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不久前，笔者参加数学教研活动，有幸聆听了盐城市名师於红中老师执教的苏教版《数学》五年级下册“圆的认识”这节课。於老师的课堂教学直抵知识本质，围绕圆、圆心、半径、直径等概念，精选学习素材，彰显知识本质特征，巧妙地帮助学生准确建立圆、圆心、半径、直径等概念表征，从而促进学生深刻理解概念内涵，准确掌握所学知识，引领学生思维发展。现撷取几个片段加以赏析。
【片段一】选择典型实物实图，彰显圆的本质特征
师：在我们生活中，随处可见圆形的物体，比如：铁环、玉镯、钥匙圈（教者依次出示实物）。
生1：圆形的铁环。
生2：圆形的玉镯。
生3：圆形的钥匙圈。
师：除了这些圆形的实物，老师还准备了一些圆形物体的实物图，比如（教师用课件出示实物图）：方向盘、碗口、茶杯口、自行车车轮钢圈。
生4：圆形的方向盘。
生5：圆形的碗口。
生6：圆形的茶杯口。
生7：圆形的自行车车轮钢圈。
师：刚才，我们一起观察了圆形的实物或实物图。大家能再举一些生活中圆的例子吗？
生8：一元钱硬币的外圈是圆。
生9：五角钱、一角钱硬币的外圈都是圆。
生10：透明胶带的内圈、外圈都是圆……
【赏析】在教学“圆的认识”一课时，教师经常要列举一些“圆”的实物或者利用挂图、课件出示一些“圆”的实物图，让学生通过观察实物或实物图等学习素材，形象直观地感知圆的知识。但是，不同类型的教学素材表述同一知识点的效果并不相同。因此，教师所选择的实物或实物图等学习素材必须能够彰显所学知识的本质特征，尽可能减少实物或实物图所蕴含知识的非本质特征。在上述教学片段中，正是因为於老师精心选择了“空心圆”的实物、实物图，彰显“圆”的本质属性，让学生准确感知圆是一条封闭的曲线这一本质特征，再让学生自己举例子时，学生都会准确地说“一元钱硬币的外圈是圆”“五角钱、一角钱硬币的外圈都是圆”“透明胶带的内圈、外圈都是圆”等，从而让学生准确感知圆的特征，建立圆的正确概念。
【片段二】展示定义发生过程，凸显半径本质特征
师（随手在圆外、圆内、圆上分别点一点并标上字母A、B、C）：这三个点分别在圆的哪儿呢？
生1：点A在圆的外部。
生2：点B在圆的内部。
生3：点C刚好在圆上。
师：对！现在，看看我连接的是哪两个点呢？（师连接圆心和圆上一点）
生4：连接圆心和圆上的一点。
师：这样的线段有个名称叫什么呢？
生5：叫半径，用字母r表示。
师：你怎么知道的呢？
生6：我在课前看过书。
师：好！课前预习是很好的学习习惯。这条线段叫半径，用字母r表示。请在你们刚才画的圆中也画一条半径并标上字母r。
（生画半径，标上字母r。）
师：谁能说说半径是一条什么样的线段？
生7：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。
师：看看我又画了了一条怎样的线段（教师示范画直径）？
生8：这是一条直径。
生9：这条线段通过圆心并且两端都在圆上，它叫直径
【赏析】在小学数学中，对数学概念的定义用得比较多的是属加种差的定义方式。圆的半径、直径定义都是属加种差这种方式定义的。圆的半径定义为：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径；圆的直径定义为：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。要让学生理解这样的定义，关键是精选学习素材，让学生经历半径、直径定义的发生过程。上述教学片段中，於老师依次在圆外、圆内、圆上点一个点，引导学生通过观察、分析、讨论、抽象、概括，让学生对圆外、圆内、圆上的点有清晰、准确的认识，为学生进一步学习圆的半径、直径的概念做好铺垫。