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题A：在一个边长6厘米的正方形里面画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的百分之几？
题B：从甲地到乙地客车要10小时，货车要15小时。现在两车同时从两地相对开出，相遇时客车正好行240千米。甲、乙两地相距多少千米？
这是我县六年级数学抽测试卷中的两道应用题。考试后在征询一线教师对试题的意见时，有些教师说：这两道题都要进行四到五步计算，有超纲之嫌。类似的意见在四五年级数学教师中也有，为此，笔者有两点看法想阐述如下，以期起到一点解惑的作用。
一、怎样看待应用题几步计算的问题
教师的困惑大多源自现行大纲和新课标中都有“不超过三步”的要求，但事实上不可能绝对化。在《数学课程标准》第二学段的“具体目标”中这样写道：“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步。）。”“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步。）”（P21）。而第22页所举的“案例”就并非三步所能解决。例4就并非三步所能解决 。例4是这样说的：“李阿姨想买2袋米（每袋35.4元）、14.8元的牛肉、6.7元的蔬菜和12.８元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？”估算时就必须想：每袋米价×2+牛肉钱+蔬菜钱+鱼钱再与100元比较。如此，没有五步是不可能得出结论来的。
可见，在第二学段中的应用题只能说“一般不超过三步”，“绝对不超过三步”是不现实的，是不可避免的。例如教材中出现的求圆锥体的体积：1/3×π×r×r×h和求长方体的表面积：（a×b+b×c+a×c）×2，即使在直接告诉了r、h、a、b、c的情况下，也至少分别要四步、六步才能得出结果。那么，对“应用题几步计算”的问题，笔者认为不能太拘泥于解答中有几个运算符号就看作几步，而只能约略地从思路方面来衡量。例如：求圆锥的体积时第1步求底面积，第2步求圆柱体积，第3步乘得出结果，可以大约视其为三步；前述的题A则为第1步求出圆面积，第2步求出正方形面积，第3步求出百分率，也可视其为三步。
二、要教会学生“舍近求远”
新课标强调：要“使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力。”作为教师，如果是一个高明的“引导者”，还必须把学生自主学习中自行归纳、猜测出来的一些肤浅的认识和规律深化巩固。有时候学生距“柳暗花明”仅一步之遥，如果教师再引导他们前行一步就会让学生豁然开朗，进入“别有洞天”的境界。有一些规律性的知识，教师不点破一下，“不捅破那层窗户纸”，学生只能在朦胧状态中摸索探究。
拿上述两题为例来说，题A中“圆面积占正方形面积的百分之几？”只要在同圆中，其实它是一个固定的常数，无论边长多少，只要用公式就可推导出结论为：即78．5%推论过程：π×（d/2）2÷d2=。引而言之，在一个正方体内取一个最大的圆柱体，圆柱体的体积也是正方体的78.5%。再引而言之，在一个圆内剪一个最大的正方形，同样可推导出圆面积为正方形面积的，也是一个常数。这些规律和推导方法是培养学生能力的重要途径，教师不引导，不“点破”，学生可能只有一些模糊的认识。而且学生一旦懂得了正方形与它的内切圆、外接圆面积之间的关系，对于初中的后继学习也是相当有用的。尤其对培养学生避开繁杂运算直接用公式推导、归纳的思维品质将产生深远的影响。
题目B有多种解法，学生一般的解法是：240÷1÷（1/10+1/15）×10=400（千米），要四步（如果把1÷10=1/10、1÷15=1/15算作两步则为六步）。但是如果教师教会学生掌握了“速度比等于时间的反比”这一知识点，运算则完全可以简化。根据已知客车与货车的时间比是10∶15，则客车速度与货车速度比为15∶10，故有解法（1）：240×+240=400（千米），解法（2）：240÷（千米），均可以用三步完成。可见运用这一规律，可以使思路简约，运算步骤减少。教科书上并没有写出这一知识点，但是它在解题中相当有用，教师就有必要让学生知道并运用，因为掌握了它，许多棘手的应用题将迎刃而解。试看下例：“走一段路，甲车若每小时比原来快1000米，所走的时间是原来的；若每半小时慢1000米，则比原来多用2小时。求这段路的距离。”乍一看似乎无从下手，但当想到“速度与所用时间成反比”这点时，由“所走的时间是原来的”，则可知“现在的速度是原来速度的”，即可求出原速为：1000÷（4/5-1）=4000（米）；如果车速每小时慢2000米（1000×2），则是原速4000米的一半，即现速与原速的比是1：2，那么现在所用的时间与原时间的比是2：1，所以原来用的时间为：2÷（2-1）=2（小时）。故路程为：4000×2=8000（米）。
学生毕竟处在思维的发展期，很需要教师的指导与点拨。只要对学生有益，教师就应该给学生讲清点透，不必忌讳“讲多了”。有时候老师多讲一句话，可能会让学生受益无穷。笔者记得初中时曾有一位教几何的S教师，上课时就只是一味地教我们解题、做题，一年内是如此，有一次他出差，临时代课的教师不仅教我们解题，还画龙点睛地教给方法，“由已知看可知，由未知看需知”，就是我第一次听到代课教师说的。这句话使我牢记在心，屡试不爽，真是终生受用。我当时就埋怨S老师为什么就不点拔一下我们呢？所以，能让学生删繁就简、舍远求近的知识，教师还得“该出手的就出手”，该开口时就开口，这也正是一些名师的高明之处。
