统的音乐在古代中国也并不罕见,只不过另外2个乐音没有独立的名称,其中相应于ti的乐音称为“变宫”,fa称为“清角”,而“升fa”则称为“变徵”。换句话说,“宫、商、角、清角、徵、羽、变宫”构成一个“清乐”的七音阶体系,而“宫、商、角、变徵、徵、羽、变宫”则构成一个“雅乐”的七音阶体系。《史记》记载,荆轲在易水上“为变徵之声”,是中国古代七音阶音乐的一个著名例子。
  由五度相生律产生的七音阶系统中,半音阶的频率比为256:243,這不是小整数的比例,因此听起来难免有不和谐之感,古代西方的“纯律”很可能就因为这个原因而产生。在纯律的体系里,“全音阶”分为“大全音”与“小全音”两种,其频率比分别为9:8和10:9。相应地,“半音阶”的频率比值不再是256:243这样的大整数之比,而是简单得多的16:15。这2种音阶体系中有些乐音的音商是不一样的,具体情形如表3。
  由上述音阶系统中乐音间的频率比可以看到,音乐与数学存在着很深刻的联系,然而,音乐背后的数学还不止这些,因为我们至此仅仅讨论了简单的音阶体系,还没有涉及复杂的音乐。事实上,复杂的音乐一般采用多个不同的调式或含有多个声部。通俗地说,这些复杂音乐是以不同音高作do的多个旋律片段的组合。因此,不同调式或声部的乐音之间的“和谐”就必然是一个问题。而无论是纯律还是五度相生律,在多调式或多声部的情况下通常都是“不和谐”的。这个问题至少2000年前就已经被发现,而它最终导致十二平均律的出现。那么,十二平均律背后有什么样的数学奥秘?这个问题以后我们有时间再谈。
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