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摘 要：“鸡兔同笼”作为经典名题，在小学三至六年级有层次地被学习。根据学生身心发展特点巧用列表法、画图法、假设法和列方程等方法进行解决，有效地渗透并发展了学生数形结合、化归枚举、代数等数学思想方法，促进了学生数学素养的提升。
关键词：鸡兔同笼;数学思想;建模
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-01-20 文章编号：1674-120X（2019）15-0060-02
“鸡兔同笼”是我国古代非常有名的趣题，最早记载于《孙子算经》中。当下，鸡兔同笼问题已经编入数学课本。如何让学生真正掌握鸡兔同笼问题的解题方法，從而培养学生的数学思维和数学思想呢？
一、教材解读
“鸡兔同笼”作为经典名题，在各版教材中都有编排，其目的是“介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中，能主动尝试从数学的角度寻找解决问题的策略，在经历猜想、实验、推理等数学探索的过程中渗透数学思想方法，培养学生解决问题的实践经验和能力，激发学生对数学的好奇心和求知欲”。（摘自《义务教育数学课程标准（2011年版）》）
笔者对各版本教材有关鸡兔同笼问题的内容进行了研读，并统计成下表：
苏教版六年级下册将它作为一题练习题来巩固“假设和替换”的策略;北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举;而人教版更是浓墨重彩，从原来的六上调整到四下，教学要求也有所改变。六上要求学生掌握列表法、假设法、方程等方法，同时也蕴含着丰富的思想方法：化归、枚举、数形结合、方程、建模等。四年级只需要掌握列表调整和假设法，其他方法不涉及。对四年级学生而言，经历猜测、尝试、调整的过程，培养有序思考的习惯、体验假设思想、积累学习经验才是最重要的。
二、教学策略
人教版教材将“鸡兔同笼”安排在四年级，其实它可以放在三至六年级进行学习，体现层次性和系统性。
（一）三年级：巧用数形结合来表征
三年级学生初次接触“鸡兔同笼”问题，受所学知识的局限，如同一个手无寸铁的小孩面对高大狰狞的“猛兽”，感到无助和害怕。要想战胜它，只有通过数形结合，运用观察、比对的思想方法，才能找到解决问题的突破口。
【例1】养殖场，养了鸡、兔共8只，脚共有22只，问养殖场有鸡、兔各多少只？
1.表格法
学生根据鸡、兔共8只，可以得到下表：
再根据表中鸡和兔的具体数量分别计算出每种情况脚的总数，最后根据脚的总数比较得到鸡5只、兔3只。
采用表格法解题，优点在于便于学生理解思路，掌握方法;缺点是当数量较大时，计算麻烦。
2.画图法
用8个小圆圈表示8个动物的头（如图1）。
两种动物混在一起，每种动物的脚数又不同，三年级学生思考起来比较复杂。为了将问题简单化，先假设只有一种动物，假设都是鸡，就在每个圆圈下面画上2只脚（如图2）。
假设：假设都是鸡，鸡的脚数一共：8×2=16（只）。
比较：与实际的22只脚相比少：22-16=6（只）。
找原因：把兔错当成了鸡，每只兔错当成鸡，就少算4-2=2（只）。
调整：把兔少算的2只脚补上去。每只鸡补上2只脚就成了兔。
列式计算：兔的只数=相差总数÷每只相差数=6÷2=
3（只）（如图3）。
学生借助作图法解题，自主探索到“假设法”解题的思维过程。就这样，学生运用图表直观地表征了各种思想方法，经历了从“图表化”到“数学化”逐步抽象的过程，把复杂的数学问题变得简洁而形象。
（二）四年级：巧用假设法来突破
学生初步感知了数形结合的解题方法后，面对“鸡兔同笼”，再也没有了“小孩面对猛兽”时的窘状，倒像是手拿武器的战士，充满自信前去勇斗。四年级学生主要学习运用比较和分类、分析和综合等思想方法，掌握用假设法解决“鸡兔同笼”问题的基本方法。
【例2】某养殖场，养了鸡、兔共35只，鸡的脚比兔的脚多22只。问鸡、兔各多少只？
