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[摘 要] 数学习题纠错，是高中数学课堂教学的重要内容之一. 长期以来的以教师讲评为主的课堂教学方式却在纠错教学的效果上难如人意. 依托课题研究中引入的“学习金字塔理论”，进行由学生主导的“说错”课堂教学实践，把课堂还给学生，则有效地化解了传统教学的弊端.
[关键词] 说错；数学教学；学习金字塔理论；实践
缘起
习题讲评，是数学课堂教学中的重要内容之一，习题讲评中纠正学生做题中的典型错误，则构成了教学的重点与难点.
传统的教学过程，往往是由教师主导，在详细分析了学生习题中的错误之后，有针对性地进行备课，然后在课堂上进行讲评、重申，换以不同角度剖析，设置针对性训练以强化，基本上就算完成了一个教学周期. 但是，这种纠错教学的效果，总是令人不甚满意，许多典型的错误，即使是教师在课堂上讲评了，几天或一周后再练，出错率仍旧很高. 根据我们一项调研发现，高三学生在数学习题上的二错率（即教师纠错讲评后一周通过变式练习重新检测该知识、技能、方法，仍旧出错的比率）达46%，以至于有教师无奈地叹息：都讲了N遍了，再考还错.
“学习金字塔理论”启示我们，传统教学中的习题纠错，是典型的被动式学习，教师在讲评，但那是源于教师自己的认知与经验系统的纠错，是基于教师认知水平的思维，它不是学生的思维，尤其不是出错学生的思维与认知路径. 要达到效果好的主动学习，就要追求“学习金字塔理论”中的最好阶层——“讲给别人听”（也译为“教授给他人”）. 只有出自于出错学生自己的认知与思维，让他们的思维用语言外化，把出错过程暴露出来，这样的纠错，才可能更具有深刻性. 于是，让学生“说错”，把习题讲评的课堂交给学生，让学生在典型错误上“讲给别人听”，从而达到个体主动学习的高效，引领其他学生的思维趋于深刻，就成为笔者的思考和尝试. 本文中的“说错”的“错”，仅指学生在做数学习题时产生的典型错误.
实践
1. 日常习题
日常习题，即是非正规考试的日常作业类习题. 这类习题中的典型错误，一般是由教师发现后，指定具有典型性错误的某一学生先期准备，然后，作为其后课堂教学的一个环节，让有所准备的该学生来讲评，也就是来“说错”.
基本程序：学生展示其出错过程，分析出错原因，指出相关的知识点、方法或技能，如何更正，其他学生补充，教师点评.
例1：设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 S6=2S9，求数列的公比.
师：请甲同学来讲评.
甲：这是我的解题过程（展示）：因为S3 S6=2S9，所以 =2，
即q3（2q6-q3-1）=0. 因为q≠0，所以 q=-或q=1.
错误在于q=1时，已知条件变成3a1 6a1=2·9a1，这个条件不成立. 因为忘记了检验.，所以导致了错误.
师：讲评得很好. 是不是要解完了题再加上检验呢？（面向全体学生）
因为是课堂的一个环节，故而为保证教学效果，课前，教师要帮助学生规范语言甚至教态. 但必须注意的是，要保证学生对其错误展示的原生态，是学生自己的思维而不是教师的思维. 学生的展示和剖析，虽然可能不如教师来得规范、严谨，但是笔者恰恰以为，这才是最具有学生思维特点的教学.
2. 考练习题
高三年级，尤其进入备考阶段，考试是很频繁的. 无论是章节性考试，还是综合性考试，都是课表上计划的重要内容. 这类考练，都由完整的试卷构成，试卷暴露出来的错误，构成了后续教学的主要内容. 因此，考试后的试卷讲评，对习题中典型错误的纠错，并以此展开更深入的、富有针对性的教学，往往有着非同一般的意义. 基于让学生“讲给别人听”的理念，这类“说错”的课堂，基本流程如下：
一是学生学习小组承包. 考试之前，哪个学生学习小组承包本次试卷讲评，就是很明确的，便于学生提前具有“说错”的思想准备，也便于学生进行“说错”的课堂准备.
二是承包学习小组集体备课. 承包小组的这几位学生，会有意识地在考试后、在参与试卷评判、在全班学生中，收集典型错例及其相关内容，然后在教师的指导下集体备课，明确分工，剖析错误.
