摘要：在研究组合计数问题时，反演公式是个十分重要的工具.本文中笔者根据一般反演原理探讨
　　多项式（扩充二项式关系的多项式）反演公式，并应用它导出了几个组合恒等式.
　　关键词：指母函数；反演公式；组合恒等式
　　文[1]给出了二项式反演公式。以下，我们来研究多项式反演公式，首先研究较简单的三项式反演公式.
　　命题1 （三项式反演公式）
　　..
　　为了证明命题1，先证一类较广泛的三项式反演公式.
　　命题2 设 是定义在非负整数集 上的四个函数，且 ，那么，由
　　， 一切 （1）
　　成立，就可推出
　　， 一切 （2）
　　成立.这里 ， 分别满足以下关系（见文[2]）：
　　= ， （3）
　　= . （4）
　　反之，由（2）成立也可推出（1）成立.
　　證 定义如下六个函数：
　　； ；
　　； ；
　　； .
　　（符号“： =”意为“定义为”），由（3）与（4）易知 ， .
　　根据级数乘法的对角线法则及（1）可得
　　. （5）
　　因此 ： . （6）
　　由于 中含 项的系数为 ，而 中含 项的系数为
　　，
　　所以 ， 一切 .此即（2）式..
　　反之，由（2）可得（6），因而有（5）.比较其中诸系数即得（1）.
　　下面证（3），（4）类似可证. 给出
　　， ，
　　可知 ， （7）而
　　.
　　比较（7）的左边，得 = .亦即（3）成立.证毕
　　推论1 若 是定义在 上的二个函数，且 为复常数，则
　　.
　　推论2 若 是定义在 上的二个函数，则
　　.
　　在命题2中令 ， ，，应用（3）、（4）显见 ， （参见文[2]），得推论1.令 ，即得推论2.将推论2中的 分别代之以 ， 就得命题1.
　　命题3，设 均是定义在非负整数集 上的函数，且 ，则
　　这里 满足以下关系：
　　= .
　　命题4（多项式反演公式）
　　.
　　例 应用反演公式可导出以下几个例子组合恒等式：
　　1、 =1， （8）
　　2、 = ， （9）
　　3、 = . （10）
　　参考文献：
　　[1] [罗] I.TOMESCU著.组合学引论.清华大学应用数学系离散数学教研组译.高等教育出版社1985.7第1版.
　　[2] 柯召 魏万迪著.组合论（上册）.科学出版社1981.10第1版