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[摘 要] 如何巧妙地用多种思维方式解题，一题多解的发散思维， 一道简单数学题引发的深层教学思考。
[关键词] 一题多解 发散思维 “运动”的观点 构造法 复数几何法 公式变式法 逆推法 逆向思维
引言
知识是需要的，但我们更需要的，是驾驭知识的睿智，是面对陌生的科技难题，敢于直面善于攻克的创新能力.教育的本质，就是培养高超的思维水平，提高智力素质.所以，教学的目的和实施，应当是，“通过知识的教学，不断发展学生的智力素质，造就学生强大的头脑，把不聪明的学生变聪明起来，让聪明的更加聪明”。
我们应该教学生成为知识的主人，课堂的主人，积极参与教学，课堂上想方设法激发学生的学习兴趣和求知欲，唤起学生参与的欲望，积极思维，让学生在思考中训练思维，敢于向老师及课本提出不同意见。我认为出题不在多而求精，要求学生一题多解、多解归一、多题归一，让学生把解数学题当作是一种极大的乐趣等等。
正文：下面我就对一道数学题探讨一下，一题多解的发散思维。
注释：发散思维，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。如“一题多解”、“一事多写”、“一物多用”等方式，培养发散思维能力。 不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。
已知：a,b,cR+ 求证++≥(a+b+c)
做这道题，有很多学生误入歧途，不能自拔，过程如下：
由平均数不等式a2+b2≥2ab
左≥++= (++)
往下就走不动了，无法再继续下去.但有的学生却出来了.他们怀疑，这个思考方向，是否有前途？（“换个角度去想”，是哲学上的“运动”的观点）
是++否真比a+b+c为大？难以从变形上看出来，不如用几个数试试.（从一般的证明，换为举个特例进行检验，又是“运动”的观点）
设a=4,b=9,c=25 . 那么++=31<38= a+b+c
显然，这个思考方面是错误的. 怎么办？换个角度来思考.
（又是“运动”的观点，换个角度想问题，是灵活性的本质）
从哪里入手呢？对式子进行观察。
①构造法：像什么，它应使我们联想起什么？ 使我们想到勾股定理，它是直角三角形的斜边表达式，而(a+b+c)则是以a+b+c为腰长的等腰直角三角形的斜边长；
②复数几何法：还使我们想到复数的模，它是a+bi的模。
③公式变式法：a,bR+,a2+b2≥2ab ≥()
④逆推法：逆向思维
按照①的思路，我们得到了解法一（数形结合、形象直观）
解法一 构造腰长为a+b+c的等腰直角Δ（如图1-2）
这里有(a+b+c)=AB≤AM+MN+NB =++
当且仅当M、N在AB上（此时a=b=c）时，成立“=”号.
按照② 的思考，可以得到解法二
解法二 设Z1=a+bi,Z2=b+ci,Z3=a+ci
则 | Z1| = |Z2| =| Z3| =
| Z1|+ |Z2| + | Z3| =++
|Z1+Z2+Z3|=|(a+b+c)+(a+b+c)i|
==(a+b+c)
由于绝对值不等式| Z1 +Z2+ Z3|≤| Z1|+ |Z2| + | Z3|
有(a+b+c) ≤++
由于在复平面上绝对值不等式“=”号成立的条件是，各加数的方向相同，或其中有的加数为0，这时它们的和的方向当然与它们相同，本题三个复数的和(a+b+c) +(a+b+c) i的辐角是，那么，Z1 ，Z2， Z3的辐角都应是，此时a=b,b=c,c=a，即a=b=c，就是说当a=b=c时，求证的不等式成立“=”号。
其实，这道证不等式的数学题，也可以不换个角度来想，而直接利用代数中的“平均数不等式”公式. a,b,cR+ ,≥(a+b)
当且仅当时，成立“”号。
图1-2
按照③ 的思考，可以得到解法三
解法三 由，根据公式
时，≥ (a+b) （当且仅当a=b时，成立“=”号）
那么++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)≥(a+b+c)
大多数学生为什么想不到这种方法呢？因为课本上没有这个公式，如果教师补充它，是不是增加了学生负担？当然不会，而且恰恰相反。
高中课本上，只有公式
对于a,bR, a2+b2≥2ab 这时 （a - b）2 ≥0 (a,bR) *a2+b2≥2ab **
对**式的两边都加上它的右边，得a2+2ab+b2≥4ab (a+b)2 ≥4ab
当a,bR+时，两边可取算术根，得到a+b≥2
则（a- b）2 ≥0 * (a,bR) a2+b2≥2ab ** 两端都加上“右边” a+b≥2
() ()
这样就把高中课本上两个散置的公式和初一代数中的非负数知识交织成一个小系统，浑然一体。
但是，本题到此绝不应该结束，从哲学的高度来看，对于**式，既然把它的两端都加上它的“右边”能得到公式 a,bR+时，a+b≥2
那么，对称地，理应把它的两端都加上它的“左边”，得到
2a2+2b2 a2+2ab+ b2 → 2(a2+b2) ≥(a+b)2
当a,bR+时，两边可取算术根，得到
a,bR+时，有≥(a+b), 这时 （a- b）2 ≥0 (a,bR)
两端都加上“左边” a2+b2≥2ab (a,bR) →≥(a+b) (a,bR+)
两端都加上“右边”→ a+b≥2(a,bR+)，本题结束.