三是承包课堂. 该学生小组承包其后的习题讲评课，进行“说错”教学. 小组学生根据课前分工，分别对不同的题目、不同的错例，担当“教师”角色，在课堂上进行“说错”教学. 教师则做好点评、补台以及安排针对性训练的工作. 要求教师的点评简明扼要，不喧宾夺主.
例2：已知（x 2）2 =1，则x2 y2的取值范围是__________.
错在哪里？不能小于零. 忘记了在原来条件中，无论x还是y，取值都是受限制的.
由已知，（x 2）2=1-，解得-3≤x≤-1. 这时，结论该是什么呢？（学生做）
师：分析得很清楚，隐含条件往往成为“陷阱”. 那么这个题目哪位同学还有不同思路呢？
生丙：类比sin2α cos2α=1，可用三角代换.
生丁：已知为一个椭圆方程，为椭圆上的点到原点的距离的平方.
为了保证学生思维的完整性，要指导学生将“说错”的重点放在出错的过程上，展示出错的思维过程，以期达到认识上的顿悟.
在更正部分尽量让其他学生进行补充，鼓励解法的多样性. 通过“一题多解”，会更好地加深对习题所承载知识与方法的理解与掌握，激发兴趣. 这种“说错”，不仅会促进交流，而且会增进学生之间的思维交锋，提高其思维的广阔性.
思考
（1）文中“说错”的平台是“说题”，其中的关键词是学生的“说”. 学生的学习过程，就是不断接受新认知、不断纠正错误、不断完善知识建构的过程. 在这个过程中，思维是核心，出错也是思维的结果. 只不过，“思维是无声的语言”，这种無声是内在，没能充分调动外在感官的参与，因此，“讲给别人听”的“说错”，让言语成为出声的思维，这就契合了课堂教学的特质. 不仅“说错”的学生达到了很高的学习效率，而且由于学生有着相近甚至相同的思维模式，对于“听错”的学生来说，也达到了由教师讲评纠错所达不到的教学效果.
事实上，尝试与实践一个学期后，笔者再次调研发现，学生的二错率最高也不超过20%，更为可喜的是，由学生进行“说错”而带来的一些变化超乎原来预料. 比如，学生学习数学的热情、参与课堂教学的热情大大提高了. 比如，“说错”有效地训练了学生的数学表达与交流能力，“说”的自信明显增强，锻炼了学生的口头表达能力. 口头表达，难度比书面表达更大，更能反映学生的理解程度.
（2）这个让学生“说错”的教学实践，只是笔者在做课题《高中数学教学中基于“教授给他人”的主动学习研究》中的一个小片段，尝试的时间较短，介入的班级也较少，相关的实践途径没有进一步拓展. 因此，结论还显得稚嫩，实践也难免粗陋. 但是，对于提高数学教学效果，感觉前景很广阔.
（3）“说错”的理论依据是“学习金字塔理论”，但笔者感觉，“说错”是“讲给别人听”的一种途径，要真正构建“学习金字塔理论”下的数学高效课堂，仅有“途径”是不够的，需要学生在教师的指导和帮助下，在学习数学的方方面面，养成“讲给别人听”的主动学习习惯. 当学生把内部思维语言转化为外部表述语言时，就有机会认识自己是怎么想的，自己的想法是怎样起作用的，也就对自己的认知活动进行了再认识，所以，“说错”的有效性源于“元认知开发”.
“说错”，不仅要求学生说清楚出错的过程，还要让其他学生听得明白，逼迫学生去追溯自己的思维过程，逼迫学生整理自己的思路以形成一个完整的流程，将内隐的、个体的思维转化为外显的、规范的言语及教学行为，将自己一个个跳跃的、不连贯的思维点转化为一个连续的思维过程，并用数学语言严谨地表述清楚，这些内容都属于元认知的范畴. 不仅可以让学生对典型错误的认识深入骨髓，久而不忘，而且，还锻炼了学生“看得见的思维”. “做题十遍，不如讲说一遍”.
（4）为使课堂上学生“说错”能顺利进行，教师在教学过程中，要尽量少用提示语，克制随时介入教学的冲动，尽量保持学生思维呈现的原生态. 学生限于认知上的局限，尤其在“说错”的开始阶段，难免会表达不流利，数学语言不规范，加上怯场，影响展示效果. 这时，需要教师对课堂氛围进行营造，对“说错”的学生进行鼓励，以及在课前进行较为具体的“说”的指导.
