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〔关键词〕向量;余弦定量;函数最值;空间角
〔中图分类号〕G633.6〔文献标识码〕C
〔文章编号〕1004—0463(2009)01(B)—0055—01
现行高中数学教材新增加了平面和空间量的内容.通过对向量的学习,学生对量的数学表达和认识上升到了一个新的高度.同时,向量作为联系代数与几何的纽带使学生对平面几何、立体几何中有关定理、性质的推理与证明,对三角函数、解析几何中有关问题的理解和运用又达到了一个质的飞跃.实践证明利用向量解题,是一种独特、简捷、有效的方法.
利用向量证明定理公式
例1证明余弦定理.
证明:如图1,在△ABC中,AB、AC、BC的长分别为c、b、a.
∵=+,
∴•=(+)•(+)=||2+2•+||2=||2+||2+2||•||cos(π-B)=||2+||2-
2||•||cosB.
又∵•=||2=b2,
∴b2=c2+a2-2accosB.
同理可证a2=b2+c2-2bccosA, c2=a2+b2-2abcosC.
利用向量求函数的最值
因为对非零向量,,有•=||•||cos<,>,所以•≤||•||,即||2≥.利用此性质可构造向量求最值.
例2已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最值.
解:设=(x-1,y+2),=(1,-2),则方程变形为(x-1)2+(y+2)2=5.
由||2≥得5=(x-1)2+(y+2)2≥=.
∴(x-2y-5)2≤25,|x-2y-5|≤5,-5≤x-2y-5≤5,
∴0≤x-2y≤10.
利用向量解决空间角和距离的计算
例3如图2,ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°.又SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.
解:如图2,以A为坐标原点,以AD,AB,AS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
于是,相关点的坐标是:A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),易得=(,0,0)是平面SAB的一个法向量.
设平面SCD的一个法向量为=(x,y,1),
由•=0,•=0,得=(2,-1,1).
以θ表示欲求二面角的值,则cosθ=cos(•)===.
所以θ=arccos.
〔中图分类号〕G633.6〔文献标识码〕C
〔文章编号〕1004—0463(2009)01(B)—0055—01
现行高中数学教材新增加了平面和空间量的内容.通过对向量的学习,学生对量的数学表达和认识上升到了一个新的高度.同时,向量作为联系代数与几何的纽带使学生对平面几何、立体几何中有关定理、性质的推理与证明,对三角函数、解析几何中有关问题的理解和运用又达到了一个质的飞跃.实践证明利用向量解题,是一种独特、简捷、有效的方法.
利用向量证明定理公式
例1证明余弦定理.
证明:如图1,在△ABC中,AB、AC、BC的长分别为c、b、a.
∵=+,
∴•=(+)•(+)=||2+2•+||2=||2+||2+2||•||cos(π-B)=||2+||2-
2||•||cosB.
又∵•=||2=b2,
∴b2=c2+a2-2accosB.
同理可证a2=b2+c2-2bccosA, c2=a2+b2-2abcosC.
利用向量求函数的最值
因为对非零向量,,有•=||•||cos<,>,所以•≤||•||,即||2≥.利用此性质可构造向量求最值.
例2已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最值.
解:设=(x-1,y+2),=(1,-2),则方程变形为(x-1)2+(y+2)2=5.
由||2≥得5=(x-1)2+(y+2)2≥=.
∴(x-2y-5)2≤25,|x-2y-5|≤5,-5≤x-2y-5≤5,
∴0≤x-2y≤10.
利用向量解决空间角和距离的计算
例3如图2,ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°.又SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.
解:如图2,以A为坐标原点,以AD,AB,AS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
于是,相关点的坐标是:A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),易得=(,0,0)是平面SAB的一个法向量.
设平面SCD的一个法向量为=(x,y,1),
由•=0,•=0,得=(2,-1,1).
以θ表示欲求二面角的值,则cosθ=cos(•)===.
所以θ=arccos.