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摘 要：为了研究温度变化时水晶双折射对四频差动激光陀螺的影响机制，根据谐振腔元件性质，建立了谐振腔的琼斯矩阵模型。通过求解谐振腔琼斯矩阵的本征值和本征矢量，可得谐振腔本征模的偏振性质。利用激光理论的经典理论公式，讨论了左、右旋模式差分损耗变化对四频激光陀螺零漂的影响。分析表明，左、右旋差分损耗可以通过稳频点变化和增益介质的色散效应给陀螺带来零漂。
关键词：四频差动激光陀螺 零漂 双折射 水晶 琼斯矩阵 差分损耗
中图分类号：V241.5+58 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）12（b）-0106-04
University of Defense Technology，Changsha Hu'nan，410073，China）
Abstract：In order to investigate the error mechanism for four mode differential laser gyros caused by quartz crystal’s birefringence，we establish the Jones Matrix model for the cavity.The cavity’s Jones Matrix can give the polarization characteristics of modes in the cavity.With the formulas of classical laser theory，the paper discusses null drift caused by variation of loss difference between left circularly polarized and right circularly polarized modes.Shift of frequency stabilization point and dispersion of gain medium are the two main error mechanism caused by loss difference between left circularly polarized and right circularly polarized modes.
Key Words：Four mode differential laser gyros；Null drift；Birefringence；Quartz crystal；Jones Matrix；Loss difference
四频差动激光陀螺利用水晶旋光效应来产生左、右旋圆偏振光以实现双陀螺差动的构想[1]，但水晶作为单轴晶体，其光学性质对四频陀螺本征模具有重要影响，进而通过增益介质的作用给陀螺带来零漂。文献[2]对腔内行波与水晶片光轴偏离时出现的差分损耗现象进行了分析；文献[2]对谐振腔的s-p各向异性导致的偏振度做了讨论；文献[3]讨论了镜片的s-p相位和Q各向异性和光束不过水晶片光轴导致的差分损耗；文献[3]讨论了减小水晶片应力双折射的方法。上述文献虽然提出了消除偏振度、减小差损的方法，但实际上难以实现。首先是，由于工艺限制，腔的各向异性无法避免；其次，即使初始调腔时差损和偏振度很小，但由于水晶的光学性质受到温度的影响，因而在陀螺工作过程中本征模性质随温度而变，造成差损和偏振度的变化，是陀螺的重要误差源。
文章同时考虑水晶片的圆双折射和线双折射，建立了谐振腔琼斯矩阵模型，讨论了四频陀螺本征偏振模之间的差分损耗、耦合以及模式偏振度随水晶线性双折射的变化，可以作为研究陀螺温变性能的参考。
1 谐振腔的琼斯矩阵
对光波偏振态的讨论使用琼斯矩阵[4]特别方便，它使用2×1的琼斯矢量表示光波偏振态，使用2×2矩阵表示光学元件的琼斯矩阵。若光波的琼斯矢量为V，光学元件的琼斯矩阵为M，则光波通过该光学元件之后琼斯矢量为Vo=MV。若光波V通过多个光学元件，则出射光的琼斯矩阵为。
1.1 线、圆双折射双重效应下水晶的传输矩阵
设水晶的两本征模传播经过水晶片时，线双折射引起的相位差变化，圆双折射引起的相位变化为，则在晶体主轴坐标下，水晶的琼斯矩阵为：
（1）
式中，。
一般情况下，水晶的主轴坐标系与实验室坐标系并不重合。由于在陀螺中水晶片光轴与行波传播方向的夹角很小，可把不同原因导致的线双折射都等效为一个垂直于行波传播方向同时具有线双折射和圆双折射的波片，其主轴坐标与实验室坐标通过一个旋转矩阵：
（2）
