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作为学校课程教育任务的数学，其重要的教学目标之一就是在教师的指导下，学生通过“再创造”，把静态知识（课本中现成的数学知识的概念、规律和结论等）内化为自己的思维产品和创造性成果，在这一过程中，丰富数学情感，生成数学思维能力，学会数学地思考。这一过程应是动态的、丰富的、挑战性的，可用如下图式表现：
因此，数学教学从本质上讲应该是数学思维活动的教学。而数学思维是由数学思维材料、数学思维方法、数学思维方式等组成的一个立体结构。本文结合数学课堂教学实践，从“数学思维”的角度来追寻数学教学预设与生成的和谐统一。
一、数学地组织思维材料，提供广阔的思考空间，实现预设与生成的和谐统一
“数学地组织思维材料”是指教师提供给学生的文本、图像、视频材料或创设的问题情景等思维客体（也称为数学思维外部材料）具有充足的思维含量，广阔的思考空间。我们知道，“数学思维”过程就是人脑对外部的数学信息接收、分析、选择、加工和整合的过程。如果把“人脑”比作一个加工厂，那么教师提供给学生的思维外部材料就是“原料”，思维的结果就是“产品”。“产品”质量的高低往往取决于“原料”的优劣。因此，数学地组织思维材料，对学生的数学学习来说是一个十分重要的“基础建设工程”。
例如，20以内的进位加法共计36道题。通过学习，要求学生一看到或听到算题，就能说出得数。如果学生只是把36道题看做是互不联系的算题，一道一道学，学生会感觉乏味、费事。如何解决多而要求又高的矛盾呢？有老师从系统论的高度对这部份知识材料作了整体结构化设计。
第一步，通过计算，指导学生编制20以内进位加法表（如下表）。
第二步，引导学生观察、思考：你们能发现这个表格的结构有什么规律吗？学生的发现很多。如，9加几得十几时，个位上的数总是比加上去的数少1，即9+N=10+（N-1），N为自然数；8加几得十几时，个位上的数总比加上去的数少2，即8+N=10+（N-2），N为自然数……又如，竖着看，从上到下，一个加数不变，另一个加数依次减少1，和也依次减少1；横着看，从右往左，一个加数不变，另一个加数依次增加1，和也依次增加1；斜着看，和是11的有9+2、8+3、7+4、6+5等题；学生还发现单数和双数相加的规律等等。学生在计算时，可以利用上述发现的规律来思考，避免死记硬背。
小学数学知识本身就是一个系统，它包含了许多小的系统。一个系统就是一个整体。上面的案例中把36道20以内的进位加法列成一张表，就组成了一个整体结构，发挥整体结构的功能，使结构成为开放的系统，便能扩大思考的空间，丰盈思维的含量。
再如，在新授某一知识后，为学生提供巩固应用的练习材料时，也应改变过去封闭的练习内容和问题表述形式，给学生创设较广阔的利用知识进行推理、判断的思维空间。下列表中几个问题的比较可见一斑。
显然，表中的新颖问题比之于原来常规问题，学生有了更广阔的思考空间。这类新问题变成了要求学生解释为什么某些事情是这种情况，而某些事情又不是；要求学生创设满足某些条件的例子，并探索解题的不同方法；要求学生从开放的问题情境出发，进行分析推理，并检验结论等。如上述问题4，在学生小组讨论交流的过程中，生成了下列五种思维水平：
水平一：有，因为直角的边是直的。
水平二：有，只要所有的边长长度都相同。
水平三：没有，因为所有的边必须相等。
水平四：有两个层次，即（A）没有，因为直角三角形中必须有一边（斜边）较长，而等边三角形各边相等。（B）没有，因为各角必须相等，而且三个角之和必须等于180度。
水平五：也有两个层次，即（A）没有。因为等边三角形各角的度数必须相等，而等边三角形不可能有三个直角，因为三个直角的和将是270度，而它又必须等于180度。（B）没有，因为等边三角形各个角相等，如果一个三角形有三个角，得到的将是正方形4条边中的3条，不可能连接成三角形。
学生表现出的各种思维结果，是开放、探索性的问题情境所提供的数学思维外部材料与不同层次学生已有的数学知识和经验结合后的“产品”，通过互相交流，每个学生又可以从其他学生的发言信息中获取信息，生成新的认识。
二、数学化地组织学习过程，创设数学思维活动机会，实现预设与生成的和谐统一
