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摘 要：给出带有两个参数的混合分布—Lindley-Geometric分布（LG分布）的概率密度和失效率函数的单调性证明，同时给出了LG分布的Rényi熵和Shannon熵.
关键词：Lindley分布;Geometric分布;失效率函数;Rényi熵;Shannon熵
[中图分类号]0212.1 [文献标志码]J
The Researches about the Properties of LG Distribution
TIAN Bing
（Faculty of Mathematics，Baotou Teachers College，Baotou 014030，China）
Abstract：The paper illustrates the prove of monotonicity about probability density and failure rate of LG distribution ， presents its Rényi entropy and Shannon entropy.
Key words：Lindley distribution;Geometric distribution;failure rate;Rényi entropy; Shannon entropy
人们通常采用失效率研究对象寿命的概率分布. 王蓉华、徐晓岭、顾蓓青[1]介绍了失效率图形常见的特点. Adamidis K 和Loukas A S[2]， Coskun Kus[3]，Rasoo Tahmasbia 和 Sadegh Rezaeib[4]分别研究了EG 分布（指数-几何分布）、EP 分布（指数-泊松分布）和EL 分布（指数-对数几何分布）. Ghitany等[5]研究Lindley分布诸多性质，并指出Lindley分布具有许多比指数分布还要灵活的性质.Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi[6]提出了一种新的带有两个参数的寿命分布——Lindley-Geometric分布（简记为LG分布），研究了其概率密度、矩、失效率函数、平均剩余寿命函数和Bonferroni and Lorenz 曲线以及概率加权矩等性质，给出了LG分布参数的极大似然估计的渐近方差——协方差阵.本文在文献[6]的基础上，给出了LG分布概率密度和失效率函数的单调性证明，同时给出了Rényi熵和Shannon熵.
1 LG分布的f（x，θ），h（x，θ）单调性
服从参数为p，β的LG分布的分布函数F（x）和概率密度分别为[6]
F（x，θ）=1-（1-p）[1+β x/（β+1）]eβ x-[1+β x/（β+1）]p，f（x，θ）=（1-p）β 2（x+1）eβ x（1+β）[eβ x-（1+β x/（β+1））p]2 .（1）
1.1 f（x，θ）单调性
对LG分布的f（x，θ）求导得
f′（x，θ）=（p-1）β 21+β·e β x[e β x（β x+β-1）+p（1+β 2（1+x）2）/（β+1）][e β x-（1+β x/（β+1））p]3.（2）
令M（x，θ）=e β x（β x+β-1）+p[1+β 2（1+x）2]/（β+1），有M′（x，θ）=β 2（1+x）[e β x+2p/（β+1）]>0，故A x∈[0，+∞），M（x，θ）严格单调递增. M（x，θ）=[（1+p）β 2+p-1]/（1+β）.所以有：
若M（0，θ） ≥0，即β≥（1-p）/（1+p）.由M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，故A x∈[0，+∞），M（x，θ） ≥0，进而可得f′（x，θ）<0，故此时f（x，θ）单调递减.
若M（0，θ） <0，即0<β<（1-p）/（1+p）.此时M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，则
x0∈（+∞，θ），有M（x，θ） =0.可得A x∈[0，x0），有M（x，θ） <0，故f′（x，θ）≥0. A x∈[x0，+∞），有M（x，θ） ≥0，故f′（x，θ）<0.因此，f（x，θ）先单调递增后单调递减.
图1是LG分布在p=0.5;β=1/3，0.5，1，2时f（x，θ）的图形. 图1验证了上述结论.