当然 ，按照④ 的思考，可以得到解法四
解法四 逆推法 (当我们顺向思维受阻或者解题很困难时，我们可以运用逆向思维改变解题方向，问题可能迎刃而解。)
证明：++≥(a+b+c)
++≥（a+b+b+c+c+a）
≥(a+b),≥(b+c),≥(a+c) a,b,cR+,a2+b2≥,b2+c2≥,a2+c2≥
a2+b2≥2ab , b2+c2≥2bc, a2+c2≥2ac ，a,b,cR
(a+b)2≥0 ,(b+c)2≥0,(a+c)2 ≥0，a,b,cR
结束语
显然我们学习知识不能一知半解、 死记硬背，应当活学活用、 举一反三（运动变化的观点），对所学的知识应当深刻理解，反复推敲，教育学生要观其行更要知其意，还要有创新能力（发散思维），只有创新才有发展，只会循规蹈矩中国的教育将停滞不前。
[关键词] 一题多解 发散思维 “运动”的观点 构造法 复数几何法 公式变式法 逆推法 逆向思维
引言
知识是需要的，但我们更需要的，是驾驭知识的睿智，是面对陌生的科技难题，敢于直面善于攻克的创新能力.教育的本质，就是培养高超的思维水平，提高智力素质.所以，教学的目的和实施，应当是，“通过知识的教学，不断发展学生的智力素质，造就学生强大的头脑，把不聪明的学生变聪明起来，让聪明的更加聪明”。
我们应该教学生成为知识的主人，课堂的主人，积极参与教学，课堂上想方设法激发学生的学习兴趣和求知欲，唤起学生参与的欲望，积极思维，让学生在思考中训练思维，敢于向老师及课本提出不同意见。我认为出题不在多而求精，要求学生一题多解、多解归一、多题归一，让学生把解数学题当作是一种极大的乐趣等等。
正文：下面我就对一道数学题探讨一下，一题多解的发散思维。
注释：发散思维，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。如“一题多解”、“一事多写”、“一物多用”等方式，培养发散思维能力。 不少心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。
已知：a,b,cR+ 求证++≥(a+b+c)
做这道题，有很多学生误入歧途，不能自拔，过程如下：
由平均数不等式a2+b2≥2ab
左≥++= (++)
往下就走不动了，无法再继续下去.但有的学生却出来了.他们怀疑，这个思考方向，是否有前途？（“换个角度去想”，是哲学上的“运动”的观点）
是++否真比a+b+c为大？难以从变形上看出来，不如用几个数试试.（从一般的证明，换为举个特例进行检验，又是“运动”的观点）
设a=4,b=9,c=25 . 那么++=31<38= a+b+c
显然，这个思考方面是错误的. 怎么办？换个角度来思考.
