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【摘 要】 基于章建跃先生对《角》一课的教材分析，思考了如何在数学教学中培养学生数学核心素养，突出理性思维的灵魂地位，把握教学的整体观与系统观，并将《角》的教学推广至一般几何图形的教学，主要遵循“背景——概念——性质（判定）——建构体系”的学习结构.
【关键词】 数学核心素养；教学；角
章建跃先生是人民教育出版社中学数学室主任，人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员，负责组织编写中学数学教材.章先生曾在中学从教十余年，在担任教研员、编审期间也经常深入中学课堂，与一线教师交流教学，积累了丰富的中学数学教学经验，在各类期刊杂志上发表了二百余篇关于中学数学教学的高水平文章.在天津师范大学承办的2017年“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目班上，章建跃先生通过讲解我国核心素养统领下的数学教学变革，深度剖析《角》这一节课的教材内容，为基于数学核心素养的教学提供了重要的指导意义.1 核心素养与数学核心素养
为落实“立德树人”的根本任务，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出以学生发展核心素养为统领，各学科教学都要为学生核心素养的发展作出独特的贡献，从而实现“立德树人”根本任务[1].
数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，在每个方面上都是有侧重的：文化基础中的科学精神，自主发展中的学会学习，社会参与中的实践创新.尤其要突出科学精神中的理性思维这一基本要点，它是数学核心素养中的灵魂所在.而要实现数学教育中的立德树人，就应该将以数学学习为载体，反映数学学科特征的数学核心素养作为统领.2018年1月，《普通高中数学课程标准（2017年版）》正式颁布，其中提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析[2].前三者反映了数学的三个特点，分别是高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性；后三者则对应着数学中的代数、几何和概率与统计[3].因此，数学核心素养不仅与核心素养具有紧密联系性，而且其内部具有整体性与层次性[4].这就要求教师在落实核心素养的数学教学过程中，把握好数学学科的整体观与系统观.2 关于《角》的教学思考
这节课选自人教版初中数学七年级上册《几何图形初步》的第四节.这一章是初中学段几何知识的起始内容，不但为后续学习相关知识做好铺垫，更重要的是依赖现实空间学习几何知识，以此更好地认识现实世界，并应用于实际生活，形成从具体到抽象，再回归具体的逻辑思维.
学习《角》这节课之前，学生已经知道了点、线、面、体之间的关系及其运动观点，而且学习了直线、射线、线段三个重要而基本的几何图形，点与射线作为组成角的基本要素也为学习角的知识做好了铺垫.以此为学生的认知起点除了要关注知识本身，更重要的是知道学习方法是什么.
2.1 从整体上把握几何学习方法图1 几何图形学习结构
对于一个几何图形的学习，一般遵循图1所示的完整学习结构：背景——抽象概念——性质（判定）——建构体系（联系与综合），在定性学习的基础上进行定量学习.以此为基本依据设计几何图形教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，形成思维的螺旋式上升，是使学生学会思考的关键.
直线、射线、线段这三个几何图形在教材安排上都遵循上述学习结构，这为学习角这一几何图形奠定了整体观与系统观的教学基础[5].
2.2 在过程中落实数学核心素养
根据几何图形学习结构，结合“角”的学习内容，其教学过程可分为明确学习对象、复习几何度量、探究角的性质、学习角的运算四个步骤.
2.2.1 明确学习对象
明确学习对象是“数学化”的关键一步，是后续一切学习的基础.教师在分析教材时，首先自己要理清学习对象与学习内容的逻辑关系，构建起合乎逻辑的系统：在《角》这节课中，角是学习对象，角的性质和度量等才是学习内容.图2 明确学习对象
明确角这个学习对象，可遵循圖2所示的过程：从实际生活背景出发，寻找典型的、丰富的角的“形象”，观察分析它们的共同特点；归纳概括出其本质特征、概念内涵和要素等，从而进行下定义；并用图形、符号、语言三种表达方式进行表示；按照某种条件对角进行分类，确定一种学习角的逻辑顺序.
教材分别从静态和动态两个角度明确了学习对象，让学生在具体情境中展开认识活动，使学生经历完整的抽象过程获得学习对象[6]，培养学生数学抽象的核心素养.能从现实背景和数学背景中，抽象出数学问题，明确学习对象，有逻辑的对其展开学习，对于数学育人具有重要意义.
2.2.2 复习几何度量图3 几何度量的五个阶段
复习几何度量可分为五个主要阶段，如图3所示.第一，直观感知“量”或者直接比较“量”的大小；第二，用非标准单位或另一个量为“中介”间接比较；第三，认识国际通用单位并用其描述大小；第四，介绍国际通用单位体系及其换算；第五，利用公式求量的大小（这里指面积和体积）.