然后，於老师通过连点成线，让学生用语言加以描述，直观展示定义的发生过程，从而准确揭示圆的半径、直径的概念。此时，概念的获得过程是学生自主建构概念的思维过程，概念的“诞生”过程更加生动鲜活，半径、直径概念的本质特征更加外显，抽象的半径、直径概念变得形象具体，学生对半径、直径概念的理解则更为深刻，学生的观察、思维能力得到很好的发展。於老师精选学习素材，充分展示定义发生过程，有效引领学生观察、操作、概括，学生轻松而准确地掌握了半径、直径的概念。
【片段三】反思圆规画圆要领，突显半径长度关系
师：在一个圆中能画多少条半径？这些半径长度又有怎样的关系？
生（齐）：圆中有无数条半径，这些半径都相等。
师：怎样做才能知道它们是否相等呢？
生1：看上去就相等。
生2：画几条半径，再量一量就知道了。
生3：画几条半径，折叠一下，比一比长短就知道是否相等了……
师：好啊！那就画几条半径，量一量，比一比吧！
（生动手画半径，测量，折叠比较。）
师：仅仅凭眼睛看还不能证明，测量、折叠比较确实是不错的方法。有一位同学在证明圆的半径相等时，也是用“画出半径，测量比较”的方法。怎样证明同一圆中的半径的长度都相等呢？
生4：画圆时要“定长”，就是圆规两脚尖的距离不变，要是脚尖距离变了就画不好圆。这个“定长”就是圆的半径，所以，圆的半径都相等。
生5：画圆时，圆规两脚尖的距离没变，就是圆的半径没变。所以说在同一个圆中，圆的半径都相等。但要是在两个圆中，就不一定相等了。
生6：对，应该是在同一个圆中，所有的半径都相等。
师：好！同一个圆中，半径都相等。直径呢？这些直径与半径又有怎样的关系？
生：圆中有无数条直径，这些直径都相等，直径的长度是半径的两倍……
【赏析】在教学中，当学生探索“半径”“直径”的长度关系时，很多教师都是引导学生通过“比一比”操作认知的。这里的“比一比”更多的是用折叠比较的方法，但折叠比较的方法是不便操作的。因为学生将画有半径的圆形纸片对折后，要么是难以看清“面对面”的半径是否重合，要么是难以将“背对背”的半径重合，学生操作感知的效果并不理想。显然，当教师想当然地试图引导学生通过“画出半径，折叠比较”的方法发现半径、直径特征时，实质是教师人为地制造“教学难点”。其实，同一圆中半径的长度关系完全可以由学生根据圆规画圆的操作要领思考、推理得出，而学生自主思考、推理得出的结论更易于学生理解、掌握。
上述教学片段中，於老师对同一圆中半径的长度关系的证明可谓独具匠心，於老师一句“怎样做才能知道它是否相等”的提示语，将学生的思维引向“画出半径，测量比较”或“画出半径，折叠比较”的方法，但当学生产生“画出半径，测量比较”或“画出半径，折叠比较”的想法并予以实施时，於老师再将学生的思维引向反思画圆时“定长”的意义，突显圆规画圆“定长”的内在规律，从而让学生根据画圆时的操作经验思考、推理得出“同一圆中，所有的半径都相等，所有直径也都相等，直径是半径的两倍”的结论。这正是对“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”的巧妙诠释！
精准的学习素材，源于於老师透彻地解读教材，深刻领悟教材“寓学于教”的鲜明主张，在自觉优化素材选择、彰显素材的启发性的过程中，於老师关注学生自主学习的愿望和能力，促进他们全面、持续、和谐发展；精准的学习素材，源于於老师对学生的深度了解，对儿童年龄特点和认知规律的通透把握，对知识结构呈现顺序和表达方式的反复推敲和精细打磨。於老师始终站在儿童数学学习与发展的立场上，细致观察儿童的认知发展规律与需求，努力将数学学科自身的逻辑与儿童认知发展的逻辑相互映照，着力帮助学生建立并逐步完善认知结构，实现知识结构与认知结构的和谐统一；精准的学习素材，源于於老师对教学理念的精准把握，源于於老师对教法的娴熟驾驭，更源于於老师对数学课堂的巧妙调控。精准的学习素材，成就精致课堂，彰显思维张力，直抵知识本质。