进行变换。在此近似下，水晶片的琼斯矩阵为：
（3）
1.2 四频陀螺谐振腔的琼斯矩阵
四频陀螺结构如图1所示，腔内元件包括反射片（Mirror 1-3）、一个输出片（Mirror 4）、水晶片（quartz）和法拉第室（Faraday Cell）。法拉第室的旋光作用较弱，其琼斯矩阵接近单位阵，忽略其影响。
设，分别为反射片对s光、p光的振幅反射率和相位差，，分别为输出片对s光、p光的振幅反射率和相位差，于是反射片和输出片的琼斯矩阵为：
（4）
（5）
从增益管出发，光束经过镜片1、水晶片、镜片2～4，然后回到增益管，运行一周的琼斯矩阵为：
（6）
谐振腔的本征偏振模要满足自洽条件，即往返一周之后可以自再现，用公式表达为：
（7）
该式的意义是，本征偏振在谐振腔内往返一周后相位延迟了，幅度衰减倍，而偏振态不变。所以陀螺本征偏振模的所有信息就包含在琼斯矩阵之中，有两个本征值和本征矢量，分别对应左、右旋偏振模。 设左、右旋本征模分别满足：
（8）
（9）
则差分损耗为：
（10）
由于谐振腔的s，p各向异性效应，左右旋本征模之间不再是正交的，定义左右旋耦合系数：
（11）
式中为的转置。
设椭圆偏振模的琼斯矩阵为，则其方位角和椭率角满足的方程[6]：
（12）
（13）
设椭圆的长轴和短轴为A，B，则椭率角和椭圆度分别满足：
（14）
（15）
2 数值计算
在陀螺工作中，由于温度变化等原因，水晶片的双折射效应是变化的，所以有必要分析谐振腔本征模性质随水晶双折射的变化。根据目前镀膜水平，镜片参数取如下参量，。
双折射导致的相位差变化区间取为∶φ∶-5°∶5°，ρ∶85°∶95°，
取。
由计算结果可知，线双折射对模式差损和椭圆度的影响较圆双折射大，而圆双折射对模式耦合系数影响较线双折射大，但耦合系数的变化可以忽略。当为其他值时，可参照上述参量计算。
3 讨论
圆双折射变化主要来自于水晶旋光率随温度的变化，但由于其对模式性质影响较小，所以不做讨论。
线双折射主要来自于陀螺温度变化时，水晶片膨胀导致的应力双折射，且应力双折射随温度而变。下面利用激光器经典理论就应力双折射的后果——差损与偏振度进行讨论。
3.1 差分损耗变化的影响
差损变化的后果之一是稳频点的移动，其次是通过增益介质的色散导致零漂。
3.1.1 稳频点随差损的变化
忽略左、右旋模之间的耦合，左旋模的增益系数为[4]：
（16）
右旋模的增益系数为：
（17）
式中表示激光频率，表示激光光强，为峰值增益系数，为饱和光强，为原子发光中心频率，为多普勒展宽，下标代表左旋模，下标代表右旋模。
当陀螺稳态工作时，增益与损耗相等，有：
（18）
（19）
其中：为增益长度。
令，为陀螺腔自由光谱范围，稳频电路的反馈控制保证，又，所以：
（19）
根据陀螺的实际参数，取如下值，
，代入（20）式得
（21）
左、右旋差损的变化导致稳频精度下降，给陀螺带来零漂[5]。通过激光陀螺频率稳定度测量系统对激光模式频率进行测量，发现激光频率随温度变化[6]，可知温度增加时水晶片的线双折射增大，导致左右旋差分损耗的变化。
3.1.2 色散随差损的变化
只考虑左右旋差损，当陀螺稳态工作时，频率为的模式的频率牵引为：
（22）
式中为真空光速，为腔长，为环路介质折射率。化简时利用了陀螺阈值工作的特点=，由此得到频率牵引导致的零漂：
（23）
式中为陀螺的法拉弟偏频。可见，左、右旋差损效应可直接导致陀螺的零漂。
3.2 耦合和偏振度的影响
这两种情况的讨论要用到激光器的半经典理论，尚待进一步研究。
4 结语
当温度变化时，水晶片的线双折射随之变化，影响四频陀螺左、右旋本征模性质，后果之一是带来左、右旋模的差分损耗随温度而变。左、右旋差分损耗导致零漂的机理主要有影响稳频点和通过增益介质色散效应带来零漂。
参考文献
[1]Gao Bolong，Li Shutang.Ring laser gyro[M].Changsha：National University of Defense Technology Press，1984.
[2]高伯龙.水晶片的几个光学性能（一）[J].国防科技大学学报，1982（1）：59-71.
[3]杨在富，袁晓东，张斌，等.四频差动激光陀螺中的S-P各向异性效应[J].光学学报，1998，18（9）：1255-1260.
[4]杨在富，袁晓东，张斌，等.四频差动激光陀螺中差分损耗的探讨[J].中国激光，1999，26（1）：39-42.
[5]孙刚.四频差动激光陀螺水晶片安装方式的优化设计[D].长沙：国防科学技术大学，2005.
[6]廖延彪.偏振光学[M].北京：科学出版社，2003.
[7]周炳琨，高以智，陈倜嵘，等.激光原理[M].4版.北京：国防工业出版社，2000.