[关键词] 说错；数学教学；学习金字塔理论；实践
缘起
习题讲评，是数学课堂教学中的重要内容之一，习题讲评中纠正学生做题中的典型错误，则构成了教学的重点与难点.
传统的教学过程，往往是由教师主导，在详细分析了学生习题中的错误之后，有针对性地进行备课，然后在课堂上进行讲评、重申，换以不同角度剖析，设置针对性训练以强化，基本上就算完成了一个教学周期. 但是，这种纠错教学的效果，总是令人不甚满意，许多典型的错误，即使是教师在课堂上讲评了，几天或一周后再练，出错率仍旧很高. 根据我们一项调研发现，高三学生在数学习题上的二错率（即教师纠错讲评后一周通过变式练习重新检测该知识、技能、方法，仍旧出错的比率）达46%，以至于有教师无奈地叹息：都讲了N遍了，再考还错.
“学习金字塔理论”启示我们，传统教学中的习题纠错，是典型的被动式学习，教师在讲评，但那是源于教师自己的认知与经验系统的纠错，是基于教师认知水平的思维，它不是学生的思维，尤其不是出错学生的思维与认知路径. 要达到效果好的主动学习，就要追求“学习金字塔理论”中的最好阶层——“讲给别人听”（也译为“教授给他人”）. 只有出自于出错学生自己的认知与思维，让他们的思维用语言外化，把出错过程暴露出来，这样的纠错，才可能更具有深刻性. 于是，让学生“说错”，把习题讲评的课堂交给学生，让学生在典型错误上“讲给别人听”，从而达到个体主动学习的高效，引领其他学生的思维趋于深刻，就成为笔者的思考和尝试. 本文中的“说错”的“错”，仅指学生在做数学习题时产生的典型错误.
实践
1. 日常习题
日常习题，即是非正规考试的日常作业类习题. 这类习题中的典型错误，一般是由教师发现后，指定具有典型性错误的某一学生先期准备，然后，作为其后课堂教学的一个环节，让有所准备的该学生来讲评，也就是来“说错”.
基本程序：学生展示其出错过程，分析出错原因，指出相关的知识点、方法或技能，如何更正，其他学生补充，教师点评.
例1：设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 S6=2S9，求数列的公比.
师：请甲同学来讲评.
甲：这是我的解题过程（展示）：因为S3 S6=2S9，所以 =2，
即q3（2q6-q3-1）=0. 因为q≠0，所以 q=-或q=1.
错误在于q=1时，已知条件变成3a1 6a1=2·9a1，这个条件不成立. 因为忘记了检验.，所以导致了错误.
师：讲评得很好. 是不是要解完了题再加上检验呢？（面向全体学生）
因为是课堂的一个环节，故而为保证教学效果，课前，教师要帮助学生规范语言甚至教态. 但必须注意的是，要保证学生对其错误展示的原生态，是学生自己的思维而不是教师的思维. 学生的展示和剖析，虽然可能不如教师来得规范、严谨，但是笔者恰恰以为，这才是最具有学生思维特点的教学.
2. 考练习题
高三年级，尤其进入备考阶段，考试是很频繁的. 无论是章节性考试，还是综合性考试，都是课表上计划的重要内容. 这类考练，都由完整的试卷构成，试卷暴露出来的错误，构成了后续教学的主要内容. 因此，考试后的试卷讲评，对习题中典型错误的纠错，并以此展开更深入的、富有针对性的教学，往往有着非同一般的意义. 基于让学生“讲给别人听”的理念，这类“说错”的课堂，基本流程如下：
一是学生学习小组承包. 考试之前，哪个学生学习小组承包本次试卷讲评，就是很明确的，便于学生提前具有“说错”的思想准备，也便于学生进行“说错”的课堂准备.
二是承包学习小组集体备课. 承包小组的这几位学生，会有意识地在考试后、在参与试卷评判、在全班学生中，收集典型错例及其相关内容，然后在教师的指导下集体备课，明确分工，剖析错误.