教学中，教师引导学生将角看成一个“量”，并用一个数来描述它，从定性学习过渡到定量学习.前两个阶段由学生经历操作过程直观感知、比较，第三、四两个阶段由教师介绍分析，由于角没有面积和体积，所以不必讨论最后一个阶段.通过完善角度制，渗透弧度制，介绍角的测量工具完成与小学阶段的衔接，同时培养学生直观想象的数学核心素养.
2.2.3 探究角的性质
何为性质？何为角的性质？如何学习角的性质？解决了这三个问题，就完成了对角的性质的学习.
从宏观上看，性质就是一类事物共有的特性，在数学中主要是指关系和规律.只要将角的图形与关系、规律联系起来，角的性质自然而然就出来了.几何学主要学习几何图形的形状、大小和位置关系，通过观察几何图形构成要素之间的相互关系来学习几何性质.那么，角的形状、大小关系（特殊关系）就是角的性质.学习角的性质可以按照如图4所示的逻辑顺序展开：角的形状在定义中已经给出，角的大小关系仍然是先定性后定量.直观感受或者操作比较角的大小关系：将角的顶点和一条边重合放置，观察另一条边的位置关系即可；也可以利用测量工具定量的比较角的大小关系，这种方法不仅能够定性描述大小，还可以定量比较.在比较的过程中，发现相等这种特殊关系，从而引出角的平分线、三等分线等；然后引导学生发现互补和互余这两种定量的特殊关系.这样就完整的学习了角的性质. 图4 探究角的性质
对于特殊的图形、关系等，一般还要学习性质的互逆问题——判定，即角分线、余角、补角的判定.在这一环节的探究中，更加注重学生从定性到定量的学习方法，经历严谨的推理学习过程，培养学生的理性思维[7]、整体观和系统观.
数学在形成人的理性思维，科学精神，促进人的智力发展中，发挥着不可替代的作用[8].数学的独特育人功能，主要体现在培养学生的理性思维，特别是逻辑思维，要让学生学会有逻辑地思考、创造性思考，使学生成为善于认识问题，善于解决问题的人才.从一个逻辑到另一个逻辑的推理，从一种方法到另一种方法的迁移，从一个问题到另一个问题的转化，都是理性思维逐步成熟的表现.
2.2.4 学习角的计算
角的计算包括两种，一是对应计量单位的度分秒换算问题；二是对应加减乘除的和差倍半角的作图问题.两个问题的共同作用促进提升学生数学运算和直观想象的数学核心素养.3 结束语
通过上述对《角》的教学思考，从整体上看，角的学习在义务教育和高中教育中分为四个学段（注：第一学段指1至3年级，第二学段指4至6年级，第三学段指7至9年级，第四学段指高一至高三年级.），知识内部具有连续性，呈现出循序渐进的特点；从系统上看，第三学段的学习除了有前两个学段作为基础，还有直线、线段等几何图形在方法上的指导，呈现出螺旋上升的特点.从感性认识生活中的角到理性认识数学上的角，通过数学抽象获得学习对象；从定性描述角的大小到定量刻画角的大小，通过几何直观量化学习对象；从宏观上了解几何图形的性质到微观上把握角的性质，通过逻辑推理探究学习对象；从角的换算到角的作图，通过数学运算应用学习对象.
数学知识的学习固然重要，但以数学知识为载体的方法习得更重要。同一分支、甚至不同分支下的数学知识间往往具有同构性，从整体上认识数学，掌握学习数学的“套路”，会使学习效果事半功倍.章建跃先生指出，教好数学就是落实数学核心素养，而教好数学的前提是理解数学[9].教师以知识为载体，树立教学的整体观和系统观，为学生的思考指明方向，真正实现数学的育人功能，落实好数学核心素养.在教学中，教师要先行成为数学的思考者，然后引导学生从“学会”走向“会学”，实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.关于全面深化课程改革 落實立德树人根本任务的意见[Z].2014.4.
[2]中华人民共和国教育部.人民教育出版社.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[3]章建跃.核心素养统领下的数学教育变革[J].数学通报，2017，56（04）：1-4.
[4]章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.
[5]章建跃，刘萍.以数学整体观为指导的课堂教学[J].中学数学教学参考，2016（23）：63-67.
[6]常磊，鲍建生.情境视角下的数学核心素养[J].数学教育学报，2017，26（02）：24-28.
[7]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016，25（03）：1-5.
[8]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[9]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015，54（01）：61-63.作者简介 吕天玺（1994—），男，天津武清人，教育硕士，主要从事数学教育研究.曾获第八届东芝杯·中国师范大学理科师范生教学技能创新大赛“东芝创新奖”、数学组二等奖；第二届全国全日制教育硕士学科教学（数学）专业教学技能大赛一等奖.