人脑这一“加工厂”，有了好的原料，还需有好的加工手段和工艺。数学思维方法就是加工手段和工艺。以往的数学教学偏重于教师的讲授，学生学习方式单一；偏重于对结论的解释和整理，缺乏自主探索，独立获取知识的机会。而要学生独立获取知识，必须掌握和会运用科学的数学思维方法。在众多的思维方法中，侧重于探索发现的方法主要有观察法、实验法、归纳法、类比法、联想发和猜测法等。如何让学生习得这些数学思维方法，形成思维能力呢？2011年版数学课程标准明确指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”；教师要“为学生提供充分的数学活动机会”；“要处理好教师讲授和学生自主学习的关系，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验”。这正如弗赖登塔尔所说：“与其说学习数学，倒不如说学习‘数学化’。”
教师数学化地组织学习过程，让学生学习“数学化”，这正是数学教学的意义所在。有这样一个教学“平均数”的片段：
师：有三堆●，第一堆有6个，第二堆有11个，第三堆有4个。你有几种办法，使每堆的●一样多？（出示下面的图形）
第一堆●●●●●●
第二堆●●●●●●●●●●●
第三堆●●●●
（学生通过实验操作、讨论，得出了三种方法）
生1：第二堆中移1个到第一堆，再移3个到第三堆。（师生共同总结此法为“移多补少法”。）
生2：先把●都合起来，再平均分成3份。 师：这种方法是先求和再等分，可以用算式表示并计算。
生3：（6+11+4）÷3=7（个）
生4：以最少的第三堆为4个●为准，先把第一堆和第二堆多出来的●合起来，再重新分成同样多的三份，每一份加到各堆中去，这样每堆的●就一样多。
师：我们刚才用移一移、算一算的方法，其实就是求出一个平均数。（板书：平均数）请同学们把移动后的图形和原来的图形比一比，什么变了，什么不变？（出示下面的图形）
第一堆●●●●●●●
第二堆●●●●●●●
第三堆●●●●●●●
（学生发言，教师板书：总数、份数不变。移多补少、每份相等）
教师出示巩固练习题：分别有8个、2个、1个、5个，请选一种自己最喜欢的方法，使每份同样多。（学生充分发言，教师给予肯定和鼓励。）
教师提问引导小结：说一说，什么叫做平均数呢？
学生归纳综合：在总数不变、份数不变的情况下，采用移多补少的方法可以使每份数相等，这样得到的这个相等的数就是这几个数的平均数。
在这个案例中，教师科学地组织学习过程，让学生学习“数学化”。首先让学生动手操作实验：“使每堆的●一样多”。这一活动提供了蕴含平均数概念的含义和学生数学思维的客体，在活动中，学生通过“物”的外化操作，从思维外部材料的操作中获取信息，并与自己头脑中已有的关于一样多、平均分等数学知识经验进行相互作用，想出了三种解决问题的方法，获得了感性经验。在此基础上，教师引导学生观察比较：“什么变了，什么不变”。最后引导学生综合概括，抽取概念的本质属性，理解了平均数的含义。学生经历了“操作实验——观察比较——综合概括”的数学思维训练，获得了重要的数学活动经验和数学能力。
三、灵动地营造思维“磁场”，鼓励多样数学思维方式，实现预设与生成的和谐统一
有这样一个故事：有一个人在山里买了一根长长的毛竹，横着扛在肩上进城，可是城门的宽度不及毛竹的长度，他使了半天的劲，也没通过城门。后来还是经过旁人的指点，把毛竹旋转90度，使毛竹两头朝前后的方式，轻易走过了城门。编这个故事的人只是想提醒人们做事不能“一根筋”，亦即思维方式不能单一、僵化。在数学上，数学的思维方式就是指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维方法与形式的统一，并且通过一定的数学思维内容而得以体现。数学思维方式可以按照其不同的标准进行分类。如，按照数学思维的形式来分，可把它分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三类；按照思维指向来分，可把它分成集中思维和发散思维两类；按照思维结果有无创新来分，可把它分成再现性思维和创造性思维两类。我们不能说哪种思维方式重要，因为具体的思维活动过程往往不是一种思维方式的运用，而是上述思维方式的有机结合和相互作用的过程。
