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学完实数后,我才真正搞懂,为什么数系要一直扩充. 七年级时为了表示相反意义的量,引入了负数,并学习了负数参与下的运算. 本以为从小学的数系到七年级有理数就很全面了,没想到,这一章又学了实数,知道了一类新数——无理数(无限不循环小数). 初学时,我却以为,数学又在莫名其妙地出现新的概念、名词,但现在我知道了,数系扩充到实数是很必要的,至少能帮助我理解以前一些不懂的问题,比如:
例1 一个直角三角形的两边长分别是3、4,则第三边长为_______.
这是学习勾股定理时在一本练习册上看到的一道习题,我当时毫不犹豫地写上了“5”,却被老师告知是错的、不全面的. 他后来解释说要让我分类讨论. 分类好办,但是有一种情况却不好办,如图1.
记得当时列式是:BC2=42-32,有BC2
=7. 由于没有想到哪个数的平方等于7,我就舍去了这种情况. 现在学完了实数,才知道,原来第三边也可能是■,只不过这是一个无理数.
例2 怎样在数轴上精确地找到表示无理数■的点.
以前我只是看懂如图2,图3所示的利用正方形的边长和对角线在数轴上找出如■这样的无理数.
后来在教材的启发下,学会了表示■,如图4.
可以发现,这是利用勾股定理在构造无理数的边长. 于是我终于想通了■这样的无理数怎样简洁地在数轴上精确地找出来,请看我的构图5.
容易发现,在Rt△AOB中由勾股定理得到OB=■,再把这个精确值在数轴上截取出来就得到点C,而点C对应的正是■.
老师还讲过毕达哥拉斯学派的一个门徒为了无理数■,受到教会迫害被扔到海里. 看来,我们现在觉得很自然的无理数,在历史上却也“来之不易”.
教师点评:小作者在初学“实数”后,结合自己此前的一些困惑写成一篇有感而发的短文,值得学习. 值得肯定的是,本文列举的两个例题确实是两个经典例题,例1需要分类讨论,例2需要利用勾股定理构造无理数,这都是在上一章勾股定理学习时难解决的问题(有知识障碍).同学在这篇短文的启发下,可以反思自己还有哪些类似的问题,这样的自主反思、积累,才是阅读本文后更有意义的收获.
(指导教师:江海人)
例1 一个直角三角形的两边长分别是3、4,则第三边长为_______.
这是学习勾股定理时在一本练习册上看到的一道习题,我当时毫不犹豫地写上了“5”,却被老师告知是错的、不全面的. 他后来解释说要让我分类讨论. 分类好办,但是有一种情况却不好办,如图1.
记得当时列式是:BC2=42-32,有BC2
=7. 由于没有想到哪个数的平方等于7,我就舍去了这种情况. 现在学完了实数,才知道,原来第三边也可能是■,只不过这是一个无理数.
例2 怎样在数轴上精确地找到表示无理数■的点.
以前我只是看懂如图2,图3所示的利用正方形的边长和对角线在数轴上找出如■这样的无理数.
后来在教材的启发下,学会了表示■,如图4.
可以发现,这是利用勾股定理在构造无理数的边长. 于是我终于想通了■这样的无理数怎样简洁地在数轴上精确地找出来,请看我的构图5.
容易发现,在Rt△AOB中由勾股定理得到OB=■,再把这个精确值在数轴上截取出来就得到点C,而点C对应的正是■.
老师还讲过毕达哥拉斯学派的一个门徒为了无理数■,受到教会迫害被扔到海里. 看来,我们现在觉得很自然的无理数,在历史上却也“来之不易”.
教师点评:小作者在初学“实数”后,结合自己此前的一些困惑写成一篇有感而发的短文,值得学习. 值得肯定的是,本文列举的两个例题确实是两个经典例题,例1需要分类讨论,例2需要利用勾股定理构造无理数,这都是在上一章勾股定理学习时难解决的问题(有知识障碍).同学在这篇短文的启发下,可以反思自己还有哪些类似的问题,这样的自主反思、积累,才是阅读本文后更有意义的收获.
(指导教师:江海人)