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摘要：三角形是构成很多数学知识点的基础，尤其在初中阶段，三角形的重要性更是显得尤为明显。本文将从三角形的相关定理以及几何图形等相关应用进行深入的探究。
关键词：数学，初中，三角形
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-5-315
引言：从三角形的边长，角之间的关系，到面积，周长等的计算，在初中数学中无处不在体现着三角形知识点的重要性。但是，仅仅只是教授知识点，套用公式是远远不够的，没有透过现象看到本质，则在实际生活中不能做到灵活应用。老师在教学三角形模块的知识时，应当通过多举例，让学生思考相关知识点的内在联系，循序渐进，提高学生的数学素养。
1.勾股定理的应用
1.1 用于判定三角形类型
勾股定理与边长的关系紧密联系，只要已知两条边的长，通过计算公式就能得出第三条边的长度。同时，通过勾股定理也能判定一个三角形是直角，钝角还是锐角三角形。
例如：令一个三角形的三边分别为m，n，q，当m2+n2=q2，则此三角形是直角三角形，当m2+n2<q2时，则是钝角三角形，当m2+n2>q2时，则是锐角三角形。
1.2 勾股数
在实际解题中，为了加快做题的效率，经常会要求学生记住较为常见的勾股数。例如，5，12，13;3，4，5等，通常所说的勾三股四弦五就是这样的由来。
2.三角形面积法的应用
在初中几何问题的解决中，利用三角形面积法是一个简单高效的方法。通过仔细分析不难发现，很多多边形的面积公式都是在三角形的基础上演变而成的。老师应当带领学生多探究三角形面积与边长，角度的关系，从多方面来充分掌握三角形的知识。
例如：通过图1可以得出三角形的面积公式为：S=1/2BC*h;通过图2，图3，可得四边形ABCD的面积为AB*AD或者S△ADB+S△CDB;通过图4可得：梯形的面积为S=1/2（CD+AB）*h，也可转化成是求三角形的面积，再来求梯形的面积。可见，多边形的面积与三角形是息息相关的，要强化学生数形结合的思想来求解知识。
3.全等三角形的应用
全等的两个三角形对应的边和角也相等。可以通过平移，旋转得到的三角形均为全等三角形。证明两个三角形全等的方法有很多，包括有三边相等，三角相等，两条边以及一个角相等的方式。全等三角形在实际生活中的用途也很广泛，常用于测量距离，测量瓶子内口的直径等。
3.1 测量不能达到的两点之间的距离
例如：如下图所示：小明想要知道家中的一个瓶子的直径，但是因瓶口太小，小明无法直接用直尺伸入到瓶里进行测量。于是，小明灵机一动，找来了两根一模一样的，长度相同的木条，将两个木条的中心点位置用线捆住，并做好标记。两个木条间的距离能不断拉长。于是，只要小明能测量出AB之间的距离，就能得出瓶子的直径，即CD的长度。求解直径的原理就是应用了全等三角形的定理。求解过程如下：
已知AD=BC，O为中点，即AO=OD=OC=OB，且∠AOB=∠COD，所以△AOB≌△COD。
所以AB=CD，小明只需要用直尺测量AB之间的距离即可。
3.2 证明某条线是角平分线
例如：如下图所示，AE是一条射线，已知AB=AC，BD=DC，求解AE是角平分线。
解：因为由题意可知，AB=AC，BD=DC，AD=AD，则△ADB≌△ADC。
所以∠ADB=∠ADC，则∠BDE=∠CDE，故AE为角平分线。
4. 相似三角形的应用
相似三角形，即对应的边成比例，对应的角相等的两个三角形。证明两个三角形相似的方法有很多，包括有两边成比例，其对应的夹角相等;两个角相等法以及三条对应的边成比例等方法。
4.1 利用相似三角形来测量物体的高度
测量的原理在于在实际生活中，当要测量的物体很高时，无法直接测量其高度，这时采用参照物进行测量是最直接高效的方法。
例如：小红要测量一栋楼的高度，如下图所示，楼房在太阳的照射下所形成影子长度为18米，在影子的末端A点插上一根高3米的树枝，测出该树枝的影子长度CA为6米，则求楼的高度？