（又是“运动”的观点，换个角度想问题，是灵活性的本质）
从哪里入手呢？对式子进行观察。
①构造法：像什么，它应使我们联想起什么？ 使我们想到勾股定理，它是直角三角形的斜边表达式，而(a+b+c)则是以a+b+c为腰长的等腰直角三角形的斜边长；
②复数几何法：还使我们想到复数的模，它是a+bi的模。
③公式变式法：a,bR+,a2+b2≥2ab ≥()
④逆推法：逆向思维
按照①的思路，我们得到了解法一（数形结合、形象直观）
解法一 构造腰长为a+b+c的等腰直角Δ（如图1-2）
这里有(a+b+c)=AB≤AM+MN+NB =++
当且仅当M、N在AB上（此时a=b=c）时，成立“=”号.
按照② 的思考，可以得到解法二
解法二 设Z1=a+bi,Z2=b+ci,Z3=a+ci
则 | Z1| = |Z2| =| Z3| =
| Z1|+ |Z2| + | Z3| =++
|Z1+Z2+Z3|=|(a+b+c)+(a+b+c)i|
==(a+b+c)
由于绝对值不等式| Z1 +Z2+ Z3|≤| Z1|+ |Z2| + | Z3|
有(a+b+c) ≤++
由于在复平面上绝对值不等式“=”号成立的条件是，各加数的方向相同，或其中有的加数为0，这时它们的和的方向当然与它们相同，本题三个复数的和(a+b+c) +(a+b+c) i的辐角是，那么，Z1 ，Z2， Z3的辐角都应是，此时a=b,b=c,c=a，即a=b=c，就是说当a=b=c时，求证的不等式成立“=”号。
其实，这道证不等式的数学题，也可以不换个角度来想，而直接利用代数中的“平均数不等式”公式. a,b,cR+ ,≥(a+b)
当且仅当时，成立“”号。
图1-2
按照③ 的思考，可以得到解法三
解法三 由，根据公式
时，≥ (a+b) （当且仅当a=b时，成立“=”号）
那么++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)≥(a+b+c)
大多数学生为什么想不到这种方法呢？因为课本上没有这个公式，如果教师补充它，是不是增加了学生负担？当然不会，而且恰恰相反。
高中课本上，只有公式
对于a,bR, a2+b2≥2ab 这时 （a - b）2 ≥0 (a,bR) *a2+b2≥2ab **
对**式的两边都加上它的右边，得a2+2ab+b2≥4ab (a+b)2 ≥4ab
当a,bR+时，两边可取算术根，得到a+b≥2
则（a- b）2 ≥0 * (a,bR) a2+b2≥2ab ** 两端都加上“右边” a+b≥2
() ()
这样就把高中课本上两个散置的公式和初一代数中的非负数知识交织成一个小系统，浑然一体。
但是，本题到此绝不应该结束，从哲学的高度来看，对于**式，既然把它的两端都加上它的“右边”能得到公式 a,bR+时，a+b≥2
那么，对称地，理应把它的两端都加上它的“左边”，得到
2a2+2b2 a2+2ab+ b2 → 2(a2+b2) ≥(a+b)2
当a,bR+时，两边可取算术根，得到
a,bR+时，有≥(a+b), 这时 （a- b）2 ≥0 (a,bR)
两端都加上“左边” a2+b2≥2ab (a,bR) →≥(a+b) (a,bR+)
两端都加上“右边”→ a+b≥2(a,bR+)，本题结束.
当然 ，按照④ 的思考，可以得到解法四
解法四 逆推法 (当我们顺向思维受阻或者解题很困难时，我们可以运用逆向思维改变解题方向，问题可能迎刃而解。)
证明：++≥(a+b+c)
++≥（a+b+b+c+c+a）
≥(a+b),≥(b+c),≥(a+c) a,b,cR+,a2+b2≥,b2+c2≥,a2+c2≥
a2+b2≥2ab , b2+c2≥2bc, a2+c2≥2ac ，a,b,cR
(a+b)2≥0 ,(b+c)2≥0,(a+c)2 ≥0，a,b,cR
结束语
显然我们学习知识不能一知半解、 死记硬背，应当活学活用、 举一反三（运动变化的观点），对所学的知识应当深刻理解，反复推敲，教育学生要观其行更要知其意，还要有创新能力（发散思维），只有创新才有发展，只会循规蹈矩中国的教育将停滞不前。