〔关键词〕向量；余弦定量；函数最值；空间角
　　〔中图分类号〕G633.6〔文献标识码〕C
　　〔文章编号〕1004—0463（2009）01（B）—0055—01
　　
　　 现行高中数学教材新增加了平面和空间量的内容.通过对向量的学习，学生对量的数学表达和认识上升到了一个新的高度.同时，向量作为联系代数与几何的纽带使学生对平面几何、立体几何中有关定理、性质的推理与证明，对三角函数、解析几何中有关问题的理解和运用又达到了一个质的飞跃.实践证明利用向量解题，是一种独特、简捷、有效的方法.
　　利用向量证明定理公式
　　 例1证明余弦定理.
　　 证明：如图1，在△ABC中，AB、AC、BC的长分别为c、b、a.
　　 ∵=+，
　　 ∴•=（+）•（+）=||2+2•+||2=||2+||2+2||•||cos(π-B)=||2+||2-
　　2||•||cosB.
　　 又∵•=||2=b2，
　　 ∴b2=c2+a2-2accosB.
　　 同理可证a2=b2+c2-2bccosA， c2=a2+b2-2abcosC.
　　利用向量求函数的最值
　　因为对非零向量，，有•=||•||cos＜，＞，所以•≤||•||，即||2≥.利用此性质可构造向量求最值.
　　 例2已知实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最值.
　　 解：设=（x-1，y+2），=（1，-2），则方程变形为（x-1）2+（y+2）2=5.
　　 由||2≥得5=（x-1）2+（y+2）2≥=.
　　 ∴（x-2y-5）2≤25，|x-2y-5|≤5，-5≤x-2y-5≤5，
　　 ∴0≤x-2y≤10.
　　利用向量解决空间角和距离的计算
　　 例3如图2，ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°.又SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小.
　　 解：如图2，以A为坐标原点，以AD，AB，AS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
　　 于是，相关点的坐标是：A（0，0，0），D（，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），易得=（，0，0）是平面SAB的一个法向量.
　　设平面SCD的一个法向量为=（x，y，1），
　　 由•=0，•=0，得=（2，-1，1）.
　　以θ表示欲求二面角的值，则cosθ=cos（•）===.
　　 所以θ=arccos.