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一、分类讨论思想
在勾股定理中，主要应用分类思想对三角形形状进行讨论或对已知的边或点所在位置进行讨论.
例1 已知一直角三角形两边长为3和4，则第三边的长度是 .
【分析】此题可以根据斜边分类.若第三边是斜边，则两直角边分别为3和4，根据勾股定理易得第三条边长为5；若第三边是直角边，则另一条直角边为3，斜边为4，根据勾股定理易得第三条边长为[7]，故答案是[7]或5.
例2 在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，则三角形ABC的面积为 .
【分析】要求三角形的面积，知道了三角形的边长，再求出已知边上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形，部分同学只考虑了一种情形，即认为短一点的AB为腰，BC为底边.忽视了边长BC也可能为腰的情形.如图1，当AB为腰，BC为底边时，过点A作BC边上的高AD，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD的长，此时△ABC面积为12；如图2，当BC为腰，AB为底边时，过点A作BC边上的高AD，同理，可求得此时△ABC面积为[54][119].
【点评】以上两题考查了分类讨论思想的应用，如果题目没有图形，则需要考虑分类讨论的必要性.这就是“无图题前细思考，分类讨论保周到”.
二、方程思想
方程是研究数学的重要工具，运用方程的思想去分析问题，能有效发现各种数量关系.勾股定理描述了直角三角形三边长的关系，可以解决很多计算问题，除了已知两边求第三边外，很多题目无法直接用勾股定理来计算，需要设立未知数，用方程思想来解决.
例3 如图3，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【分析】解决与勾股定理有关的实际问题时先要抽象出几何图形，所以本题首先是找到直角三角形.如图4，在Rt△ACB中，只有AC边的长度，因此可以设水深为x尺，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理列方程x2 52=（x 1）2 ，解得x=12，即水深12尺，芦苇长13尺.
【点评】利用勾股定理解决实际问题，其基本思想是从实际问题中建立直角三角形，找到直角三角形边与边的数量关系，通过设立未知数，借助勾股定理列方程求解.
三、整体思想
整体思想是把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，应用整体思想解题，往往能化难为易、化繁为简.在运用勾股定理解题时，有时从整体上去思考问题或许能帮你迅速走出思维的误区.
例4 已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积.
【分析】若设两直角边长分别为a、b，因为a b=10，则b=10-a，由勾股定理得a2 b2=64，即a2 （10-a）2=64，从而求出a、b的值.但解這个方程较麻烦，而由S=[12]ab联想到可以应用整体思想，将ab看作一个整体，因为（a b）2=a2 2ab b2，又2ab=（a b）2-（a2 b2）=100-64=36，所以ab=18，故S=[12]ab=9.
四、等积思想
等积思想是解几何题的一种基本方法，就是利用面积相等来建立等式，从而求解题目的一种方法.
例5 在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有爆破点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一个停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB.如图6所示，为了安全起见，爆破点C的周围半径250米范围内不得进人，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？
【分析】本题关键是要求出点C到直线AB的距离CD，如图7.
因为S△ABC=[12]AC·BC=[12]CD·AB，所以CD=[AC·BCAB]=[300×400500]=240<250，故爆破时，公路AB有危险，需要暂时封锁.
【点评】例5是利用等积法解决几何线段计算问题的典型代表.当已知条件有多个垂直关系时，我们要关注某一个图形面积的不同表示方法.
“勾股定理”这章蕴含了多种重要的数学思想方法，在解决问题时，它们不仅可以相互独立使用，而且在许多问题解决中都是互相联系的.
（作者单位：江苏省常州市金坛区指前实验学校）
在勾股定理中，主要应用分类思想对三角形形状进行讨论或对已知的边或点所在位置进行讨论.
例1 已知一直角三角形两边长为3和4，则第三边的长度是 .
【分析】此题可以根据斜边分类.若第三边是斜边，则两直角边分别为3和4，根据勾股定理易得第三条边长为5；若第三边是直角边，则另一条直角边为3，斜边为4，根据勾股定理易得第三条边长为[7]，故答案是[7]或5.
例2 在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，则三角形ABC的面积为 .
【分析】要求三角形的面积，知道了三角形的边长，再求出已知边上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形，部分同学只考虑了一种情形，即认为短一点的AB为腰，BC为底边.忽视了边长BC也可能为腰的情形.如图1，当AB为腰，BC为底边时，过点A作BC边上的高AD，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD的长，此时△ABC面积为12；如图2，当BC为腰，AB为底边时，过点A作BC边上的高AD，同理，可求得此时△ABC面积为[54][119].
【点评】以上两题考查了分类讨论思想的应用，如果题目没有图形，则需要考虑分类讨论的必要性.这就是“无图题前细思考，分类讨论保周到”.
二、方程思想
方程是研究数学的重要工具，运用方程的思想去分析问题，能有效发现各种数量关系.勾股定理描述了直角三角形三边长的关系，可以解决很多计算问题，除了已知两边求第三边外，很多题目无法直接用勾股定理来计算，需要设立未知数，用方程思想来解决.
例3 如图3，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【分析】解决与勾股定理有关的实际问题时先要抽象出几何图形，所以本题首先是找到直角三角形.如图4，在Rt△ACB中，只有AC边的长度，因此可以设水深为x尺，找出各边的数量关系，最后根据勾股定理列方程x2 52=（x 1）2 ，解得x=12，即水深12尺，芦苇长13尺.
【点评】利用勾股定理解决实际问题，其基本思想是从实际问题中建立直角三角形，找到直角三角形边与边的数量关系，通过设立未知数，借助勾股定理列方程求解.
三、整体思想
整体思想是把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，应用整体思想解题，往往能化难为易、化繁为简.在运用勾股定理解题时，有时从整体上去思考问题或许能帮你迅速走出思维的误区.
例4 已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积.
【分析】若设两直角边长分别为a、b，因为a b=10，则b=10-a，由勾股定理得a2 b2=64，即a2 （10-a）2=64，从而求出a、b的值.但解這个方程较麻烦，而由S=[12]ab联想到可以应用整体思想，将ab看作一个整体，因为（a b）2=a2 2ab b2，又2ab=（a b）2-（a2 b2）=100-64=36，所以ab=18，故S=[12]ab=9.
四、等积思想
等积思想是解几何题的一种基本方法，就是利用面积相等来建立等式，从而求解题目的一种方法.
例5 在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有爆破点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一个停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB.如图6所示，为了安全起见，爆破点C的周围半径250米范围内不得进人，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？
【分析】本题关键是要求出点C到直线AB的距离CD，如图7.
因为S△ABC=[12]AC·BC=[12]CD·AB，所以CD=[AC·BCAB]=[300×400500]=240<250，故爆破时，公路AB有危险，需要暂时封锁.
【点评】例5是利用等积法解决几何线段计算问题的典型代表.当已知条件有多个垂直关系时，我们要关注某一个图形面积的不同表示方法.
“勾股定理”这章蕴含了多种重要的数学思想方法，在解决问题时，它们不仅可以相互独立使用，而且在许多问题解决中都是互相联系的.
（作者单位：江苏省常州市金坛区指前实验学校）