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摘 要：TIMSS2015从“知道”“运用”和“推理”三个维度，和较低、中等、较高、高级四个国际基准，对小学生的数学认知进行评价，得出了一些有价值的结论，对优化我们的数学教育评价有重要的现实意义。它启示我们，要关注对数学认知、高阶思维、问题解决的评价，加强数学学习的性别差异研究，更好地促进学生的发展。
关键词：TIMSS2015 小学生 数学认知 评价
TIMSS是国际数学与科学教育成就趋势研究（The Trends in International Mathematics and Science Study）的简称，它是由国际教育成就评价协会（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，简称IEA）实施的大型国际教育评价研究项目，旨在评价各国中小学生数学与科学的教育成绩和发展趋势。自1995年开始以来，TIMSS已经成功进行了20年。其中最近的为2015年，有来自全球49个国家和地区，超过31万名小学生参与，研究结果于2016年11月29日公布。TIMSS的小学部分主要针对四年级学生进行，它对学生数学认知的评价研究值得我们学习和参考。
一、TIMSS2015的数学认知维度
TIMSS2015认为，小学生的“数学认知”包括“知道”（Applying）、“运用”（Knowing）和“推理”（Reasoning）三个维度。各维度所占比重分别为40%、40%和20%。每个维度又划分为若干层级，各层级具体含义详见表1。
二、TIMSS2015的数学认知基准
TIMSS2015将小学生的数学认知划分为四个国际基准：较低（Low）、中等（Intermediate）、较高（High）、高级（Advanced）。
（一）较低基准
学生具有一些基本的数学知识。他们能进行整数的加法和减法运算，能理解多位数乘一位数的方法，并能解决简单的文字题。他们可以识别简单分数的图形表示，能认识一些简单的二维和三维图形，具有初步的测量意识。他们可以阅读、绘制简单的条形统计图，能够制作简单的统计表。
例如，学生知道三位数乘一位数的规则，并正确计算512×3。又如，学生能从图1得知“百科”网站周一到周五的访问人次。
学生能理解整数，计算加减法，在情境中计算多位数乘除一位数的乘除法，能解决两步实际问题。他们对分数和小数有一些理解，并能识别简单情境中的表达式。他们能将二维和三维图形建立联系，并比较长方体体积，能识别和绘制具有简单属性（包括直角）的图形。他们可以读取和解释条形图和表格中的信息。
例如：
小明有16个桃子，给了别人4个。他把剩下的桃子平均放在2个篮子里，每个篮子放的桃子个数为（ ）个。
学生可以运用乘除法，解答这样的问题，得到正确答案：6个。
（三）较高基准
学生能够对整数作概念性理解，并基于概念性理解来解决问题。他们能计算乘数是两位数的乘法，进行带余数除法。他们对倍数和因数有一些理解，并且会取整数，能进行两位小数的加减运算。他们能够将分数的不同表征与问题情境建立联系，在问题情境中关联分数的不同表征。他们能够识别算式表示的情境，并使用简单的数学表达式。他们可以根据属性对各种图形进行分类和比较，能够比较和绘制小于或大于直角的角。他们可以定位，在线和网格上进行移动，能理解轴对称。他们可以通过解释表格、饼图、象形图和标记大于1的条形图所呈现的数据来解决问题。他们可以用两种表征方式比较数据，并得出结论。
例如：
如图2，在圆中画一个等边三角形，你需要连接的点是_______ 。
学生能够借助推理，画出所要求的图形。
（四）高级基准
学生可以在各种相对复杂的情境下应用数学知识，并解释他们的推理。他们可以解决有关整数的多步实际问题。他们对分数和小数的理解越来越多。他们可以在各种情况下应用一系列二维和三维图形的知识。他们可以解释和表示数据，以便解决多个步骤问题。
例如：