1.2 LG分布的h（x，θ）的单调性
由（1）式可得LG分布的失效率函数及失效率函数的导数分别为
h（x，θ）=β 2e β x（1+x）[e β x-（1+βx/（β+1））p][β+1+β x].（3）
h′（x，θ）=β2e β x[e β x-p（1+β x/（β+1））（β 2（1+x）2+1）]/（β+1）2.（4）
令y1=e β x，y2=p[1+β x/（β+1）][β 2（1+x）2+1]，N（x，θ）=y1-y2，则有：
A x∈[0，+∞），y1>0，y′1>0，y"1>0，y′2=pββ+1[1+β 2（1+x）2]+2β 2（1+x）1+β xβ+1>0，y2>0，y"2=p4β 3（x+1）β+1+2β 21+β xβ+1>0，limx→+∞y1y2=+∞，y1（0）=1，y2（0）=p（1+β 2）.
所以A x∈[0，+∞），y1，y2均為严格单调递增且函数值恒为正的函数.当x趋于正无穷大，y1是比y2高阶无穷大.因此，可得如下结论：
（1）当y1（0）>y2（0），即0y2，N（x，θ）>0，h′（x，θ）>0.此时h（x，θ）严格单调递增.
（2）当y1（0）≤y2（0），即（1+β 2）-1≤p<1，则有c∈（0，+∞），N（c，θ）=y1（c）-y2（c）=0.因而A x∈[0，c），有y1 从图2可以发现：当（1+β 2）-1≤p<1， p=0.5，β=2;p=1/3;β=3时，h（x，θ）先单调递减之后单调递增.当0 2 Rényi和Shannon熵
Rényi和Shannon熵用来刻画随机变量X的不确定性、多样性.r阶Rényi熵的定义为
IR（r）=11-rlog∫+∞0fr（x）dx，r>0，r≠1.
LG分布的Rényi熵为
IR（r）=11-rlog∫+∞0（1-p）β 2β+1r（1+x）rdxeβ rx[1-（1+β x/（β+1））pe-β x]2r.（5）
由（1-z）-n=∑∞j=0Γ（n+j）zjΓ（n）j！，n≥1，z∈R，将（5）式的分母展开后代入得
IR（r）=11-rrlog（1-p）+log∑ri=0∑∞j=0∑jl=0
（2r+j-1）！CrjCjlβ2l+2r+i+1pj（i+l）！（2r-1）！（1+β）l+r（j+r）l+i+1j！.（6）
Shannon熵的定义为SEX=E[-log（f（X））]. LG分布的Shannon熵为
SEX=1n1+β（1-p）β 2-∑∞i=1（-1）i-1E（Xi）i-1-β E（X）+2∑∞j=1∑jl=0Cjlβl（1+β）-lpjj-1E（Xle-β jX）.（7）
将E（Xk，θ）=∑∞n=1∑n-1i=0n（1-p）pn-1Cin-1[n（β+1）+k-i]Γ（n+k-i）（β+1）n-iβknn+k-i+1.
E（Xae-bX）=（1-p）∑∞j=0∑jl=0（j+1）Cljβ2+l（1+β）-l-1pj（a+l）！[β（1+j）+b]a+l+11+a+l+1β（1+j）+b
代入（7）式可以计算LG分布的Shannon熵.
3 结论
当β≥（1-p）/（1+p）时，f（x，θ）单调递减;当0<β<（1-p）/（1+p）时，f（x，θ）先单调递增后单调递减. 当0<β<（1+β 2）-1，则h（x，θ）严格单调递增;当（1+β 2）-1≤p<1，则h（x，θ）先单调递减之后单调递增. LG分布的Rényi，Shannon熵分别为公式（4）和公式（5）.
参考文献
[1]王蓉华.一种新的寿命分布：三参数威布尔—泊松分布[J]. 统计与决策，2016（12）：65-67.
[2]Adamidis K，LoukasA S. Lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics Probability Letters，1998，39（1）：35-42.
[3]Coskun Kus. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics Data Analysis，2007，51（9）：4497-4509.
[4]Rasool Tahmasbia，Sadegh Rezaeib.A two-parameter lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis，2008，52（8）：3889-3901.
[5]Ghitany M E， Atieh B， Nadarajah S. Lindley Distribution and its Applications[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2008（78）：493-506.