在教学“稍复杂的分数除法问题”时，教师预计学生会受以前学习整数相差问题形成的思维定势“如果a比b多n，那么b就比a少n“的影响，产生负迁移。保守的教师会加以预防，采用以“师法为主”的方式，把学生的思路纳入某一框架内。而一个优秀的教师又会怎么做呢？看下面的案例。
因此，数学教学从本质上讲应该是数学思维活动的教学。而数学思维是由数学思维材料、数学思维方法、数学思维方式等组成的一个立体结构。本文结合数学课堂教学实践，从“数学思维”的角度来追寻数学教学预设与生成的和谐统一。
一、数学地组织思维材料，提供广阔的思考空间，实现预设与生成的和谐统一
“数学地组织思维材料”是指教师提供给学生的文本、图像、视频材料或创设的问题情景等思维客体（也称为数学思维外部材料）具有充足的思维含量，广阔的思考空间。我们知道，“数学思维”过程就是人脑对外部的数学信息接收、分析、选择、加工和整合的过程。如果把“人脑”比作一个加工厂，那么教师提供给学生的思维外部材料就是“原料”，思维的结果就是“产品”。“产品”质量的高低往往取决于“原料”的优劣。因此，数学地组织思维材料，对学生的数学学习来说是一个十分重要的“基础建设工程”。
例如，20以内的进位加法共计36道题。通过学习，要求学生一看到或听到算题，就能说出得数。如果学生只是把36道题看做是互不联系的算题，一道一道学，学生会感觉乏味、费事。如何解决多而要求又高的矛盾呢？有老师从系统论的高度对这部份知识材料作了整体结构化设计。
第一步，通过计算，指导学生编制20以内进位加法表（如下表）。
第二步，引导学生观察、思考：你们能发现这个表格的结构有什么规律吗？学生的发现很多。如，9加几得十几时，个位上的数总是比加上去的数少1，即9+N=10+（N-1），N为自然数；8加几得十几时，个位上的数总比加上去的数少2，即8+N=10+（N-2），N为自然数……又如，竖着看，从上到下，一个加数不变，另一个加数依次减少1，和也依次减少1；横着看，从右往左，一个加数不变，另一个加数依次增加1，和也依次增加1；斜着看，和是11的有9+2、8+3、7+4、6+5等题；学生还发现单数和双数相加的规律等等。学生在计算时，可以利用上述发现的规律来思考，避免死记硬背。
小学数学知识本身就是一个系统，它包含了许多小的系统。一个系统就是一个整体。上面的案例中把36道20以内的进位加法列成一张表，就组成了一个整体结构，发挥整体结构的功能，使结构成为开放的系统，便能扩大思考的空间，丰盈思维的含量。
再如，在新授某一知识后，为学生提供巩固应用的练习材料时，也应改变过去封闭的练习内容和问题表述形式，给学生创设较广阔的利用知识进行推理、判断的思维空间。下列表中几个问题的比较可见一斑。
显然，表中的新颖问题比之于原来常规问题，学生有了更广阔的思考空间。这类新问题变成了要求学生解释为什么某些事情是这种情况，而某些事情又不是；要求学生创设满足某些条件的例子，并探索解题的不同方法；要求学生从开放的问题情境出发，进行分析推理，并检验结论等。如上述问题4，在学生小组讨论交流的过程中，生成了下列五种思维水平：
水平一：有，因为直角的边是直的。
水平二：有，只要所有的边长长度都相同。
水平三：没有，因为所有的边必须相等。
水平四：有两个层次，即（A）没有，因为直角三角形中必须有一边（斜边）较长，而等边三角形各边相等。（B）没有，因为各角必须相等，而且三个角之和必须等于180度。
水平五：也有两个层次，即（A）没有。因为等边三角形各角的度数必须相等，而等边三角形不可能有三个直角，因为三个直角的和将是270度，而它又必须等于180度。（B）没有，因为等边三角形各个角相等，如果一个三角形有三个角，得到的将是正方形4条边中的3条，不可能连接成三角形。
学生表现出的各种思维结果，是开放、探索性的问题情境所提供的数学思维外部材料与不同层次学生已有的数学知识和经验结合后的“产品”，通过互相交流，每个学生又可以从其他学生的发言信息中获取信息，生成新的认识。
二、数学化地组织学习过程，创设数学思维活动机会，实现预设与生成的和谐统一