三是承包课堂. 该学生小组承包其后的习题讲评课，进行“说错”教学. 小组学生根据课前分工，分别对不同的题目、不同的错例，担当“教师”角色，在课堂上进行“说错”教学. 教师则做好点评、补台以及安排针对性训练的工作. 要求教师的点评简明扼要，不喧宾夺主.
例2：已知（x 2）2 =1，则x2 y2的取值范围是__________.
错在哪里？不能小于零. 忘记了在原来条件中，无论x还是y，取值都是受限制的.
由已知，（x 2）2=1-，解得-3≤x≤-1. 这时，结论该是什么呢？（学生做）
师：分析得很清楚，隐含条件往往成为“陷阱”. 那么这个题目哪位同学还有不同思路呢？
生丙：类比sin2α cos2α=1，可用三角代换.
生丁：已知为一个椭圆方程，为椭圆上的点到原点的距离的平方.
为了保证学生思维的完整性，要指导学生将“说错”的重点放在出错的过程上，展示出错的思维过程，以期达到认识上的顿悟.
在更正部分尽量让其他学生进行补充，鼓励解法的多样性. 通过“一题多解”，会更好地加深对习题所承载知识与方法的理解与掌握，激发兴趣. 这种“说错”，不仅会促进交流，而且会增进学生之间的思维交锋，提高其思维的广阔性.
思考
（1）文中“说错”的平台是“说题”，其中的关键词是学生的“说”. 学生的学习过程，就是不断接受新认知、不断纠正错误、不断完善知识建构的过程. 在这个过程中，思维是核心，出错也是思维的结果. 只不过，“思维是无声的语言”，这种無声是内在，没能充分调动外在感官的参与，因此，“讲给别人听”的“说错”，让言语成为出声的思维，这就契合了课堂教学的特质. 不仅“说错”的学生达到了很高的学习效率，而且由于学生有着相近甚至相同的思维模式，对于“听错”的学生来说，也达到了由教师讲评纠错所达不到的教学效果.
事实上，尝试与实践一个学期后，笔者再次调研发现，学生的二错率最高也不超过20%，更为可喜的是，由学生进行“说错”而带来的一些变化超乎原来预料. 比如，学生学习数学的热情、参与课堂教学的热情大大提高了. 比如，“说错”有效地训练了学生的数学表达与交流能力，“说”的自信明显增强，锻炼了学生的口头表达能力. 口头表达，难度比书面表达更大，更能反映学生的理解程度.
（2）这个让学生“说错”的教学实践，只是笔者在做课题《高中数学教学中基于“教授给他人”的主动学习研究》中的一个小片段，尝试的时间较短，介入的班级也较少，相关的实践途径没有进一步拓展. 因此，结论还显得稚嫩，实践也难免粗陋. 但是，对于提高数学教学效果，感觉前景很广阔.
（3）“说错”的理论依据是“学习金字塔理论”，但笔者感觉，“说错”是“讲给别人听”的一种途径，要真正构建“学习金字塔理论”下的数学高效课堂，仅有“途径”是不够的，需要学生在教师的指导和帮助下，在学习数学的方方面面，养成“讲给别人听”的主动学习习惯. 当学生把内部思维语言转化为外部表述语言时，就有机会认识自己是怎么想的，自己的想法是怎样起作用的，也就对自己的认知活动进行了再认识，所以，“说错”的有效性源于“元认知开发”.
“说错”，不仅要求学生说清楚出错的过程，还要让其他学生听得明白，逼迫学生去追溯自己的思维过程，逼迫学生整理自己的思路以形成一个完整的流程，将内隐的、个体的思维转化为外显的、规范的言语及教学行为，将自己一个个跳跃的、不连贯的思维点转化为一个连续的思维过程，并用数学语言严谨地表述清楚，这些内容都属于元认知的范畴. 不仅可以让学生对典型错误的认识深入骨髓，久而不忘，而且，还锻炼了学生“看得见的思维”. “做题十遍，不如讲说一遍”.
（4）为使课堂上学生“说错”能顺利进行，教师在教学过程中，要尽量少用提示语，克制随时介入教学的冲动，尽量保持学生思维呈现的原生态. 学生限于认知上的局限，尤其在“说错”的开始阶段，难免会表达不流利，数学语言不规范，加上怯场，影响展示效果. 这时，需要教师对课堂氛围进行营造，对“说错”的学生进行鼓励，以及在课前进行较为具体的“说”的指导.