责任编辑 周瑜芽
【片段一】选择典型实物实图，彰显圆的本质特征
师：在我们生活中，随处可见圆形的物体，比如：铁环、玉镯、钥匙圈（教者依次出示实物）。
生1：圆形的铁环。
生2：圆形的玉镯。
生3：圆形的钥匙圈。
师：除了这些圆形的实物，老师还准备了一些圆形物体的实物图，比如（教师用课件出示实物图）：方向盘、碗口、茶杯口、自行车车轮钢圈。
生4：圆形的方向盘。
生5：圆形的碗口。
生6：圆形的茶杯口。
生7：圆形的自行车车轮钢圈。
师：刚才，我们一起观察了圆形的实物或实物图。大家能再举一些生活中圆的例子吗？
生8：一元钱硬币的外圈是圆。
生9：五角钱、一角钱硬币的外圈都是圆。
生10：透明胶带的内圈、外圈都是圆……
【赏析】在教学“圆的认识”一课时，教师经常要列举一些“圆”的实物或者利用挂图、课件出示一些“圆”的实物图，让学生通过观察实物或实物图等学习素材，形象直观地感知圆的知识。但是，不同类型的教学素材表述同一知识点的效果并不相同。因此，教师所选择的实物或实物图等学习素材必须能够彰显所学知识的本质特征，尽可能减少实物或实物图所蕴含知识的非本质特征。在上述教学片段中，正是因为於老师精心选择了“空心圆”的实物、实物图，彰显“圆”的本质属性，让学生准确感知圆是一条封闭的曲线这一本质特征，再让学生自己举例子时，学生都会准确地说“一元钱硬币的外圈是圆”“五角钱、一角钱硬币的外圈都是圆”“透明胶带的内圈、外圈都是圆”等，从而让学生准确感知圆的特征，建立圆的正确概念。
【片段二】展示定义发生过程，凸显半径本质特征
师（随手在圆外、圆内、圆上分别点一点并标上字母A、B、C）：这三个点分别在圆的哪儿呢？
生1：点A在圆的外部。
生2：点B在圆的内部。
生3：点C刚好在圆上。
师：对！现在，看看我连接的是哪两个点呢？（师连接圆心和圆上一点）
生4：连接圆心和圆上的一点。
师：这样的线段有个名称叫什么呢？
生5：叫半径，用字母r表示。
师：你怎么知道的呢？
生6：我在课前看过书。
师：好！课前预习是很好的学习习惯。这条线段叫半径，用字母r表示。请在你们刚才画的圆中也画一条半径并标上字母r。
（生画半径，标上字母r。）
师：谁能说说半径是一条什么样的线段？
生7：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。
师：看看我又画了了一条怎样的线段（教师示范画直径）？
生8：这是一条直径。
生9：这条线段通过圆心并且两端都在圆上，它叫直径
【赏析】在小学数学中，对数学概念的定义用得比较多的是属加种差的定义方式。圆的半径、直径定义都是属加种差这种方式定义的。圆的半径定义为：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径；圆的直径定义为：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。要让学生理解这样的定义，关键是精选学习素材，让学生经历半径、直径定义的发生过程。上述教学片段中，於老师依次在圆外、圆内、圆上点一个点，引导学生通过观察、分析、讨论、抽象、概括，让学生对圆外、圆内、圆上的点有清晰、准确的认识，为学生进一步学习圆的半径、直径的概念做好铺垫。然后，於老师通过连点成线，让学生用语言加以描述，直观展示定义的发生过程，从而准确揭示圆的半径、直径的概念。此时，概念的获得过程是学生自主建构概念的思维过程，概念的“诞生”过程更加生动鲜活，半径、直径概念的本质特征更加外显，抽象的半径、直径概念变得形象具体，学生对半径、直径概念的理解则更为深刻，学生的观察、思维能力得到很好的发展。於老师精选学习素材，充分展示定义发生过程，有效引领学生观察、操作、概括，学生轻松而准确地掌握了半径、直径的概念。