【关键词】 数学核心素养；教学；角
章建跃先生是人民教育出版社中学数学室主任，人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员，负责组织编写中学数学教材.章先生曾在中学从教十余年，在担任教研员、编审期间也经常深入中学课堂，与一线教师交流教学，积累了丰富的中学数学教学经验，在各类期刊杂志上发表了二百余篇关于中学数学教学的高水平文章.在天津师范大学承办的2017年“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目班上，章建跃先生通过讲解我国核心素养统领下的数学教学变革，深度剖析《角》这一节课的教材内容，为基于数学核心素养的教学提供了重要的指导意义.1 核心素养与数学核心素养
为落实“立德树人”的根本任务，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，提出以学生发展核心素养为统领，各学科教学都要为学生核心素养的发展作出独特的贡献，从而实现“立德树人”根本任务[1].
数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，在每个方面上都是有侧重的：文化基础中的科学精神，自主发展中的学会学习，社会参与中的实践创新.尤其要突出科学精神中的理性思维这一基本要点，它是数学核心素养中的灵魂所在.而要实现数学教育中的立德树人，就应该将以数学学习为载体，反映数学学科特征的数学核心素养作为统领.2018年1月，《普通高中数学课程标准（2017年版）》正式颁布，其中提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析[2].前三者反映了数学的三个特点，分别是高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性；后三者则对应着数学中的代数、几何和概率与统计[3].因此，数学核心素养不仅与核心素养具有紧密联系性，而且其内部具有整体性与层次性[4].这就要求教师在落实核心素养的数学教学过程中，把握好数学学科的整体观与系统观.2 关于《角》的教学思考
这节课选自人教版初中数学七年级上册《几何图形初步》的第四节.这一章是初中学段几何知识的起始内容，不但为后续学习相关知识做好铺垫，更重要的是依赖现实空间学习几何知识，以此更好地认识现实世界，并应用于实际生活，形成从具体到抽象，再回归具体的逻辑思维.
学习《角》这节课之前，学生已经知道了点、线、面、体之间的关系及其运动观点，而且学习了直线、射线、线段三个重要而基本的几何图形，点与射线作为组成角的基本要素也为学习角的知识做好了铺垫.以此为学生的认知起点除了要关注知识本身，更重要的是知道学习方法是什么.
2.1 从整体上把握几何学习方法图1 几何图形学习结构
对于一个几何图形的学习，一般遵循图1所示的完整学习结构：背景——抽象概念——性质（判定）——建构体系（联系与综合），在定性学习的基础上进行定量学习.以此为基本依据设计几何图形教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，形成思维的螺旋式上升，是使学生学会思考的关键.
直线、射线、线段这三个几何图形在教材安排上都遵循上述学习结构，这为学习角这一几何图形奠定了整体观与系统观的教学基础[5].
2.2 在过程中落实数学核心素养
根据几何图形学习结构，结合“角”的学习内容，其教学过程可分为明确学习对象、复习几何度量、探究角的性质、学习角的运算四个步骤.
2.2.1 明确学习对象
明确学习对象是“数学化”的关键一步，是后续一切学习的基础.教师在分析教材时，首先自己要理清学习对象与学习内容的逻辑关系，构建起合乎逻辑的系统：在《角》这节课中，角是学习对象，角的性质和度量等才是学习内容.图2 明确学习对象
明确角这个学习对象，可遵循圖2所示的过程：从实际生活背景出发，寻找典型的、丰富的角的“形象”，观察分析它们的共同特点；归纳概括出其本质特征、概念内涵和要素等，从而进行下定义；并用图形、符号、语言三种表达方式进行表示；按照某种条件对角进行分类，确定一种学习角的逻辑顺序.
教材分别从静态和动态两个角度明确了学习对象，让学生在具体情境中展开认识活动，使学生经历完整的抽象过程获得学习对象[6]，培养学生数学抽象的核心素养.能从现实背景和数学背景中，抽象出数学问题，明确学习对象，有逻辑的对其展开学习，对于数学育人具有重要意义.
2.2.2 复习几何度量图3 几何度量的五个阶段
复习几何度量可分为五个主要阶段，如图3所示.第一，直观感知“量”或者直接比较“量”的大小；第二，用非标准单位或另一个量为“中介”间接比较；第三，认识国际通用单位并用其描述大小；第四，介绍国际通用单位体系及其换算；第五，利用公式求量的大小（这里指面积和体积）.