如果1根丝线、10颗圆形珠和8颗方形珠可以做1个手链。莉莉有12条丝线、40颗圆形珠和48颗方形珠，那么她最多可以做手链的个数是（ ）。
学生能够正确解答出4个。
又如：
图3中的哪个图形可以表示38？为什么？请说出你的理由。
学生能够选出图C，并对选择的答案进行推理性的解释。
三、TIMSS2015关于数学认知的评价研究结果
分析TIMSS2015关于数学认知的评价研究情况，我们可以得到一些有价值的结论。
（一）整体成绩令人满意
国际小学生的数学成绩总体上呈上升趋势，东亚5个国家和地区（新加坡、中国香港、韩国、中国台北、日本）小学生的成绩名列前茅。值得注意的是，新加坡、中国香港和韩国有近50%的学生达到了高级基准，但有34个国家和地区达到高级基准的学生只有10%或更少。
（二）存在不平衡性
在TIMSS2015的三个内容领域中，虽然在认知领域有一些平衡，但相對整体成绩而言，大多数国家和地区至少有一个优势和一个弱点。在这49个参与国家和地区中，在“知道”方面表现相对较强的有17个，较弱的有19个；在“运用”方面表现相对较强的有11个，较弱的有10个；在“推理”方面表现相对较强的有18个，较弱的有21个。
（三）存在性别差异
在49个参与国家和地区中，男孩表现比女孩好的，在“知道”方面有16个国家和地区，在“运用”方面有13个国家和地区，在“推理”方面有12个国家和地区；而男孩表现比女孩差的，在“知道”方面有6个国家和地区，在“运用”方面有8个国家和地区，在“推理”方面有8个国家和地区。 （四）存在认知差异
在2011年和2015年两次都参与的41个国家和地区当中，在“知道”方面成绩上升的有21个国家和地区，下降的有7个国家和地区；在“运用”方面成绩上升的有22个国家和地区，下降的有4个国家和地区；在“推理”方面成绩上升的有20个国家和地区，下降的有2个国家和地区。
四、给我们的几点启示
虽然我们没有参与TIMSS2015的数学认知评价，但认真研读其评价框架和测试结果，对优化我们的数学教育评价有重要的现实意义。
（一）关注对数学认知的评价
TIMSS2015重点评价学生基础知识的掌握和数学思考的过程。因此，我们的数学教育评价，不能仅仅限于评价学生记住了多少数学概念和公式，更重要的是评价学生数学思考的过程，关注学生数学认知的发展。数学是思维的科学，理想的数学教育应该以具体知识为载体，通过知识的学习、方法的掌握、思想的领悟来发展学生的思维，促进学生认知的发展。数学教育评价，应该在一定程度上引领数学教育的发展方向。
（二）关注对高阶思维的评价
TIMSS2015的评价试题中，有三分之二是在考查学生的推理和运用，关注的是学生高阶思维的发展。而我们的评价试题，更多的是单纯的计算和画图，关注的是技能——根据TIMSS的划分，这在认知中属于“知道”层级，是较低基准。理想的数学教育评价，应该更多关注运用和推理的评价，通过具有一定挑战性的问题，评价学生运用数学知识技能与思想方法解决具体问题的思考过程。同时，还需要评价学生用数学的理论阐述和论述自己的观点的能力，评价学生证明与反驳的能力，评价学生做出有根据的判断的能力。
（三）关注对问题解决的评价
TIMSS2015重视对学生解决数学问题的评价。他们认为，解决问题是“应用”的核心，问题可能来源于现实生活，也可能来源于数学内部。“推理”中列举的很多认知技能都会在思考和解决陌生的问题中表现出来，这是数学教育价值的外在表现，然而更多的是對学生思维的内在影响。反观我们的评价试题，大多是学生平时训练过的练习题，是熟悉的，结构良好的，不用动太多脑筋就能计算出结果的试题。理想的数学教育评价，要关注学生解决陌生的、结构不良的数学问题、准数学问题和现实生活问题的过程，要关注过程中体现的思维发展与认知状况。
（四）加强数学学习的性别差异研究
小学生在数学学习上是否存在性别差异，一直是国际数学教育界关注和研究的难点问题。TIMSS2015的研究表明，性别差异在某些国家和地区是存在的。然而，我国的小学生在学习数学上是否存在性别差异，至今尚未看到有一定说服力的研究。因此，我们需要加强这方面的研究，比如数学学习兴趣、数学思考过程、数学学习态度等方面是否存在性别差异。然后，我们才能科学地利用研究成果，为不同性别的学生提供有针对性的数学教育，进一步提高数学教育的质量，更好地促进学生的发展。