[6]Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi. A new two parameter lifetime distribution： model and properties[J]. Computational Statistics and Data Analysis May，2014，10.
[7]趙文英，袁赫. 基于改进logistic模型的中国社会消费品零售总额预测[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（4）：15-18.
[8]胡文涛，张理，王子姣. 基于主成分分析法的中国进口贸易影响因素研究[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（1）：1-6.
编辑：吴楠
关键词：Lindley分布;Geometric分布;失效率函数;Rényi熵;Shannon熵
[中图分类号]0212.1 [文献标志码]J
The Researches about the Properties of LG Distribution
TIAN Bing
（Faculty of Mathematics，Baotou Teachers College，Baotou 014030，China）
Abstract：The paper illustrates the prove of monotonicity about probability density and failure rate of LG distribution ， presents its Rényi entropy and Shannon entropy.
Key words：Lindley distribution;Geometric distribution;failure rate;Rényi entropy; Shannon entropy
人们通常采用失效率研究对象寿命的概率分布. 王蓉华、徐晓岭、顾蓓青[1]介绍了失效率图形常见的特点. Adamidis K 和Loukas A S[2]， Coskun Kus[3]，Rasoo Tahmasbia 和 Sadegh Rezaeib[4]分别研究了EG 分布（指数-几何分布）、EP 分布（指数-泊松分布）和EL 分布（指数-对数几何分布）. Ghitany等[5]研究Lindley分布诸多性质，并指出Lindley分布具有许多比指数分布还要灵活的性质.Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi[6]提出了一种新的带有两个参数的寿命分布——Lindley-Geometric分布（简记为LG分布），研究了其概率密度、矩、失效率函数、平均剩余寿命函数和Bonferroni and Lorenz 曲线以及概率加权矩等性质，给出了LG分布参数的极大似然估计的渐近方差——协方差阵.本文在文献[6]的基础上，给出了LG分布概率密度和失效率函数的单调性证明，同时给出了Rényi熵和Shannon熵.
1 LG分布的f（x，θ），h（x，θ）单调性
服从参数为p，β的LG分布的分布函数F（x）和概率密度分别为[6]
F（x，θ）=1-（1-p）[1+β x/（β+1）]eβ x-[1+β x/（β+1）]p，f（x，θ）=（1-p）β 2（x+1）eβ x（1+β）[eβ x-（1+β x/（β+1））p]2 .（1）
1.1 f（x，θ）单调性
对LG分布的f（x，θ）求导得
f′（x，θ）=（p-1）β 21+β·e β x[e β x（β x+β-1）+p（1+β 2（1+x）2）/（β+1）][e β x-（1+β x/（β+1））p]3.（2）
令M（x，θ）=e β x（β x+β-1）+p[1+β 2（1+x）2]/（β+1），有M′（x，θ）=β 2（1+x）[e β x+2p/（β+1）]>0，故A x∈[0，+∞），M（x，θ）严格单调递增. M（x，θ）=[（1+p）β 2+p-1]/（1+β）.所以有：
若M（0，θ） ≥0，即β≥（1-p）/（1+p）.由M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，故A x∈[0，+∞），M（x，θ） ≥0，进而可得f′（x，θ）<0，故此时f（x，θ）单调递减.
若M（0，θ） <0，即0<β<（1-p）/（1+p）.此时M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，则
x0∈（+∞，θ），有M（x，θ） =0.可得A x∈[0，x0），有M（x，θ） <0，故f′（x，θ）≥0. A x∈[x0，+∞），有M（x，θ） ≥0，故f′（x，θ）<0.因此，f（x，θ）先单调递增后单调递减.
图1是LG分布在p=0.5;β=1/3，0.5，1，2时f（x，θ）的图形. 图1验证了上述结论.