人脑这一“加工厂”，有了好的原料，还需有好的加工手段和工艺。数学思维方法就是加工手段和工艺。以往的数学教学偏重于教师的讲授，学生学习方式单一；偏重于对结论的解释和整理，缺乏自主探索，独立获取知识的机会。而要学生独立获取知识，必须掌握和会运用科学的数学思维方法。在众多的思维方法中，侧重于探索发现的方法主要有观察法、实验法、归纳法、类比法、联想发和猜测法等。如何让学生习得这些数学思维方法，形成思维能力呢？2011年版数学课程标准明确指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”；教师要“为学生提供充分的数学活动机会”；“要处理好教师讲授和学生自主学习的关系，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验”。这正如弗赖登塔尔所说：“与其说学习数学，倒不如说学习‘数学化’。”
教师数学化地组织学习过程，让学生学习“数学化”，这正是数学教学的意义所在。有这样一个教学“平均数”的片段：
师：有三堆●，第一堆有6个，第二堆有11个，第三堆有4个。你有几种办法，使每堆的●一样多？（出示下面的图形）
第一堆●●●●●●
第二堆●●●●●●●●●●●
第三堆●●●●
（学生通过实验操作、讨论，得出了三种方法）
生1：第二堆中移1个到第一堆，再移3个到第三堆。（师生共同总结此法为“移多补少法”。）
生2：先把●都合起来，再平均分成3份。 师：这种方法是先求和再等分，可以用算式表示并计算。
生3：（6+11+4）÷3=7（个）
生4：以最少的第三堆为4个●为准，先把第一堆和第二堆多出来的●合起来，再重新分成同样多的三份，每一份加到各堆中去，这样每堆的●就一样多。
师：我们刚才用移一移、算一算的方法，其实就是求出一个平均数。（板书：平均数）请同学们把移动后的图形和原来的图形比一比，什么变了，什么不变？（出示下面的图形）
第一堆●●●●●●●
第二堆●●●●●●●
第三堆●●●●●●●
（学生发言，教师板书：总数、份数不变。移多补少、每份相等）
教师出示巩固练习题：分别有8个、2个、1个、5个，请选一种自己最喜欢的方法，使每份同样多。（学生充分发言，教师给予肯定和鼓励。）
教师提问引导小结：说一说，什么叫做平均数呢？
学生归纳综合：在总数不变、份数不变的情况下，采用移多补少的方法可以使每份数相等，这样得到的这个相等的数就是这几个数的平均数。
在这个案例中，教师科学地组织学习过程，让学生学习“数学化”。首先让学生动手操作实验：“使每堆的●一样多”。这一活动提供了蕴含平均数概念的含义和学生数学思维的客体，在活动中，学生通过“物”的外化操作，从思维外部材料的操作中获取信息，并与自己头脑中已有的关于一样多、平均分等数学知识经验进行相互作用，想出了三种解决问题的方法，获得了感性经验。在此基础上，教师引导学生观察比较：“什么变了，什么不变”。最后引导学生综合概括，抽取概念的本质属性，理解了平均数的含义。学生经历了“操作实验——观察比较——综合概括”的数学思维训练，获得了重要的数学活动经验和数学能力。
三、灵动地营造思维“磁场”，鼓励多样数学思维方式，实现预设与生成的和谐统一
有这样一个故事：有一个人在山里买了一根长长的毛竹，横着扛在肩上进城，可是城门的宽度不及毛竹的长度，他使了半天的劲，也没通过城门。后来还是经过旁人的指点，把毛竹旋转90度，使毛竹两头朝前后的方式，轻易走过了城门。编这个故事的人只是想提醒人们做事不能“一根筋”，亦即思维方式不能单一、僵化。在数学上，数学的思维方式就是指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维方法与形式的统一，并且通过一定的数学思维内容而得以体现。数学思维方式可以按照其不同的标准进行分类。如，按照数学思维的形式来分，可把它分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三类；按照思维指向来分，可把它分成集中思维和发散思维两类；按照思维结果有无创新来分，可把它分成再现性思维和创造性思维两类。我们不能说哪种思维方式重要，因为具体的思维活动过程往往不是一种思维方式的运用，而是上述思维方式的有机结合和相互作用的过程。
在教学“稍复杂的分数除法问题”时，教师预计学生会受以前学习整数相差问题形成的思维定势“如果a比b多n，那么b就比a少n“的影响，产生负迁移。保守的教师会加以预防，采用以“师法为主”的方式，把学生的思路纳入某一框架内。而一个优秀的教师又会怎么做呢？看下面的案例。