关键词：TIMSS2015 小学生 数学认知 评价
TIMSS是国际数学与科学教育成就趋势研究（The Trends in International Mathematics and Science Study）的简称，它是由国际教育成就评价协会（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，简称IEA）实施的大型国际教育评价研究项目，旨在评价各国中小学生数学与科学的教育成绩和发展趋势。自1995年开始以来，TIMSS已经成功进行了20年。其中最近的为2015年，有来自全球49个国家和地区，超过31万名小学生参与，研究结果于2016年11月29日公布。TIMSS的小学部分主要针对四年级学生进行，它对学生数学认知的评价研究值得我们学习和参考。
一、TIMSS2015的数学认知维度
TIMSS2015认为，小学生的“数学认知”包括“知道”（Applying）、“运用”（Knowing）和“推理”（Reasoning）三个维度。各维度所占比重分别为40%、40%和20%。每个维度又划分为若干层级，各层级具体含义详见表1。
二、TIMSS2015的数学认知基准
TIMSS2015将小学生的数学认知划分为四个国际基准：较低（Low）、中等（Intermediate）、较高（High）、高级（Advanced）。
（一）较低基准
学生具有一些基本的数学知识。他们能进行整数的加法和减法运算，能理解多位数乘一位数的方法，并能解决简单的文字题。他们可以识别简单分数的图形表示，能认识一些简单的二维和三维图形，具有初步的测量意识。他们可以阅读、绘制简单的条形统计图，能够制作简单的统计表。
例如，学生知道三位数乘一位数的规则，并正确计算512×3。又如，学生能从图1得知“百科”网站周一到周五的访问人次。
学生能理解整数，计算加减法，在情境中计算多位数乘除一位数的乘除法，能解决两步实际问题。他们对分数和小数有一些理解，并能识别简单情境中的表达式。他们能将二维和三维图形建立联系，并比较长方体体积，能识别和绘制具有简单属性（包括直角）的图形。他们可以读取和解释条形图和表格中的信息。
例如：
小明有16个桃子，给了别人4个。他把剩下的桃子平均放在2个篮子里，每个篮子放的桃子个数为（ ）个。
学生可以运用乘除法，解答这样的问题，得到正确答案：6个。
（三）较高基准
学生能够对整数作概念性理解，并基于概念性理解来解决问题。他们能计算乘数是两位数的乘法，进行带余数除法。他们对倍数和因数有一些理解，并且会取整数，能进行两位小数的加减运算。他们能够将分数的不同表征与问题情境建立联系，在问题情境中关联分数的不同表征。他们能够识别算式表示的情境，并使用简单的数学表达式。他们可以根据属性对各种图形进行分类和比较，能够比较和绘制小于或大于直角的角。他们可以定位，在线和网格上进行移动，能理解轴对称。他们可以通过解释表格、饼图、象形图和标记大于1的条形图所呈现的数据来解决问题。他们可以用两种表征方式比较数据，并得出结论。
例如：
如图2，在圆中画一个等边三角形，你需要连接的点是_______ 。
学生能够借助推理，画出所要求的图形。
（四）高级基准
学生可以在各种相对复杂的情境下应用数学知识，并解释他们的推理。他们可以解决有关整数的多步实际问题。他们对分数和小数的理解越来越多。他们可以在各种情况下应用一系列二维和三维图形的知识。他们可以解释和表示数据，以便解决多个步骤问题。
例如：
如果1根丝线、10颗圆形珠和8颗方形珠可以做1个手链。莉莉有12条丝线、40颗圆形珠和48颗方形珠，那么她最多可以做手链的个数是（ ）。
学生能够正确解答出4个。
又如：
图3中的哪个图形可以表示38？为什么？请说出你的理由。