在该例题中，已知在同一水平线上的两个执教三角形，图中的两个三角形是相似的。
故可以得出：两个影长的比值等于旗杆和楼房高度的比值。即3/18=6/楼高，则楼高为36米。
4.2 计算线段的长度
例如：如下图所示：已知在以O为圆心的圆中，AB和CD分别为两条弦。已知DM为2，CM为6，AB为15，求AM的长度。
在该题中，已知AC为∠ADC和∠CBA共同对应的弦，则∠ADC=∠CBA
又因为∠CMB=∠AMD，则△CMD∽△AMD。
根据图所示，则可得AM/CM=DM/MB。
又因为MB=AB-AM=15-AM
则AM/6=2/（15-AM），从而得出AM的值。
4.3 判断相关线段之间的关系
例如：如图所示：在△ABC中，AB与AC两边相等，AD垂直平分BC，CG‖AB，求证：BE2=EF·EG
根据题干，已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC=∠ACB
因为ED=ED，BD=DC，且△BED和△EDC均为直角三角形，故△BED≌△ECD。
则∠1=∠2。
因为∠1+∠3=∠2+∠4，则∠3=∠4
又因为AB‖CG，则∠3=∠G
所以∠4=∠G
又因为∠GEC=∠FEC
所以△FEC∽△GEC
所以EF/CE=CE/EG
又因為EC=BE
则BE2=EF·EG
结束语：
三角形除了几何应用，较为常见的还有三角形的射影定理，中位线定理，杨辉三角，三角函数等，只有学生打好基础，才能进行更深入的探究。老师要帮助学生挖掘相关知识，拓展学生思维。
参考文献
[1]杨微.数学课堂上的习惯养成与能力提升——以“直角三角形全等的判定”一课教学为例[J].辽宁教育，2020，（3）：93-94.
[2]张萱.以基本图形学习为主线的单元教学设计——以“相似三角形的判定与性质”为例[J].上海中学数学，2020，（6）：1-5.
[3]陆晓霞.初中数学《相似三角形的性质及应用》的教学案例分析[J].数学学习与研究（教研版），2011，（）：77.
四川广安第二中学校
关键词：数学，初中，三角形
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-5-315
引言：从三角形的边长，角之间的关系，到面积，周长等的计算，在初中数学中无处不在体现着三角形知识点的重要性。但是，仅仅只是教授知识点，套用公式是远远不够的，没有透过现象看到本质，则在实际生活中不能做到灵活应用。老师在教学三角形模块的知识时，应当通过多举例，让学生思考相关知识点的内在联系，循序渐进，提高学生的数学素养。
1.勾股定理的应用
1.1 用于判定三角形类型
勾股定理与边长的关系紧密联系，只要已知两条边的长，通过计算公式就能得出第三条边的长度。同时，通过勾股定理也能判定一个三角形是直角，钝角还是锐角三角形。
例如：令一个三角形的三边分别为m，n，q，当m2+n2=q2，则此三角形是直角三角形，当m2+n2<q2时，则是钝角三角形，当m2+n2>q2时，则是锐角三角形。
1.2 勾股数
在实际解题中，为了加快做题的效率，经常会要求学生记住较为常见的勾股数。例如，5，12，13;3，4，5等，通常所说的勾三股四弦五就是这样的由来。
2.三角形面积法的应用
在初中几何问题的解决中，利用三角形面积法是一个简单高效的方法。通过仔细分析不难发现，很多多边形的面积公式都是在三角形的基础上演变而成的。老师应当带领学生多探究三角形面积与边长，角度的关系，从多方面来充分掌握三角形的知识。
例如：通过图1可以得出三角形的面积公式为：S=1/2BC*h;通过图2，图3，可得四边形ABCD的面积为AB*AD或者S△ADB+S△CDB;通过图4可得：梯形的面积为S=1/2（CD+AB）*h，也可转化成是求三角形的面积，再来求梯形的面积。可见，多边形的面积与三角形是息息相关的，要强化学生数形结合的思想来求解知识。