[8]袁杰，黄云，韩生节，等，四频差动激光陀螺由于稳频精度局限引入的零漂[J].激光杂志，2002，23（3）：22-24.
[9]罗晖，郭少军，胡绍民，等.激光陀螺仪频率稳定度高精度测量系统的研制[J].中国惯性技术学报，2005，13（6）2005：86.
关键词：四频差动激光陀螺 零漂 双折射 水晶 琼斯矩阵 差分损耗
中图分类号：V241.5+58 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）12（b）-0106-04
University of Defense Technology，Changsha Hu'nan，410073，China）
Abstract：In order to investigate the error mechanism for four mode differential laser gyros caused by quartz crystal’s birefringence，we establish the Jones Matrix model for the cavity.The cavity’s Jones Matrix can give the polarization characteristics of modes in the cavity.With the formulas of classical laser theory，the paper discusses null drift caused by variation of loss difference between left circularly polarized and right circularly polarized modes.Shift of frequency stabilization point and dispersion of gain medium are the two main error mechanism caused by loss difference between left circularly polarized and right circularly polarized modes.
Key Words：Four mode differential laser gyros；Null drift；Birefringence；Quartz crystal；Jones Matrix；Loss difference
四频差动激光陀螺利用水晶旋光效应来产生左、右旋圆偏振光以实现双陀螺差动的构想[1]，但水晶作为单轴晶体，其光学性质对四频陀螺本征模具有重要影响，进而通过增益介质的作用给陀螺带来零漂。文献[2]对腔内行波与水晶片光轴偏离时出现的差分损耗现象进行了分析；文献[2]对谐振腔的s-p各向异性导致的偏振度做了讨论；文献[3]讨论了镜片的s-p相位和Q各向异性和光束不过水晶片光轴导致的差分损耗；文献[3]讨论了减小水晶片应力双折射的方法。上述文献虽然提出了消除偏振度、减小差损的方法，但实际上难以实现。首先是，由于工艺限制，腔的各向异性无法避免；其次，即使初始调腔时差损和偏振度很小，但由于水晶的光学性质受到温度的影响，因而在陀螺工作过程中本征模性质随温度而变，造成差损和偏振度的变化，是陀螺的重要误差源。
文章同时考虑水晶片的圆双折射和线双折射，建立了谐振腔琼斯矩阵模型，讨论了四频陀螺本征偏振模之间的差分损耗、耦合以及模式偏振度随水晶线性双折射的变化，可以作为研究陀螺温变性能的参考。
1 谐振腔的琼斯矩阵
对光波偏振态的讨论使用琼斯矩阵[4]特别方便，它使用2×1的琼斯矢量表示光波偏振态，使用2×2矩阵表示光学元件的琼斯矩阵。若光波的琼斯矢量为V，光学元件的琼斯矩阵为M，则光波通过该光学元件之后琼斯矢量为Vo=MV。若光波V通过多个光学元件，则出射光的琼斯矩阵为。
1.1 线、圆双折射双重效应下水晶的传输矩阵
设水晶的两本征模传播经过水晶片时，线双折射引起的相位差变化，圆双折射引起的相位变化为，则在晶体主轴坐标下，水晶的琼斯矩阵为：
（1）
式中，。
一般情况下，水晶的主轴坐标系与实验室坐标系并不重合。由于在陀螺中水晶片光轴与行波传播方向的夹角很小，可把不同原因导致的线双折射都等效为一个垂直于行波传播方向同时具有线双折射和圆双折射的波片，其主轴坐标与实验室坐标通过一个旋转矩阵：
（2）
进行变换。在此近似下，水晶片的琼斯矩阵为：
（3）
1.2 四频陀螺谐振腔的琼斯矩阵
四频陀螺结构如图1所示，腔内元件包括反射片（Mirror 1-3）、一个输出片（Mirror 4）、水晶片（quartz）和法拉第室（Faraday Cell）。法拉第室的旋光作用较弱，其琼斯矩阵接近单位阵，忽略其影响。