（作者单位：331500江西省永丰县教研室）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
题B：从甲地到乙地客车要10小时，货车要15小时。现在两车同时从两地相对开出，相遇时客车正好行240千米。甲、乙两地相距多少千米？
这是我县六年级数学抽测试卷中的两道应用题。考试后在征询一线教师对试题的意见时，有些教师说：这两道题都要进行四到五步计算，有超纲之嫌。类似的意见在四五年级数学教师中也有，为此，笔者有两点看法想阐述如下，以期起到一点解惑的作用。
一、怎样看待应用题几步计算的问题
教师的困惑大多源自现行大纲和新课标中都有“不超过三步”的要求，但事实上不可能绝对化。在《数学课程标准》第二学段的“具体目标”中这样写道：“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步。）。”“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步。）”（P21）。而第22页所举的“案例”就并非三步所能解决。例4就并非三步所能解决 。例4是这样说的：“李阿姨想买2袋米（每袋35.4元）、14.8元的牛肉、6.7元的蔬菜和12.８元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？”估算时就必须想：每袋米价×2+牛肉钱+蔬菜钱+鱼钱再与100元比较。如此，没有五步是不可能得出结论来的。
可见，在第二学段中的应用题只能说“一般不超过三步”，“绝对不超过三步”是不现实的，是不可避免的。例如教材中出现的求圆锥体的体积：1/3×π×r×r×h和求长方体的表面积：（a×b+b×c+a×c）×2，即使在直接告诉了r、h、a、b、c的情况下，也至少分别要四步、六步才能得出结果。那么，对“应用题几步计算”的问题，笔者认为不能太拘泥于解答中有几个运算符号就看作几步，而只能约略地从思路方面来衡量。例如：求圆锥的体积时第1步求底面积，第2步求圆柱体积，第3步乘得出结果，可以大约视其为三步；前述的题A则为第1步求出圆面积，第2步求出正方形面积，第3步求出百分率，也可视其为三步。
二、要教会学生“舍近求远”
新课标强调：要“使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力。”作为教师，如果是一个高明的“引导者”，还必须把学生自主学习中自行归纳、猜测出来的一些肤浅的认识和规律深化巩固。有时候学生距“柳暗花明”仅一步之遥，如果教师再引导他们前行一步就会让学生豁然开朗，进入“别有洞天”的境界。有一些规律性的知识，教师不点破一下，“不捅破那层窗户纸”，学生只能在朦胧状态中摸索探究。
拿上述两题为例来说，题A中“圆面积占正方形面积的百分之几？”只要在同圆中，其实它是一个固定的常数，无论边长多少，只要用公式就可推导出结论为：即78．5%推论过程：π×（d/2）2÷d2=。引而言之，在一个正方体内取一个最大的圆柱体，圆柱体的体积也是正方体的78.5%。再引而言之，在一个圆内剪一个最大的正方形，同样可推导出圆面积为正方形面积的，也是一个常数。这些规律和推导方法是培养学生能力的重要途径，教师不引导，不“点破”，学生可能只有一些模糊的认识。而且学生一旦懂得了正方形与它的内切圆、外接圆面积之间的关系，对于初中的后继学习也是相当有用的。尤其对培养学生避开繁杂运算直接用公式推导、归纳的思维品质将产生深远的影响。
题目B有多种解法，学生一般的解法是：240÷1÷（1/10+1/15）×10=400（千米），要四步（如果把1÷10=1/10、1÷15=1/15算作两步则为六步）。但是如果教师教会学生掌握了“速度比等于时间的反比”这一知识点，运算则完全可以简化。根据已知客车与货车的时间比是10∶15，则客车速度与货车速度比为15∶10，故有解法（1）：240×+240=400（千米），解法（2）：240÷（千米），均可以用三步完成。可见运用这一规律，可以使思路简约，运算步骤减少。教科书上并没有写出这一知识点，但是它在解题中相当有用，教师就有必要让学生知道并运用，因为掌握了它，许多棘手的应用题将迎刃而解。试看下例：“走一段路，甲车若每小时比原来快1000米，所走的时间是原来的；若每半小时慢1000米，则比原来多用2小时。求这段路的距离。”乍一看似乎无从下手，但当想到“速度与所用时间成反比”这点时，由“所走的时间是原来的”，则可知“现在的速度是原来速度的”，即可求出原速为：1000÷（4/5-1）=4000（米）；如果车速每小时慢2000米（1000×2），则是原速4000米的一半，即现速与原速的比是1：2，那么现在所用的时间与原时间的比是2：1，所以原来用的时间为：2÷（2-1）=2（小时）。故路程为：4000×2=8000（米）。
学生毕竟处在思维的发展期，很需要教师的指导与点拨。只要对学生有益，教师就应该给学生讲清点透，不必忌讳“讲多了”。有时候老师多讲一句话，可能会让学生受益无穷。笔者记得初中时曾有一位教几何的S教师，上课时就只是一味地教我们解题、做题，一年内是如此，有一次他出差，临时代课的教师不仅教我们解题，还画龙点睛地教给方法，“由已知看可知，由未知看需知”，就是我第一次听到代课教师说的。这句话使我牢记在心，屡试不爽，真是终生受用。我当时就埋怨S老师为什么就不点拔一下我们呢？所以，能让学生删繁就简、舍远求近的知识，教师还得“该出手的就出手”，该开口时就开口，这也正是一些名师的高明之处。
（作者单位：331500江西省永丰县教研室）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。