教学中，教师引导学生将角看成一个“量”，并用一个数来描述它，从定性学习过渡到定量学习.前两个阶段由学生经历操作过程直观感知、比较，第三、四两个阶段由教师介绍分析，由于角没有面积和体积，所以不必讨论最后一个阶段.通过完善角度制，渗透弧度制，介绍角的测量工具完成与小学阶段的衔接，同时培养学生直观想象的数学核心素养.
2.2.3 探究角的性质
何为性质？何为角的性质？如何学习角的性质？解决了这三个问题，就完成了对角的性质的学习.
从宏观上看，性质就是一类事物共有的特性，在数学中主要是指关系和规律.只要将角的图形与关系、规律联系起来，角的性质自然而然就出来了.几何学主要学习几何图形的形状、大小和位置关系，通过观察几何图形构成要素之间的相互关系来学习几何性质.那么，角的形状、大小关系（特殊关系）就是角的性质.学习角的性质可以按照如图4所示的逻辑顺序展开：角的形状在定义中已经给出，角的大小关系仍然是先定性后定量.直观感受或者操作比较角的大小关系：将角的顶点和一条边重合放置，观察另一条边的位置关系即可；也可以利用测量工具定量的比较角的大小关系，这种方法不仅能够定性描述大小，还可以定量比较.在比较的过程中，发现相等这种特殊关系，从而引出角的平分线、三等分线等；然后引导学生发现互补和互余这两种定量的特殊关系.这样就完整的学习了角的性质. 图4 探究角的性质
对于特殊的图形、关系等，一般还要学习性质的互逆问题——判定，即角分线、余角、补角的判定.在这一环节的探究中，更加注重学生从定性到定量的学习方法，经历严谨的推理学习过程，培养学生的理性思维[7]、整体观和系统观.
数学在形成人的理性思维，科学精神，促进人的智力发展中，发挥着不可替代的作用[8].数学的独特育人功能，主要体现在培养学生的理性思维，特别是逻辑思维，要让学生学会有逻辑地思考、创造性思考，使学生成为善于认识问题，善于解决问题的人才.从一个逻辑到另一个逻辑的推理，从一种方法到另一种方法的迁移，从一个问题到另一个问题的转化，都是理性思维逐步成熟的表现.
2.2.4 学习角的计算
角的计算包括两种，一是对应计量单位的度分秒换算问题；二是对应加减乘除的和差倍半角的作图问题.两个问题的共同作用促进提升学生数学运算和直观想象的数学核心素养.3 结束语
通过上述对《角》的教学思考，从整体上看，角的学习在义务教育和高中教育中分为四个学段（注：第一学段指1至3年级，第二学段指4至6年级，第三学段指7至9年级，第四学段指高一至高三年级.），知识内部具有连续性，呈现出循序渐进的特点；从系统上看，第三学段的学习除了有前两个学段作为基础，还有直线、线段等几何图形在方法上的指导，呈现出螺旋上升的特点.从感性认识生活中的角到理性认识数学上的角，通过数学抽象获得学习对象；从定性描述角的大小到定量刻画角的大小，通过几何直观量化学习对象；从宏观上了解几何图形的性质到微观上把握角的性质，通过逻辑推理探究学习对象；从角的换算到角的作图，通过数学运算应用学习对象.
数学知识的学习固然重要，但以数学知识为载体的方法习得更重要。同一分支、甚至不同分支下的数学知识间往往具有同构性，从整体上认识数学，掌握学习数学的“套路”，会使学习效果事半功倍.章建跃先生指出，教好数学就是落实数学核心素养，而教好数学的前提是理解数学[9].教师以知识为载体，树立教学的整体观和系统观，为学生的思考指明方向，真正实现数学的育人功能，落实好数学核心素养.在教学中，教师要先行成为数学的思考者，然后引导学生从“学会”走向“会学”，实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.关于全面深化课程改革 落實立德树人根本任务的意见[Z].2014.4.
[2]中华人民共和国教育部.人民教育出版社.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[3]章建跃.核心素养统领下的数学教育变革[J].数学通报，2017，56（04）：1-4.
[4]章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.
[5]章建跃，刘萍.以数学整体观为指导的课堂教学[J].中学数学教学参考，2016（23）：63-67.
[6]常磊，鲍建生.情境视角下的数学核心素养[J].数学教育学报，2017，26（02）：24-28.
[7]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016，25（03）：1-5.
[8]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[9]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015，54（01）：61-63.作者简介 吕天玺（1994—），男，天津武清人，教育硕士，主要从事数学教育研究.曾获第八届东芝杯·中国师范大学理科师范生教学技能创新大赛“东芝创新奖”、数学组二等奖；第二届全国全日制教育硕士学科教学（数学）专业教学技能大赛一等奖.