1.2 LG分布的h（x，θ）的单调性
由（1）式可得LG分布的失效率函数及失效率函数的导数分别为
h（x，θ）=β 2e β x（1+x）[e β x-（1+βx/（β+1））p][β+1+β x].（3）
h′（x，θ）=β2e β x[e β x-p（1+β x/（β+1））（β 2（1+x）2+1）]/（β+1）2.（4）
令y1=e β x，y2=p[1+β x/（β+1）][β 2（1+x）2+1]，N（x，θ）=y1-y2，则有：
A x∈[0，+∞），y1>0，y′1>0，y"1>0，y′2=pββ+1[1+β 2（1+x）2]+2β 2（1+x）1+β xβ+1>0，y2>0，y"2=p4β 3（x+1）β+1+2β 21+β xβ+1>0，limx→+∞y1y2=+∞，y1（0）=1，y2（0）=p（1+β 2）.
所以A x∈[0，+∞），y1，y2均為严格单调递增且函数值恒为正的函数.当x趋于正无穷大，y1是比y2高阶无穷大.因此，可得如下结论：
（1）当y1（0）>y2（0），即0
Rényi和Shannon熵用来刻画随机变量X的不确定性、多样性.r阶Rényi熵的定义为
IR（r）=11-rlog∫+∞0fr（x）dx，r>0，r≠1.
LG分布的Rényi熵为
IR（r）=11-rlog∫+∞0（1-p）β 2β+1r（1+x）rdxeβ rx[1-（1+β x/（β+1））pe-β x]2r.（5）
由（1-z）-n=∑∞j=0Γ（n+j）zjΓ（n）j！，n≥1，z∈R，将（5）式的分母展开后代入得
IR（r）=11-rrlog（1-p）+log∑ri=0∑∞j=0∑jl=0
（2r+j-1）！CrjCjlβ2l+2r+i+1pj（i+l）！（2r-1）！（1+β）l+r（j+r）l+i+1j！.（6）
Shannon熵的定义为SEX=E[-log（f（X））]. LG分布的Shannon熵为
SEX=1n1+β（1-p）β 2-∑∞i=1（-1）i-1E（Xi）i-1-β E（X）+2∑∞j=1∑jl=0Cjlβl（1+β）-lpjj-1E（Xle-β jX）.（7）
将E（Xk，θ）=∑∞n=1∑n-1i=0n（1-p）pn-1Cin-1[n（β+1）+k-i]Γ（n+k-i）（β+1）n-iβknn+k-i+1.
E（Xae-bX）=（1-p）∑∞j=0∑jl=0（j+1）Cljβ2+l（1+β）-l-1pj（a+l）！[β（1+j）+b]a+l+11+a+l+1β（1+j）+b
代入（7）式可以计算LG分布的Shannon熵.
3 结论
当β≥（1-p）/（1+p）时，f（x，θ）单调递减;当0<β<（1-p）/（1+p）时，f（x，θ）先单调递增后单调递减. 当0<β<（1+β 2）-1，则h（x，θ）严格单调递增;当（1+β 2）-1≤p<1，则h（x，θ）先单调递减之后单调递增. LG分布的Rényi，Shannon熵分别为公式（4）和公式（5）.
参考文献
[1]王蓉华.一种新的寿命分布：三参数威布尔—泊松分布[J]. 统计与决策，2016（12）：65-67.
[2]Adamidis K，LoukasA S. Lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics Probability Letters，1998，39（1）：35-42.
[3]Coskun Kus. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics Data Analysis，2007，51（9）：4497-4509.
[4]Rasool Tahmasbia，Sadegh Rezaeib.A two-parameter lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis，2008，52（8）：3889-3901.
[5]Ghitany M E， Atieh B， Nadarajah S. Lindley Distribution and its Applications[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2008（78）：493-506.
[6]Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi. A new two parameter lifetime distribution： model and properties[J]. Computational Statistics and Data Analysis May，2014，10.
[7]趙文英，袁赫. 基于改进logistic模型的中国社会消费品零售总额预测[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（4）：15-18.
[8]胡文涛，张理，王子姣. 基于主成分分析法的中国进口贸易影响因素研究[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（1）：1-6.
编辑：吴楠