方法一：假设都是鸡
（1）假设：鸡脚比兔脚多：35×2-0×4=70（只）。
（2）比较：与实际的多22只脚相比相差：70-22=48（只）。
（3）找原因：把兔错当成了鸡，每只兔错当成鸡，就少算4 2=6（只）。
（4）调整：48里面包含几个6，就是兔的只数。
（5）列式计算：
兔：（70-22） ÷（2 4）=8（只），鸡：35-8=27（只）。
方法二：假设都是兔
鸡：（35×4 22）÷（4 2）=162÷6=27（只）。
兔：35-27=8（只）
（三）五年级：活用假设法来拓展
通过四年级的学习，学生发现解决“鸡兔同笼”问题不仅仅只有“假设法”，而 “假设法”也不是只能解答“鸡兔同笼”。这好比一个刚从迷宫出来的人，突然觉得天地豁然开阔，感受到生活中很多问题，都能用“假设法”解决。
【例3】数学竞赛中，有12道计算题，评分规定：每答对一道题得10分， 答错一道题要倒扣 4 分。丁丁答了全部题目，但最后只得了50分，他答错几题？
思考：把什么类比成总头数？把什么类比成总脚数？把什么类比成鸡、兔的脚数？
方法一：假设都答对
答错题数：（12×10-50）÷（10 4）=70÷14=5（题）。
方法二：假设都答错
答对题数：（50 12×4）÷（10 4）=98÷14=7（题）。 答错题数：12-7=5（题）。
这阶段主要运用归纳和演绎、类比与猜想等数学思想方法，将基本的假设法举一反三。通过解决实际问题，能够使学生的数学思维空间的广度和深度得到拓展，数学能力得到培养。
（四）六年级：妙用代数思想来建模
六年級学生已经学过了稍复杂的方程问题，思维已从算术层面跃升到了代数层面，再来解答“鸡兔同笼”问题，觉得“鸡兔同笼”不再如“猛兽”和“迷宫”，再也不用分析或明或暗的条件，再也不用纠缠各条件之间的特点和因果关系，只要抓住其中的一条等量关系，就可列出方程并解答。
【例4】某养殖场，养了鸡、兔共25只，脚共有70只，问养殖场有鸡、兔各多少只？
解：设养鸡的只数为x只，那么兔的只数为（25-x）只。
等量关系：鸡脚的只数 兔脚的只数=70
2x 4×（25-x）=70
2x 4×25-4x=70
2x 100-4x=70
关键词：鸡兔同笼;数学思想;建模
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-01-20 文章编号：1674-120X（2019）15-0060-02
“鸡兔同笼”是我国古代非常有名的趣题，最早记载于《孙子算经》中。当下，鸡兔同笼问题已经编入数学课本。如何让学生真正掌握鸡兔同笼问题的解题方法，從而培养学生的数学思维和数学思想呢？
一、教材解读
“鸡兔同笼”作为经典名题，在各版教材中都有编排，其目的是“介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中，能主动尝试从数学的角度寻找解决问题的策略，在经历猜想、实验、推理等数学探索的过程中渗透数学思想方法，培养学生解决问题的实践经验和能力，激发学生对数学的好奇心和求知欲”。（摘自《义务教育数学课程标准（2011年版）》）
笔者对各版本教材有关鸡兔同笼问题的内容进行了研读，并统计成下表：
苏教版六年级下册将它作为一题练习题来巩固“假设和替换”的策略;北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举;而人教版更是浓墨重彩，从原来的六上调整到四下，教学要求也有所改变。六上要求学生掌握列表法、假设法、方程等方法，同时也蕴含着丰富的思想方法：化归、枚举、数形结合、方程、建模等。四年级只需要掌握列表调整和假设法，其他方法不涉及。对四年级学生而言，经历猜测、尝试、调整的过程，培养有序思考的习惯、体验假设思想、积累学习经验才是最重要的。
二、教学策略
人教版教材将“鸡兔同笼”安排在四年级，其实它可以放在三至六年级进行学习，体现层次性和系统性。
（一）三年级：巧用数形结合来表征