学生能够选出图C，并对选择的答案进行推理性的解释。
三、TIMSS2015关于数学认知的评价研究结果
分析TIMSS2015关于数学认知的评价研究情况，我们可以得到一些有价值的结论。
（一）整体成绩令人满意
国际小学生的数学成绩总体上呈上升趋势，东亚5个国家和地区（新加坡、中国香港、韩国、中国台北、日本）小学生的成绩名列前茅。值得注意的是，新加坡、中国香港和韩国有近50%的学生达到了高级基准，但有34个国家和地区达到高级基准的学生只有10%或更少。
（二）存在不平衡性
在TIMSS2015的三个内容领域中，虽然在认知领域有一些平衡，但相對整体成绩而言，大多数国家和地区至少有一个优势和一个弱点。在这49个参与国家和地区中，在“知道”方面表现相对较强的有17个，较弱的有19个；在“运用”方面表现相对较强的有11个，较弱的有10个；在“推理”方面表现相对较强的有18个，较弱的有21个。
（三）存在性别差异
在49个参与国家和地区中，男孩表现比女孩好的，在“知道”方面有16个国家和地区，在“运用”方面有13个国家和地区，在“推理”方面有12个国家和地区；而男孩表现比女孩差的，在“知道”方面有6个国家和地区，在“运用”方面有8个国家和地区，在“推理”方面有8个国家和地区。 （四）存在认知差异
在2011年和2015年两次都参与的41个国家和地区当中，在“知道”方面成绩上升的有21个国家和地区，下降的有7个国家和地区；在“运用”方面成绩上升的有22个国家和地区，下降的有4个国家和地区；在“推理”方面成绩上升的有20个国家和地区，下降的有2个国家和地区。
四、给我们的几点启示
虽然我们没有参与TIMSS2015的数学认知评价，但认真研读其评价框架和测试结果，对优化我们的数学教育评价有重要的现实意义。
（一）关注对数学认知的评价
TIMSS2015重点评价学生基础知识的掌握和数学思考的过程。因此，我们的数学教育评价，不能仅仅限于评价学生记住了多少数学概念和公式，更重要的是评价学生数学思考的过程，关注学生数学认知的发展。数学是思维的科学，理想的数学教育应该以具体知识为载体，通过知识的学习、方法的掌握、思想的领悟来发展学生的思维，促进学生认知的发展。数学教育评价，应该在一定程度上引领数学教育的发展方向。
（二）关注对高阶思维的评价
TIMSS2015的评价试题中，有三分之二是在考查学生的推理和运用，关注的是学生高阶思维的发展。而我们的评价试题，更多的是单纯的计算和画图，关注的是技能——根据TIMSS的划分，这在认知中属于“知道”层级，是较低基准。理想的数学教育评价，应该更多关注运用和推理的评价，通过具有一定挑战性的问题，评价学生运用数学知识技能与思想方法解决具体问题的思考过程。同时，还需要评价学生用数学的理论阐述和论述自己的观点的能力，评价学生证明与反驳的能力，评价学生做出有根据的判断的能力。
（三）关注对问题解决的评价
TIMSS2015重视对学生解决数学问题的评价。他们认为，解决问题是“应用”的核心，问题可能来源于现实生活，也可能来源于数学内部。“推理”中列举的很多认知技能都会在思考和解决陌生的问题中表现出来，这是数学教育价值的外在表现，然而更多的是對学生思维的内在影响。反观我们的评价试题，大多是学生平时训练过的练习题，是熟悉的，结构良好的，不用动太多脑筋就能计算出结果的试题。理想的数学教育评价，要关注学生解决陌生的、结构不良的数学问题、准数学问题和现实生活问题的过程，要关注过程中体现的思维发展与认知状况。
（四）加强数学学习的性别差异研究
小学生在数学学习上是否存在性别差异，一直是国际数学教育界关注和研究的难点问题。TIMSS2015的研究表明，性别差异在某些国家和地区是存在的。然而，我国的小学生在学习数学上是否存在性别差异，至今尚未看到有一定说服力的研究。因此，我们需要加强这方面的研究，比如数学学习兴趣、数学思考过程、数学学习态度等方面是否存在性别差异。然后，我们才能科学地利用研究成果，为不同性别的学生提供有针对性的数学教育，进一步提高数学教育的质量，更好地促进学生的发展。