【片段三】反思圆规画圆要领，突显半径长度关系
师：在一个圆中能画多少条半径？这些半径长度又有怎样的关系？
生（齐）：圆中有无数条半径，这些半径都相等。
师：怎样做才能知道它们是否相等呢？
生1：看上去就相等。
生2：画几条半径，再量一量就知道了。
生3：画几条半径，折叠一下，比一比长短就知道是否相等了……
师：好啊！那就画几条半径，量一量，比一比吧！
（生动手画半径，测量，折叠比较。）
师：仅仅凭眼睛看还不能证明，测量、折叠比较确实是不错的方法。有一位同学在证明圆的半径相等时，也是用“画出半径，测量比较”的方法。怎样证明同一圆中的半径的长度都相等呢？
生4：画圆时要“定长”，就是圆规两脚尖的距离不变，要是脚尖距离变了就画不好圆。这个“定长”就是圆的半径，所以，圆的半径都相等。
生5：画圆时，圆规两脚尖的距离没变，就是圆的半径没变。所以说在同一个圆中，圆的半径都相等。但要是在两个圆中，就不一定相等了。
生6：对，应该是在同一个圆中，所有的半径都相等。
师：好！同一个圆中，半径都相等。直径呢？这些直径与半径又有怎样的关系？
生：圆中有无数条直径，这些直径都相等，直径的长度是半径的两倍……
【赏析】在教学中，当学生探索“半径”“直径”的长度关系时，很多教师都是引导学生通过“比一比”操作认知的。这里的“比一比”更多的是用折叠比较的方法，但折叠比较的方法是不便操作的。因为学生将画有半径的圆形纸片对折后，要么是难以看清“面对面”的半径是否重合，要么是难以将“背对背”的半径重合，学生操作感知的效果并不理想。显然，当教师想当然地试图引导学生通过“画出半径，折叠比较”的方法发现半径、直径特征时，实质是教师人为地制造“教学难点”。其实，同一圆中半径的长度关系完全可以由学生根据圆规画圆的操作要领思考、推理得出，而学生自主思考、推理得出的结论更易于学生理解、掌握。
上述教学片段中，於老师对同一圆中半径的长度关系的证明可谓独具匠心，於老师一句“怎样做才能知道它是否相等”的提示语，将学生的思维引向“画出半径，测量比较”或“画出半径，折叠比较”的方法，但当学生产生“画出半径，测量比较”或“画出半径，折叠比较”的想法并予以实施时，於老师再将学生的思维引向反思画圆时“定长”的意义，突显圆规画圆“定长”的内在规律，从而让学生根据画圆时的操作经验思考、推理得出“同一圆中，所有的半径都相等，所有直径也都相等，直径是半径的两倍”的结论。这正是对“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”的巧妙诠释！
精准的学习素材，源于於老师透彻地解读教材，深刻领悟教材“寓学于教”的鲜明主张，在自觉优化素材选择、彰显素材的启发性的过程中，於老师关注学生自主学习的愿望和能力，促进他们全面、持续、和谐发展；精准的学习素材，源于於老师对学生的深度了解，对儿童年龄特点和认知规律的通透把握，对知识结构呈现顺序和表达方式的反复推敲和精细打磨。於老师始终站在儿童数学学习与发展的立场上，细致观察儿童的认知发展规律与需求，努力将数学学科自身的逻辑与儿童认知发展的逻辑相互映照，着力帮助学生建立并逐步完善认知结构，实现知识结构与认知结构的和谐统一；精准的学习素材，源于於老师对教学理念的精准把握，源于於老师对教法的娴熟驾驭，更源于於老师对数学课堂的巧妙调控。精准的学习素材，成就精致课堂，彰显思维张力，直抵知识本质。
责任编辑 周瑜芽