三年级学生初次接触“鸡兔同笼”问题，受所学知识的局限，如同一个手无寸铁的小孩面对高大狰狞的“猛兽”，感到无助和害怕。要想战胜它，只有通过数形结合，运用观察、比对的思想方法，才能找到解决问题的突破口。
【例1】养殖场，养了鸡、兔共8只，脚共有22只，问养殖场有鸡、兔各多少只？
1.表格法
学生根据鸡、兔共8只，可以得到下表：
再根据表中鸡和兔的具体数量分别计算出每种情况脚的总数，最后根据脚的总数比较得到鸡5只、兔3只。
采用表格法解题，优点在于便于学生理解思路，掌握方法;缺点是当数量较大时，计算麻烦。
2.画图法
用8个小圆圈表示8个动物的头（如图1）。
两种动物混在一起，每种动物的脚数又不同，三年级学生思考起来比较复杂。为了将问题简单化，先假设只有一种动物，假设都是鸡，就在每个圆圈下面画上2只脚（如图2）。
假设：假设都是鸡，鸡的脚数一共：8×2=16（只）。
比较：与实际的22只脚相比少：22-16=6（只）。
找原因：把兔错当成了鸡，每只兔错当成鸡，就少算4-2=2（只）。
调整：把兔少算的2只脚补上去。每只鸡补上2只脚就成了兔。
列式计算：兔的只数=相差总数÷每只相差数=6÷2=
3（只）（如图3）。
学生借助作图法解题，自主探索到“假设法”解题的思维过程。就这样，学生运用图表直观地表征了各种思想方法，经历了从“图表化”到“数学化”逐步抽象的过程，把复杂的数学问题变得简洁而形象。
（二）四年级：巧用假设法来突破
学生初步感知了数形结合的解题方法后，面对“鸡兔同笼”，再也没有了“小孩面对猛兽”时的窘状，倒像是手拿武器的战士，充满自信前去勇斗。四年级学生主要学习运用比较和分类、分析和综合等思想方法，掌握用假设法解决“鸡兔同笼”问题的基本方法。
【例2】某养殖场，养了鸡、兔共35只，鸡的脚比兔的脚多22只。问鸡、兔各多少只？
方法一：假设都是鸡
（1）假设：鸡脚比兔脚多：35×2-0×4=70（只）。
（2）比较：与实际的多22只脚相比相差：70-22=48（只）。
（3）找原因：把兔错当成了鸡，每只兔错当成鸡，就少算4 2=6（只）。
（4）调整：48里面包含几个6，就是兔的只数。
（5）列式计算：
兔：（70-22） ÷（2 4）=8（只），鸡：35-8=27（只）。
方法二：假设都是兔
鸡：（35×4 22）÷（4 2）=162÷6=27（只）。
兔：35-27=8（只）
（三）五年级：活用假设法来拓展
通过四年级的学习，学生发现解决“鸡兔同笼”问题不仅仅只有“假设法”，而 “假设法”也不是只能解答“鸡兔同笼”。这好比一个刚从迷宫出来的人，突然觉得天地豁然开阔，感受到生活中很多问题，都能用“假设法”解决。
【例3】数学竞赛中，有12道计算题，评分规定：每答对一道题得10分， 答错一道题要倒扣 4 分。丁丁答了全部题目，但最后只得了50分，他答错几题？
思考：把什么类比成总头数？把什么类比成总脚数？把什么类比成鸡、兔的脚数？
方法一：假设都答对
答错题数：（12×10-50）÷（10 4）=70÷14=5（题）。
方法二：假设都答错
答对题数：（50 12×4）÷（10 4）=98÷14=7（题）。 答错题数：12-7=5（题）。
这阶段主要运用归纳和演绎、类比与猜想等数学思想方法，将基本的假设法举一反三。通过解决实际问题，能够使学生的数学思维空间的广度和深度得到拓展，数学能力得到培养。
（四）六年级：妙用代数思想来建模
六年級学生已经学过了稍复杂的方程问题，思维已从算术层面跃升到了代数层面，再来解答“鸡兔同笼”问题，觉得“鸡兔同笼”不再如“猛兽”和“迷宫”，再也不用分析或明或暗的条件，再也不用纠缠各条件之间的特点和因果关系，只要抓住其中的一条等量关系，就可列出方程并解答。
【例4】某养殖场，养了鸡、兔共25只，脚共有70只，问养殖场有鸡、兔各多少只？
解：设养鸡的只数为x只，那么兔的只数为（25-x）只。
等量关系：鸡脚的只数 兔脚的只数=70
2x 4×（25-x）=70
2x 4×25-4x=70
2x 100-4x=70