设，分别为反射片对s光、p光的振幅反射率和相位差，，分别为输出片对s光、p光的振幅反射率和相位差，于是反射片和输出片的琼斯矩阵为：
（4）
（5）
从增益管出发，光束经过镜片1、水晶片、镜片2～4，然后回到增益管，运行一周的琼斯矩阵为：
（6）
谐振腔的本征偏振模要满足自洽条件，即往返一周之后可以自再现，用公式表达为：
（7）
该式的意义是，本征偏振在谐振腔内往返一周后相位延迟了，幅度衰减倍，而偏振态不变。所以陀螺本征偏振模的所有信息就包含在琼斯矩阵之中，有两个本征值和本征矢量，分别对应左、右旋偏振模。 设左、右旋本征模分别满足：
（8）
（9）
则差分损耗为：
（10）
由于谐振腔的s，p各向异性效应，左右旋本征模之间不再是正交的，定义左右旋耦合系数：
（11）
式中为的转置。
设椭圆偏振模的琼斯矩阵为，则其方位角和椭率角满足的方程[6]：
（12）
（13）
设椭圆的长轴和短轴为A，B，则椭率角和椭圆度分别满足：
（14）
（15）
2 数值计算
在陀螺工作中，由于温度变化等原因，水晶片的双折射效应是变化的，所以有必要分析谐振腔本征模性质随水晶双折射的变化。根据目前镀膜水平，镜片参数取如下参量，。
双折射导致的相位差变化区间取为∶φ∶-5°∶5°，ρ∶85°∶95°，
取。
由计算结果可知，线双折射对模式差损和椭圆度的影响较圆双折射大，而圆双折射对模式耦合系数影响较线双折射大，但耦合系数的变化可以忽略。当为其他值时，可参照上述参量计算。
3 讨论
圆双折射变化主要来自于水晶旋光率随温度的变化，但由于其对模式性质影响较小，所以不做讨论。
线双折射主要来自于陀螺温度变化时，水晶片膨胀导致的应力双折射，且应力双折射随温度而变。下面利用激光器经典理论就应力双折射的后果——差损与偏振度进行讨论。
3.1 差分损耗变化的影响
差损变化的后果之一是稳频点的移动，其次是通过增益介质的色散导致零漂。
3.1.1 稳频点随差损的变化
忽略左、右旋模之间的耦合，左旋模的增益系数为[4]：
（16）
右旋模的增益系数为：
（17）
式中表示激光频率，表示激光光强，为峰值增益系数，为饱和光强，为原子发光中心频率，为多普勒展宽，下标代表左旋模，下标代表右旋模。
当陀螺稳态工作时，增益与损耗相等，有：
（18）
（19）
其中：为增益长度。
令，为陀螺腔自由光谱范围，稳频电路的反馈控制保证，又，所以：
（19）
根据陀螺的实际参数，取如下值，
，代入（20）式得
（21）
左、右旋差损的变化导致稳频精度下降，给陀螺带来零漂[5]。通过激光陀螺频率稳定度测量系统对激光模式频率进行测量，发现激光频率随温度变化[6]，可知温度增加时水晶片的线双折射增大，导致左右旋差分损耗的变化。
3.1.2 色散随差损的变化
只考虑左右旋差损，当陀螺稳态工作时，频率为的模式的频率牵引为：
（22）
式中为真空光速，为腔长，为环路介质折射率。化简时利用了陀螺阈值工作的特点=，由此得到频率牵引导致的零漂：
（23）
式中为陀螺的法拉弟偏频。可见，左、右旋差损效应可直接导致陀螺的零漂。
3.2 耦合和偏振度的影响
这两种情况的讨论要用到激光器的半经典理论，尚待进一步研究。
4 结语
当温度变化时，水晶片的线双折射随之变化，影响四频陀螺左、右旋本征模性质，后果之一是带来左、右旋模的差分损耗随温度而变。左、右旋差分损耗导致零漂的机理主要有影响稳频点和通过增益介质色散效应带来零漂。
参考文献
[1]Gao Bolong，Li Shutang.Ring laser gyro[M].Changsha：National University of Defense Technology Press，1984.
[2]高伯龙.水晶片的几个光学性能（一）[J].国防科技大学学报，1982（1）：59-71.
[3]杨在富，袁晓东，张斌，等.四频差动激光陀螺中的S-P各向异性效应[J].光学学报，1998，18（9）：1255-1260.
[4]杨在富，袁晓东，张斌，等.四频差动激光陀螺中差分损耗的探讨[J].中国激光，1999，26（1）：39-42.
[5]孙刚.四频差动激光陀螺水晶片安装方式的优化设计[D].长沙：国防科学技术大学，2005.
[6]廖延彪.偏振光学[M].北京：科学出版社，2003.
[7]周炳琨，高以智，陈倜嵘，等.激光原理[M].4版.北京：国防工业出版社，2000.
[8]袁杰，黄云，韩生节，等，四频差动激光陀螺由于稳频精度局限引入的零漂[J].激光杂志，2002，23（3）：22-24.
[9]罗晖，郭少军，胡绍民，等.激光陀螺仪频率稳定度高精度测量系统的研制[J].中国惯性技术学报，2005，13（6）2005：86.