3.全等三角形的应用
全等的两个三角形对应的边和角也相等。可以通过平移，旋转得到的三角形均为全等三角形。证明两个三角形全等的方法有很多，包括有三边相等，三角相等，两条边以及一个角相等的方式。全等三角形在实际生活中的用途也很广泛，常用于测量距离，测量瓶子内口的直径等。
3.1 测量不能达到的两点之间的距离
例如：如下图所示：小明想要知道家中的一个瓶子的直径，但是因瓶口太小，小明无法直接用直尺伸入到瓶里进行测量。于是，小明灵机一动，找来了两根一模一样的，长度相同的木条，将两个木条的中心点位置用线捆住，并做好标记。两个木条间的距离能不断拉长。于是，只要小明能测量出AB之间的距离，就能得出瓶子的直径，即CD的长度。求解直径的原理就是应用了全等三角形的定理。求解过程如下：
已知AD=BC，O为中点，即AO=OD=OC=OB，且∠AOB=∠COD，所以△AOB≌△COD。
所以AB=CD，小明只需要用直尺测量AB之间的距离即可。
3.2 证明某条线是角平分线
例如：如下图所示，AE是一条射线，已知AB=AC，BD=DC，求解AE是角平分线。
解：因为由题意可知，AB=AC，BD=DC，AD=AD，则△ADB≌△ADC。
所以∠ADB=∠ADC，则∠BDE=∠CDE，故AE为角平分线。
4. 相似三角形的应用
相似三角形，即对应的边成比例，对应的角相等的两个三角形。证明两个三角形相似的方法有很多，包括有两边成比例，其对应的夹角相等;两个角相等法以及三条对应的边成比例等方法。
4.1 利用相似三角形来测量物体的高度
测量的原理在于在实际生活中，当要测量的物体很高时，无法直接测量其高度，这时采用参照物进行测量是最直接高效的方法。
例如：小红要测量一栋楼的高度，如下图所示，楼房在太阳的照射下所形成影子长度为18米，在影子的末端A点插上一根高3米的树枝，测出该树枝的影子长度CA为6米，则求楼的高度？
在该例题中，已知在同一水平线上的两个执教三角形，图中的两个三角形是相似的。
故可以得出：两个影长的比值等于旗杆和楼房高度的比值。即3/18=6/楼高，则楼高为36米。
4.2 计算线段的长度
例如：如下图所示：已知在以O为圆心的圆中，AB和CD分别为两条弦。已知DM为2，CM为6，AB为15，求AM的长度。
在该题中，已知AC为∠ADC和∠CBA共同对应的弦，则∠ADC=∠CBA
又因为∠CMB=∠AMD，则△CMD∽△AMD。
根据图所示，则可得AM/CM=DM/MB。
又因为MB=AB-AM=15-AM
则AM/6=2/（15-AM），从而得出AM的值。
4.3 判断相关线段之间的关系
例如：如图所示：在△ABC中，AB与AC两边相等，AD垂直平分BC，CG‖AB，求证：BE2=EF·EG
根据题干，已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC=∠ACB
因为ED=ED，BD=DC，且△BED和△EDC均为直角三角形，故△BED≌△ECD。
则∠1=∠2。
因为∠1+∠3=∠2+∠4，则∠3=∠4
又因为AB‖CG，则∠3=∠G
所以∠4=∠G
又因为∠GEC=∠FEC
所以△FEC∽△GEC
所以EF/CE=CE/EG
又因為EC=BE
则BE2=EF·EG
结束语：
三角形除了几何应用，较为常见的还有三角形的射影定理，中位线定理，杨辉三角，三角函数等，只有学生打好基础，才能进行更深入的探究。老师要帮助学生挖掘相关知识，拓展学生思维。
参考文献
[1]杨微.数学课堂上的习惯养成与能力提升——以“直角三角形全等的判定”一课教学为例[J].辽宁教育，2020，（3）：93-94.
[2]张萱.以基本图形学习为主线的单元教学设计——以“相似三角形的判定与性质”为例[J].上海中学数学，2020，（6）：1-5.
[3]陆晓霞.初中数学《相似三角形的性质及应用》的教学案例分析[J].数学学习与研究（教研版），2011，（）：77.
四川广安第二中学校